Korelacijske metode psihologija 1 st 2 letnik 201112

Korelacijske metode psihologija (1. st. ) – 2. letnik 2011/12 7. predavanje: analiza glavnih komponent (principal component analysis) Preberite: Sočan, G. (2004). Postopki klasične testne teorije. Ljubljana: FF UL. (poglavje 5 in dodatek B)

Namen: večje število spremenljivk nadomestimo z manjšim številom njihovih obteženih vsot (komponent). Zmanjšanje kompleksnosti + struktura odnosov Komponentni “model”: Kk = b 1 k. X 1 + b 2 k. X 2 + … + bnk. Xn oz. K = XB (Lahko tudi standardizirane spremenljivke -> K = ZB) Xi = ai 1 K 1 + ai 2 K 2 + … aik. Kk oz. X = KA´ Primeri uporab: • izračun skupnega dosežka, • grupiranje testnih postavk, • združevanje koreliranih napovednikov pri regresiji, • ortogonalizacija spremenljivk. . .

PCA izdela k nekoreliranih obteženih vsot n spremenljivk, ki pojasnijo največji možni delež celotne variance teh spremenljivk (tj. • komponente so obtežene vsote (prim. z regresijo); • zmanjšanje kompleksnosti: 1 k n; • optimalni povzetki (maksimizacija pojasnjene variance); • optimalnost velja pri vsakem k; • nekoreliranost komponent. Želja: visok %Var z majhnim k… Merska lestvica komponent arbitrarna (npr. z).

Grafični prikaz za dve spremenljivki K 1∝ izpit+vaje d = vsota kvadriranih K 2∝ izpit-vaje razdalj posameznih točk od premice a = varianca projekcij teh točk na to premico (te projekcije so nestand. vrednosti K 1) K 1: Min. Var (d) Max. Var (a) Glavna os regresijska premica!

Vhodni podatki Korelacijska oz. kovariančna matrika ( ali želimo, da variabilnost vpliva na rezultate? ) Korelacije med spremenljivkami ne smejo biti prenizke! Intervalne spremenljivke (izračun r oz. Cov smiseln). Velikost vzorca? Odvisno od namena analize in pojasnjevalne moči komponent… PCA je predvsem opisovalna analiza (vezana na vzorec).

Primer: 9 testov sposobnosti. Rezultate želimo povzeti z 2 komponentama. Vhodni podatki: korelacije (arbitrarne merske lestvice testov).

Glavni rezultati: 1. matrika uteži A (loadings, “nasičenosti”): stand. uteži so korelacije med spremenljivkami in komponentami; interpretacija komponent 2. matrika koeficientov komponentnih dosežkov B – uteži za izračun vrednosti komponent definicija komponent Vrednosti ai povezane z rij Interpretacija A gl. na vzorec korelacij. V posameznem stolpcu A oz. B lahko zamenjamo vse predznake (obrnjena interpretacija!)

Matrika uteži za naš primer: K 1 ~ mera splošne inteligentnosti K 2 ~ mera razlike med besedno in nebesedno sposobnostjo

Pojasnjena varianca spremenljivk: diag(AA ) Reproducirane korelacije: AA (razen diagonale) Primeri: Skupna pojasnjena varianca za komponento i (lastna vrednost, i): A A p. Var(VERB) = 0, 9092 + (-0, 190)2 = 0, 863 1 = 0, 9092 + 0, 8202 + 0, 7092 + … + 0, 5702 = 5, 432 Var(K 1) = 1/n = 5, 432/9 × 100= 60, 4%

Koeficienti komponentnih dosežkov: B = AL-1 (pri nerotiranih komp. !) L = diagonalna matrika lastnih vrednosti) npr. bverb, 1 = 0, 909/5, 432 = 0, 167 Izračun komponentnih dosežkov: K 1 = z(VERB) 0, 167 + z(ANG) 0, 151 + … + z(PROST 3) 0, 105

Koliko komponent uporabiti (= to extract, “izločiti”)? Ni “resničnega” števila komponent: parsimoničnost vs. izčrpnost opisa podatkov! • enodimenzionalen test: k = 1; • ortogonalizacija spremenljivk: k = n; sicer: • “graf drobirja” (scree-plot); • % pojasnjene variance; • interpretacija in uporabnost!

k=2 k=4

Rotacija komponent: • izboljšanje interpretabilnosti; • enakomernejša porazdelitev pojasnjene variance po komponentah. Ponovno zavrtimo prostor, ki ga opisujejo samo obdržane komponente. Odstotki pojasnjene variance spremenljivk in skupna pojasnjena varianca se ne spremenijo!

d = 1, 1 Grafična rotacija: na sliki nasičenosti izberemo najboljši kot rotacije. Rotiramo pare komponent (pretvorbena matrika T):

Kot rotacije: Uteži po rotaciji (novo strukturno matriko Dobimo tako, da prvotno Pomnožimo s pretvorbeno): Ar = AT Korelacije med starimi (v vrsticah) in novimi (v stolpcih) komponentami:

Analitične rotacije: uporabimo objektiven kriterij. Pravokotne rotacije ohranijo nekorelirane komponente. “Standard”: Varimax (poenostavi interpretacijo komponent).

Poševnokotne rotacije komponent: • komponente po rotaciji korelirane; • skupaj pojasnijo enako variance kot pravokotne; • preprostejša interpretacija kot pri pravokotnih.

Še o poševnokotnih rotacijah… Namesto matrike komponentnih uteži A imamo: • matriko regresijskih koeficientov za napovedovanje spremenljivk na osnovi komponent (pattern, P) in • matriko korelacij med spremenljivkami in komponentami (strukturna matrika, S), poleg tega pa še • matriko korelacij med komponentami ( ). • drugačno računanje pojasnjenih varianc: R SP´= P P´; • % pojasnjene variance po komponentah se ne seštevajo!

Primerjava strukturnih matrik po rotaciji: Varimax: r 12 = 0 Oblimin: r 12 = 0, 50

Koef. komponentnih dosežkov po rotaciji: Br = BT. Korelacije med komponentnimi dosežki so enake korelacijam med komponentami.

Malo za šalo, malo zares: struktura lastnosti piva Znamke kot osebe! Nerotirani komponenti iz kovariančne matrike, %Var = 73% + 22% “Osebe” in spremenljivke opišemo z istimi komponentami!