Kapitola KA Kanlov plochy 1 Kanlov plocha je

Kapitola KA Kanálové plochy 1

Kanálová plocha je obalová plocha systému guľových plôch. Poznámka 1: Obalové plochy pozri v kapitole K 2 v prvej časti skrípt www. math. sk/skripta. DG 2/1. Stred guľovej plochy φ sa pohybuje po krivke r, ktorá sa nazýva riadiaca krivka. Polomer guľovej plochy φ sa pri pohybe môže spojite meniť. Poznámka 2: Na obrázku kanálová plocha Φ je obalová plocha systému guľových plôch φ, 1φ, 2φ, 3φ, . . . , nφ, . . . s meniacim sa polomerom a kanálová plocha Φ' je obalová plocha systému guľových plôch φ', 1φ', 2φ', 3φ', . . . , nφ', . . . s konštantným polomerom. Φ 2φ 1φ φ r Φ' 2φ' 1φ' φ' r Tereňová 2

Príklad: Ak je riadiaca krivka kanálovej plochy Φ kružnica r a polomer guľovej plochy φ sa nemení, tak kanálová plocha Φ je anuloid (torus). Poznámka 1: Rôzne typy anuloidov pozri v kapitole R 2 v prvej časti skrípt www. math. sk/skripta. DG 2/1. z=o Φ x S x Tereňová φ O y z=o r y x y Poznámka 2: Pozri príklad R 10 v kapitole R 4 v prvej časti skrípt www. math. sk/skripta. DG 2/1 3

Príklad: Ak je riadiaca krivka kanálovej plochy Φ cylindrická skrutkovica s a polomer guľovej plochy φ sa nemení, tak kanálová plocha Φ je Archimedova serpentína. Poznámka: Archimedovu serpentínu pozri v kapitole S 4. 3 v prvej časti skrípt www. math. sk/skripta. DG 2/1. z=o Φ s 1 y z=o x φ S s y x y Tereňová x 4

KA 1 Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Guľová plocha nφ sa pohybuje svojím stredom n. S po krivke k, pričom jej polomer nr sa mení podľa vzťahu nr = 3 – 4/π * ; <0, π/2>. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. z 2 z 3 Tereňová, Mészárosová x 2 n. S k 2 2 nφ O 2 O 3 2 k 3 n. S y 3 3 nφ 3 k – riadiaca čiara k je štvrťkružnica so stredom v bode O a s polomerom 5 cm, ležiaca v pôdorysni. +x n 1 O 1 n. S – je stred guľovej plochy nφ s polomerom nr. Polomer nr guľovej plochy nφ sa mení podľa vzťahu nr = 3 – 4/π * n ; n <0, π/2>. Uhol n = ∡(+x, On. S) je v radiánoch. (π rad = 180°) nr n. S 1 nφ k 1 DWFx 1 y 1 5

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Guľová plocha nφ sa pohybuje svojím stredom n. S po krivke k, pričom jej polomer nr sa mení podľa vzťahu nr = 3 – 4/π * ; <0, π/2>. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. z 2 z 3 Tereňová, Mészárosová 5φ x 2 1 S 1φ 1φ 2 2φ 3φ 2 S 2 k 2 2 2 4φ 2 O 2 2 3 3 = O 3 2φ 2 S 3φ 3 k 3 3 4φ 5φ 3 y 3 3 3 Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 1) Riadiacu krivku k rozdelíme na 4 zhodné časti. Body 1 S, 2 S, 3 S, 4 S, 5 S sú stredy guľových plôch 1φ, 2φ, 3φ, 4φ, 5φ. 1 = 0, 2 = π/8, 3 = π/4, 4 = 3π/8, 5 = π/2. 1 O 1 x 1 2 S 2φ 1 S 1φ 1 1 S 2 2) Vypočítame polomer guľovej plochy 1φ so stredom 1 S. 1 = 0, 1 r = 3 – 4/π * 0 = 3 cm. Narysujeme pôdorys, nárys a bokorys guľovej plochy 1φ. 1 1 3 S 3φ 3) Vypočítame polomer guľovej plochy 2φ so stredom 2 S. 2 = π/8, 2 r = 3 – 4/π * π/8 = 3 – 1/2 = 2, 5 cm. Narysujeme pôdorys, nárys a bokorys guľovej plochy 2φ. 1 4 S 1 4φ 1 4) Postup opakujeme pre guľové plochy 3φ, 4φ, 5φ. 1 k 1 5 S 1 5φ 5) Krivku k rozdelíme na 8 zhodných častí a doplníme 1 y 1 priemety ďalších guľových plôch. 6

