Linerne rovnice Vrazy s jednou premennou Zopakujme si

Lineárne rovnice

Výrazy s jednou premennou Zopakujme si : x + x = 3. x 2 p – 8 = 2. p – 8 3 x koeficient premenná 3 z + 5 člen s premennou číslo (člen bez premennej)

Rovnica 2 x + 4 = 16 rovnica s jednou neznámou ľavá strana rovnice pravá strana rovnice Riešenie rovnice je : postup, ktorým vypočítame hodnotu neznámej x koreň rovnice (vypočítaná hodnota neznámej x) Správnosť riešenia overíme vždy skúškou správnosti.

Úpravy lineárnych rovníc Na rovnoramenných váhach nastane rovnováha vtedy, ak na ľavú aj pravú misku položíme závažia alebo predmety rovnakej hmotnosti. Hovorí, že medzi hmotnosťami predmetov na oboch miskách váh nastala rovnosť. Rovnováha na váhach sa nezmení, ak vymeníme obsah jednotlivých misiek. Riešenie rovnice sa nezmení, ak vymeníme ľavú a pravú stranu rovnice.

Ekvivalentné úpravy rovníc Riešenie rovnice sa nezmení, ak od obidvoch strán rovnice odčítame to isté číslo. Pr. 1: x + 15 = 60 / -15 x + 15 – 15 = 60 – 15 x = 45 Skúška: Ľ = 45 + 15 = 60 P= 60 Ľ=P R Є{45} Riešenie rovnice sa nezmení, ak k obidvom stránam rovnice pričítame to isté číslo. Pr. 2: -9 + z = -12 z – 9 = -12 z -9 + 9 = -12 + 9 z = -3 Skúška: Ľ = -9 + (-3) = -12 P = -12 Ľ=P /+9 R Є{-3}

Ekvivalentné úpravy rovníc Riešenie rovnice sa nezmení, ak obidve strany rovnice vydelíme tým istým číslom, rôznym od nuly. Riešenie rovnice sa nezmení, ak obidve strany rovnice vynásobíme tým istým číslom, rôznym od nuly. Pr. : 1, 2. z = 4, 8 1, 2. Z : 1, 2 = 4, 8 : 1, 2 z=4 Skúška: Ľ = 1, 2. 4 = 4, 8 P= 4, 8 Ľ=P / : 1, 2 R Є{4} z / 7 = 5, 6 z : 7. 7 = 5, 6. 7 z = 39, 2 Skúška: Ľ = 39, 2 : 7 = 5, 6 P= 5, 6 Ľ=P /. 7 R Є{39, 2}

Ekvivalentné úpravy rovníc • výmena ľavej a pravej strany rovnice • pričítanie toho istého čísla alebo mnohočlena k obidvom stranám rovnice • odčítanie toho istého čísla alebo mnohočlena od obidvoch strán rovnice • vynásobenie oboch strán rovnice tým istým nenulovým číslom • vydelenie obidvoch strán rovnice tým istým nenulovým číslom Poznámka: Ekvivalentný (lat. aequivalens) = rovnaký, ten istý, rovnako hodnotný. Ekvivalentné úpravy sú tie, ktoré nezmenia riešenie (koreň) rovnice a pomôžu nám rovnicu vyriešiť.

Pomocou ekvivalentných úprav riešte rovnice: a) 2 x – 4 = 12 /+4 2 x -4 + 4 = 12 + 4 2 x = 16 / : 2 x=8 Skúška: Ľ = 2. 8 – 4 =12 P = 12 Ľ=P R Є{8} (čítame: Riešením rovnice je číslo osem. ) b) -1 = 9 x – 64 / + 64 - 1 + 64 = 9 x -64 + 64 63 = 9 x 9 x = 63 /: 9 9 x : 9 = 63 : 9 x=7 Skúška: Ľ = -1 P = 9. 7 – 64 = 63 – 64 = - 1 Ľ=P R Є{7}

Úlohy na domáce precvičovanie Vyberte správnu odpoveď: Riešením (koreňom) rovnice 8 x – 49 = -x – 4 je číslo: A) -5 B) 5 C) 6