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Guľová plocha nφ sa pohybuje svojím stredom n. S po krivke k, pričom jej polomer nr sa mení podľa vzťahu nr = 3 – 4/π * ; <0, π/2>. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. z 2 z 3 Tereňová, Mészárosová Φ 2 Φ 3 5φ x 2 1 S 1φ 1φ 2 2φ 3φ 2 S 2 k 2 2 2 4φ 2 2 O 2 1 S 1φ 2 3 3 = O 3 2φ 2 S 3φ 3 k 3 3 4φ 5φ 3 y 3 3 3 Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 6) Kanálová plocha Φ je obalová plocha systému guľových plôch nφ. Zobrazíme jej pôdorys, nárys a bokorys. 1 1 S 1 O 1 x 1 2 S 2φ 1 1 3 S 1 Φ 1 3φ 4 S 1 4φ 1 1 k 1 5 S 1 5φ 1 y 1 7

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Guľová plocha nφ sa pohybuje svojím stredom n. S po krivke k, pričom jej polomer nr sa mení podľa vzťahu nr = 3 – 4/π * ; <0, π/2>. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. Postup rysovania v kolmej axonometrii: 7) V kolmej axonometrii zobrazíme riadiacu krivku k. Krivka k je štvrťkružnica s polomerom 5 cm ležiaca v pôdorysni. Axonometrickým priemetom štvrťkružnice k je časť elipsy e. Prúžkovou konštrukciou určíme dĺžku vedľajšej polosi elipsy e. 8) Krivku k rozdelíme na 4 zhodné časti. Použijeme afinitu medzi elipsou e a kružnicou e'. Body 1 S, 2 S, 3 S, 4 S, 5 S sú stredy guľových plôch 1φ, 2φ, 3φ, 4φ, 5φ. 9) Priemetom guľovej plochy nφ v kolmej axonometrii je kruh so stredom v bode n. S s polomerom nr. 10) Krivku k rozdelíme na 8 zhodných častí a doplníme priemety ďalších guľových plôch. 11) Kanálová plocha Φ je obalová plocha systému guľových plôch nφ. Zobrazíme jej axonometrický priemet. z 5 cm 1 S 2 S x DWFx 5 S 4 S k 1φ e 5φ e' Φ Tereňová, Mészárosová 3 S 2φ 3φ 4φ y k' 8

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Guľová plocha nφ sa pohybuje svojím stredom n. S po krivke k, pričom jej polomer nr sa mení podľa vzťahu nr = 3 – 4/π * ; <0, π/2>. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. z 2 z 3 KA 1 - zhrnutie Tereňová, Mészárosová Φ 3 Φ 2 5φ x 2 1 S 1φ 1φ 2 2φ 3φ 2 S 2 k 2 2 2 4φ 2 2 O 2 1 S 1φ 2 3 = O 3 2φ 3 2 S 3φ 3 k 3 3 4φ 5φ y 3 3 z 1 1 S 1 2 S O 1 x 1 1 S 2 S 1 x 2φ 1 3 S 5 S 4 S k 1φ 4 S 1 4φ 1 Φ 1 k 1 5 S 1 5φ 1 y 1 e 5φ e' 1 Φ 1 3φ 3 S 2φ 3φ 4φ y k' 9

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Guľová plocha nφ sa pohybuje svojím stredom n. S po krivke k, pričom jej polomer nr sa mení podľa vzťahu nr = 3 – 4/π * ; <0, π/2>. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. z 2 z 3 Tereňová, Mészárosová Φ'3 Φ'2 5φ x 2 1 S 1φ 2 2φ 3φ 2 S 2 k 2 2 2 4φ 2 2 O 2 1 S 1φ 2 3 = O 3 2φ 3 2 S 3φ 3 k 3 3 4φ 5φ y 3 3 Poznámka: Kanálovú plochu Φ' môže považovať za otvorenú. 1φ z 1 1 S 1 2 S O 1 x 1 1 S 2 S 1 x 2φ 1 3 S 5 S 4 S k 1φ 4 S 1 4φ 1 Φ' 1 k 1 5 S 1 5φ 1 y 1 e 5φ e' 1 Φ'1 3φ 3 S 2φ 3φ 4φ y k' 10

Kanálová plocha – polomer guľovej plochy sa spojite mení Denton, Corker, Marshall Webb Bridge Melbourne, Austrália http: //s 20. postimg. org/y 138 ez 6 n 1/Webb_Bridge_3. jpg 11

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Polovica guľovej plochy sa pohybuje svojím stredom S po krivke k, pričom jej polomer r sa nemení. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii. KA 2 z 2 φ3 φ2 x 2 S 3 k 2 φ1 x 1 z 3 k 3 y 3 k – riadiaca čiara k je zložená z dvoch polkružníc φ – polovica guľovej plochy so stredom S, ležiaca nad pôdorysňou. Plochu nazveme polguľová plocha. S 1 k 1 y 1 DWFx Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 1) Zostrojíme bokorys riadiacej krivky k a polguľovej plochy φ. Tereňová 12

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Polovica guľovej plochy sa pohybuje svojím stredom S po krivke k, pričom jej polomer r sa nemení. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii. z 2 1φ φ2 x 2 S 2 2φ 2 1 S 2 2 3φ 4φ 5φ 2 2 2 k 2 2 S 2 3 S 2 4 S 2 5φ x 1 5 S 2 6 S 1 5 S φ1 6φ 7φ 2 6φ 7 S 2 8φ 8 S 2 1φ 1 S 1 4φ 2 S 1 2φ 3φ 3 = 3φ3 2φ 3 5 S 3 3 y 3 k 3 1 S 3 2 S 3 1 1 8φ 1 1φ 1 k 1 3 S 1 1 φ3 3 1 8 S 1 5φ 3 6 S 2 7φ 1 S 1 4 S 2 6φ 1 7 S 1 z 3 1 y 1 Tereňová 1 Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 2) Riadiacu krivku k rozdelíme na 8 rovnakých častí. Body 1 S, 2 S, 3 S, 4 S, 5 S, 6 S, 7 S, 8 S sú stredy polguľových plôch 1φ, 2φ, 3φ, 4φ, 5φ, 6φ, 7φ, 8φ. Polomer plôch φ, 1φ, 2φ, . . . , 8φ je rovnaký. Narysujeme pôdorys, nárys a bokorys polguľových plôch nφ. 3) Krivku k rozdelíme na 16 zhodných častí a doplníme priemety ďalších polguľových plôch. 13

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Polovica guľovej plochy sa pohybuje svojím stredom S po krivke k, pričom jej polomer r sa nemení. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii. z 2 φ2 x 2 Φ 2 1φ 2 S 2 1 S 2φ 2 2 3φ 4φ 5φ 2 2 2 k 2 2 S 2 3 S 2 4 S 2 5φ x 1 5 S 2 6 S 1 5 S φ1 6φ 7φ 2 6φ 7 S 2 8φ 8 S 2 1φ 1 S 2 S Φ 1 1 2φ 3φ 1φ 3 = 3φ3 2φ 3 5 S 3 3 k 3 1 S 3 2 S 3 y 3 1 1 8φ 1 φ3 1 k 1 3 S 1 1 1 4φ Φ 3 3 1 8 S 1 5φ 3 6 S 2 7φ 1 S 1 4 S 2 6φ 1 7 S 1 z 3 1 y 1 1 Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 4) Kanálová plocha Φ je obalová plocha systému polguľových plôch nφ. Zobrazíme jej pôdorys, nárys a bokorys. Tereňová 14

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Polovica guľovej plochy sa pohybuje svojím stredom S po krivke k, pričom jej polomer r sa nemení. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii. z 2 φ2 x 2 S 2 jm k 2 Postup rysovania vo vojenskej axonometrii: 5) Riadiacu krivku k zobrazíme vo vojenskej axonometrii, pre ktorú platí jm = jx = jy = jz. jm φ1 x 1 jm S 1 z jm k 1 y 1 x S = S 1 k = k 1 Tereňová jx y jz jy 15