Riešenie jednoduchých lineárnych rovníc Na úvod krátke opakovanie: Čo je rovnica? Rovnica je rovnosť, v ktorej niektoré (neznáme) čísla sú naznačené písmenkovým znakom ( napr. x, y, a, z, m, . . . ). Kedy sa nezmení koreň rovnice? Koreň rovnice sa nezmení vtedy, keď: 1. pričítame (alebo odčítame) k obom stranám (od oboch strán) rovnice to isté číslo 2. násobíme (delíme) obe strany rovnice tým istým číslom rôznym od nuly 3. vymeníme ľavú a pravú stranu rovnice.

Príklad 1. : (5 x + 6) – 2(x – 2) = x – 2 – (x – 3) 5 x + 6 – 2 x + 4 = x – 2 – x + 3 3 x + 10 = 1 / -10 3 x + 10 – 10 = 1 – 10 3 x = - 9 /: 3 3 x : 3 = - 9 : 3 x = -3 Skúška: Ľ = (5. (-3) + 6) – 2. ( (-3) – 2 )=(-15 + 6) -2. (-5)= = -9 + 10 = 1 P = -3 – 2 – ( (-3) – 3)= -5 – (- 6) = -5 + 6 = 1 Ľ=P odpoveď: R Є{-3} 1. Odstránime zátvorky a vykonáme naznačené počtové výkony. (Poznámka: x – x = 1 x – 1 x = 0) 2. Použijeme ekvivalentné úpravy. 3. Opäť vykonáme naznačené počtové výkony. 4. Urobíme skúšku, a to tak, že vypočítaný koreň dosadíme do ľavej a pravej strany pôvodnej rovnice.

Príklad 2. : 2( y – 3) = y + 5 2 y – 6 = y + 5 /+6 2 y – 6 + 6 = y + 5 + 6 2 y = y + 11 / - y 2 y – y = y + 11 – y y = 11 Skúška: Ľ = 2. (11 – 3) = 2. 8 = 16 P = 11 + 5 = 16 Ľ=P odpoveď: R Є{11} 1. Odstránime zátvorky. 2. Rovnicu upravíme tak, aby členy s neznámou boli na jednej strane rovnice, členy bez neznámej na druhej strane (na to využijeme ekvivalentné úpravy). 3. Opäť vykonáme naznačené počtové výkony. 4. Urobíme skúšku, a to tak, že vypočítaný koreň dosadíme do ľavej a pravej strany pôvodnej rovnice.

Príklad 3. : -(x – 10) = 3 x + 2 -x + 10 = 3 x + 2 / -10 1. Odstránime zátvorky – POZOR pred zátvorkou je znamienko mínus (roznásobujeme číslom (-1)) /+x 2. Rovnicu upravíme tak, aby členy s neznámou boli na jednej strane rovnice a členy bez neznámej na druhej strane rovnice. 0 = 4 x – 8 /+ 8 3. Použijeme ekvivalentné úpravy a ak sú v rovnici naznačené a nevykonané počtové výkony, tak urobíme najprv tieto výkony. 8 = 4 x /: 4 -x + 10 – 10 = 3 x + 2 -10 -x = 3 x – 8 -x + x = 3 x + x – 8 2=x x=2 Skúška: Ľ = -( 2 – 10) = -( - 8) = 8 P = 3. 2 + 2 = 6 + 2 = 8 Ľ=P odpoveď: R Є{2} 4. Urobíme skúšku, a to tak, že vypočítaný koreň dosadíme do ľavej a pravej strany pôvodnej rovnice.

Domáca úloha: Riešte rovnice so zátvorkami a urobte skúšku: a) 6(x – 3) = 10 – 2( x + 2) b) t + 3 t – (t + 4) = 11 c) 5(x – 1) + 20 = 4(x – 3) d) 3 x – (3 x + 5) = 2( x – 2) - 3

Ďakujem za spoluprácu Zatiaľ všetko, pokračujeme na budúce.