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Polovica guľovej plochy sa pohybuje svojím stredom S po krivke k, pričom jej polomer r sa nemení. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii. z DWFx s A C k S D B Vojenská axonometria je šikmá axonometria, kde smer premietania zviera s axonometrickou priemetňou uhol 45°. Priemetom guľovej plochy so stredom S na osi z a s polomerom r vo vojenskej axonometrii je elipsa a jej vnútro. Hlavná os elipsy leží na priemete osi z. Dĺžka hlavnej polosi elipsy je (Vyplýva to z pravouhlého trojuholníka Sa. Ba. R. ) Dĺžka vedľajšej polosi elipsy je r. Poznámka: Kružnica k guľovej plochy ležiaca v rovine rovnobežnej s priemetňou sa zobrazí do zhodnej kružnice. R za k Ca a Aa Ba 45° Sa Da x Postup rysovania v axonometrii: C 6) Zobrazíme polguľovú plochu φ. Obrysom k plochy φ je polelipsa a polkružnica. Pre vedľajšie vrcholy C, D elipsy platí CD z a │CD│ = 2 r. Hlavná os elipsy je rovnobežná so z a │SA│ = Tereňová z A φ S = S 1 D k = k 1 jx y jz jy 16

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Polovica guľovej plochy sa pohybuje svojím stredom S po krivke k, pričom jej polomer r sa nemení. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii. Postup rysovania v axonometrii: 7) Riadiacu krivku k rozdelíme na 8 rovnakých častí. Body 1 S, 2 S, 3 S, 4 S, 5 S, 6 S, 7 S, 8 S sú stredy polguľových plôch 1φ, 2φ, 3φ, 4φ, 5φ, 6φ, 7φ, 8φ. Ich axonometrické priemety sú zhodné s priemetom polguľovej plochy φ. 8) Krivku k rozdelíme na 16 zhodných častí a doplníme priemety ďalších polguľových plôch. 9) Kanálová plocha Φ je obalová plocha systému polguľových plôch nφ. Zobrazíme jej axonometrický priemet. z φ 6 S 5 S S = S 1 x 6φ 5φ 7φ 7 S 1φ 4 S 1 S k = k 1 2 S Φ Tereňová 2φ 3 S 4φ 8 S 8φ 3φ y 17

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Polovica guľovej plochy sa pohybuje svojím stredom S po krivke k, pričom jej polomer r sa nemení. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii. KA 2 - zhrnutie φ2 x 2 Φ 2 1φ 2 S 2 1 S z 2 2φ 2 2 3φ 4φ 5φ 2 2 2 k 2 2 S 2 3 S 2 4 S 2 5φ 5 S 2 6 S 1 5 S φ1 x 1 6φ 7φ 2 6φ 7 S 2 8φ 8 S 2 4φ 1φ 1 S 1 2 S 1 Φ 1 1 2φ 1φ 3 5 S S 3 3 3 y 3 k 3 1 S 3 2 S 3 1 8φ 1 = 3φ3 2φ z 6φ 1 5φ φ 1 3φ 3 1 y 1 6 S 5 S S = S 1 x 7φ 7 S 1 1φ 4 S 1 S k = k 1 2 S Φ Tereňová φ3 1 k 1 3 S 6 S Φ 3 3 1 8 S 1 2 5φ 3 2 7φ 1 S 1 4 S 6φ 1 7 S 1 z 3 2φ 3 S 4φ 8 S 8φ 3φ y 18

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Polovica guľovej plochy sa pohybuje svojím stredom S po krivke k, pričom jej polomer r sa nemení. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii. z 2 φ2 x 2 Φ'2 1φ S 2 2φ 2 1 S 2 2 3φ 4φ 5φ 2 2 2 k 2 2 S 2 3 S 2 4 S 2 5φ x 1 5 S S 1 6 S 2 7φ 2 6φ 7 S 2 8φ 8 S 2 1 S 2 S Φ'1 1 2φ 3φ 3 = 3φ3 2φ 3 5 S 3 k 3 1 S 3 2 S 3 3 y 3 1 1 1 8φ 1 1φ n'1 k 1 3 S 1 1 1 Φ'3 φ3 3 1 8 S 4φ 5φ 3 6 S 2 7φ 1 n 1 1 2 6φ 1 7 S 1 4 S 1φ 2 6 S 1 5 S φ1 6φ z 3 1 y 1 1 Poznámka: Kanálovú plochu Φ' môže považovať za otvorenú. Plocha Φ' sa skladá z polovíc dvoch anuloidov a preto plocha Φ' začína polkružnicou n so stredom S v nárysni a končí polkružnicou n' so stredom 8 S v nárysni. Tereňová 19

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Polovica guľovej plochy sa pohybuje svojím stredom S po krivke k, pričom jej polomer r sa nemení. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii. Poznámka: Kanálovú plochu Φ' môže považovať za otvorenú. Plocha Φ' sa skladá z polovíc dvoch anuloidov a preto plocha Φ' začína polkružnicou n so stredom S v nárysni a končí polkružnicou n' so stredom 8 S v nárysni. Axonometrickým priemetom polkružníc n a n' sú polelipsy, ktoré určíme združenými priemermi a polelipsy zostrojíme priečkovou konštrukciou. z φ n 6 S 5 S S = S 1 x 6φ 5φ 7φ 7 S 1φ 4 S 1 S k = k 1 2 S Φ' Tereňová 2φ 3 S 4φ n' 8 S 8φ 3φ y 20

Kanálová plocha Φ je určená riadiacou čiarou k. Polovica guľovej plochy sa pohybuje svojím stredom S po krivke k, pričom jej polomer r sa nemení. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii. z 2 φ2 x 2 Φ'2 1φ S 2 2φ 2 1 S 2 2 3φ 4φ 5φ 2 2 2 k 2 2 S 2 3 S 2 4 S 2 5φ 5 S 5 S S 1 2 6 S 1 φ1 x 1 6φ 7φ 2 6φ 7 S 2 8φ 8 S 2 4φ 1φ 1 S 1 2 S 1 Φ'1 1 1 2φ 3 5 S S 3 3 3 y 3 k 3 1 S 3 2 S 3 1 z 1 y 1 6φ 5φ φ 6 S 5 S S = S 1 x 7φ 7 S 1 1φ 4 S 1 S k = k 1 2 S Φ' Tereňová = 3φ3 2φ n 1 3 1 8φ 1 3φ 1φ n'1 k 1 3 S 6 S Φ'3 φ3 3 1 8 S 1 2 5φ 3 2 7φ 1 n 1 4 S 6φ 1 7 S 1 z 3 2φ 3 S 4φ n' 8 S 8φ 3φ y 21

Príklad: Ak je riadiaca čiara kanálovej plochy priamka, resp. úsečka a polomer guľovej plochy sa nemení, tak kanálová plocha je rotačná valcová plocha. Príklad: Ak je riadiaca čiara kanálovej plochy priamka, resp. úsečka a polomer guľovej plochy sa mení, tak kanálová plocha je rotačná plocha. Poznámka: Pozri kapitolu R 2 v prvej časti skrípt www. math. sk/skripta. DG 2/1. Takasaki Masaharu Nanohanakan Senior Center The Kagosima Community http: //backnumber. japan-architect. co. jp/english/2 maga/ja/ja 0065/works/047. html 22

Kanálová plocha – Jednodielny rotačný hyperboloid s vodorovnou osou Street Footbridge Manchester, Veľká Británia http: //www. hodderandpartners. com/projects/corporation-street-bridge-manchester 23

Kanálová plocha ABB Architects with Bernard Franken The Bubble Frankfurt am Main, Nemecko http: //www. franken-architekten. de/index. php? pagetype=projectdetail&lang=en&cat=6&param=cat&param 2=21&param 3=0& 24

Kanálová plocha Koncertná hala Tbilisi, Gruzínsko http: //topview. photos/wp-content/uploads/2015/04/G 0024324. jpg 25

Kanálová plocha Santiago Calatrava Polytechnic University Florida, USA http: //static. dezeen. com/uploads/2014/08/Florida-Polytechnic-University-by-Santiago-Calatrava_dezeen_ban. jpg http: //image. digitalinsightresearch. in/uploads/imagelibrary/Archive/nri/designbuild/FL-Poly. jpg http: //group. skanska. com/4 a 0006/globalassets/media/articles/florida-polytechnic-university---designed-to-inspire/floridapolytechnic. jpg 26