Kapitola TR Translan plochy 1 Translan plocha Nech
- Slides: 28
Kapitola TR Translačné plochy 1
Translačná plocha Nech a, b sú dve čiary so spoločným bodom P, neležiace v jednej rovine. Translačná plocha vznikne spojitým posúvaním (transláciou) čiary a po čiare b. Čiara a sa nazýva tvoriaca, čiara b sa nazýva riadiaca. Čiary a, b môžu byť rovinné alebo priestorové. A a b P Každý bod čiary a sa pohybuje po dráhe, ktorá vznikne posunutím čiary b. Funkciu riadiacej a tvoriacej čiary môžeme zameniť. Preto ich budeme ďalej nazývať určujúce čiary translačnej plochy. Mészárosová 2
Na translačnej ploche sú dve sústavy čiar: a, 1 a, 2 a, 3 a, . . . na, . . . b, 1 b, 2 b, 3 b, . . . nb, . . . Každá čiara jednej sústavy pretína všetky čiary druhej sústavy. Každým bodom translačnej plochy prechádza jedna čiara z každej sústavy. Všetky čiary jednej sústavy sú navzájom zhodné. Čiary a, 1 a, 2 a, 3 a, . . . na, . . . sú navzájom zhodné (posunuté). Čiary b, 1 b, 2 b, 3 b, . . . nb, . . . sú navzájom zhodné (posunuté). 3 b 2 b A 1 b a P 1 a 2 a 3 a Poznámka: Porovnajte vlastnosti sústavy čiar a, 1 a, 2 a, 3 a, . . . na, . . . ; b, 1 b, 2 b, 3 b, . . . na translačnej ploche a na klinovej ploche. Na klinovej ploche sa tvar čiar v sústave a, 1 a, 2 a, 3 a, . . . na, . . . mení. Aj v sústave b, 1 b, 2 b, 3 b, . . . nb, . . . sa tvar čiar klinovej plochy mení. Pozri kapitolu Klinové plochy. b Mészárosová 3
Nech a, b sú dve čiary so spoločným bodom P, ležiace v jednej rovine. Aký útvar vznikne spojitým posúvaním (transláciou) čiary a po čiare b? Ak je jedna z určujúcich čiar translačnej plochy priamka, resp. úsečka, tak vytvoríme valcovú alebo hranolovú plochu. b b a a Tereňová Poznámka: Podľa typu určujúcich čiar tvoríme názov translačnej plochy. Napríklad plochu určenú kružnicou a parabolou nazývame kružnicovo-parabolická translačná plocha, pozri príklad T 1. 4
Valcová plocha Shin Takamatsu Kunibiki Mese Shimane, Japonsko http: //www. ipernity. com/doc/ojisanjake/4022879 5
Translačná plocha – použitie v praxi V stavebnej praxi použitie translačných plôch ponúka niektoré výhody. Najvýznamnejšia z nich je možnosť sériovej výroby jej častí, lebo riadiace aj tvoriace čiary sú navzájom zhodné. Pri zastrešení veľkých priestorov sú vhodné kužeľosečko-kužeľosečkové translačné plochy, resp. ich časti. Napríklad kružnicovo-eliptické alebo kružnicovo-parabolické, pretože voľbu riadiacich oblúkov možno dobre prispôsobiť účelu klenby. Pre veľkú variabilitu a zároveň jednoduchosť realizácie sú najčastejšie aplikované translačné plochy s riadiacou úsečkou (pozri [Píska – Medek]). Gerkan, Marg und Partner, Deutsche Messe AG Hannover, Germany http: //www. sbp. de/en/project/trade-fair-hanover-hall-89/ 6
Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. R 3 a – časť paraboly nad pôdorysňou, určená bodmi P, O a vrcholom V, ležiaca v bokorysni b – kružnicový oblúk AO so stredom S, ležiaci v nárysni T 1 z 2 z 3 V 2 Zobrazovaná plocha je parabolickokružnicová translačná plocha. V 3 a 2 b 2 x 2 a 3 P 2 = O 2 O 3 = A 3 y. V A 2 y. V r b 1 P 3 V y 3 A = A 1 x S 2 A 1 R b 3 r x 1 z S 1 O 1 b b 1 O S 1 r a V 1 S y. V V 1 a 1 y. V y 1 P 1 Určujúce prvky v kavaliernej axonometrii a 1 P = P 1 Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 1) Zobrazíme bokorys určujúcich kriviek a, b. Parabola a leží v bokorysni. PO VV 1, t. j. VV 1 je os paraboly a. V bokoryse platí V 3 y 3 = V 3 R 3. y Poznámka: Konštrukciu paraboly pozri v prvej časti skrípt www. math. sk/skripta. DG 2/1. Tereňová 7
R 3 Translačná plocha je určená krivkami a a b. 1 Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. 1 R 2 R 1 V 2 V 2 2 a z 3 2 1 a 1 V 3 1 a V 3 2 a 2 2 a 3 = a 3 1 P P 3 V 2 V 3 y 3 B b A = A 1 x b 1 1 1 a O S 1 2 a 1 2 V P 2 = O 2 O 3 = A 3 A 2 3 B 3 b 3 B 2 R 1 V V 2 2 b 2 x 2 z 2 a S 2 P a V 1 1 P a 1 P = P 1 Paraboly 1 a, 2 a v kavaliernej axonometrii S 2 x 1 A 1 2 V 2 a b 1 S 1 = B 1 1 1 V 1 1 a 2 P 1 1 P O 1 V 1 a 1 1 y 1 P 1 y Postup rysovania: 2) Translačná plocha vnikne posúvaním paraboly a po kružnicovom oblúku b, pričom bod O paraboly a sa posúva po krivke b. Posunutá parabola ia leží v rovine rovnobežnej s bokorysňou . Zostrojíme parabolu 1 a, ktorá prechádza bodom B b. Parabola 1 a je určená bodmi B, 1 P a vrcholom 1 V. Zostrojíme parabolu 2 a, ktorá prechádza bodom A b. Parabola 2 a je určená bodmi A, 2 P a vrcholom 2 V. Tereňová 8
Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. z 1 V 2 V 2 2 a 1 b 1 B 3 2 a 2 2 A 2 1 S r A 1 b 1 1 b 2 2 V 2 a 1 V 1 1 a 1 O 1 1 B 1 1 2 P 1 P 1 b 3 1 a V 3 2 a 3 = V 1 a 1 1 1 B 3 a 3 1 P y 1 P 1 b A = A 1 x 3 b 1 2 a 1 P 3 y 3 B r S 1 1 S 1 V 1 b 2 V 2 V r S 1 = B 1 1 1 V P 2 = O 2 O 3 = A 3 S 2 x 1 3 B 3 b 3 B 2 r 1 V V 2 1 B 2 2 z 3 2 1 a b 2 x 2 z 2 1 a O 2 a S a V 1 1 P a 1 P = P 1 1 Kružnicový oblúk b v kavaliernej axonometrii 2 P y Postup rysovania: 3) Na translačnej ploche druhú sústavu kriviek tvoria kružnicové oblúky ib, ktoré dostaneme posúvaním kružnicového oblúka b po parabole a. Pri posúvaní bod O krivky b sa posúva po parabole a. Zároveň bod B krivky b sa posúva po parabole 1 a. Posunutá krivka ib leží v rovine rovnobežnej s nárysňou . Zostrojíme kružnicový oblúk 1 b, ktorý prechádza ľubovoľným bodom 1 B 1 a. Tereňová 9
Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. z 4 b 2 V 3 b 2 = 5 b 2 2 b 2 a 2 1 b 2 = 6 b 3 B 2 2 4 S 3 S = 8 b 2 2 A 2 1 S r a 2 2 1 b A 1 2 V 2 a 1 1 2 P 1 b 1 3 1 B 1 2 b 1 2 B 1 3 b 1 3 B 1 4 b 1 1 V 5 b 1 1 a 6 b 1 7 b 1 8 b 1 1 P 3 3 = 1 B 3 7 B 3 1 P V 1 a 1 1 y 1 P 3 b A = A 1 x 3 a 3 r rb 3 3 y 3 b 1 2 a 1 2 V B r S 1 1 S 1 V 1 2 V r r 2 a S 1 a r O a r 1 P 8 b 2 P 8 b V 1 a 1 1 Translačná plocha Sa v kavaliernej axonometrii r P = P 1 y Postup rysovania: 4) Zostrojíme ďalšie kružnicové oblúky 2 b, 3 b, 4 b, ktoré prechádzajú ľubovoľnými bodmi 2 B, 3 B 1 a a bodom 1 V 1 a. O 1 1 1 6 b 1 a 8 b r S 1 = B 1 1 V 3 1 V 6 B 3 3 2 a P 2 = O 2 O 3 = A 3 1 b B 3 7 b S 2 x 1 3 3 5 b 35 B 3 b 3 2 2 4 b 3 b 1 B 2 3 b 3 B 2 2 S 2 B 3 V 2 1 B 2 r 1 V 3 B 3 a 2 2 3' z 3 2 2 B 21 7 2 = b 2 x 2 1 V 2 z 2 1' Translačná plocha je súmerná podľa roviny ' rovnobežnej s nárysňou, ktorá inciduje s vrcholom V paraboly a. Túto vlastnosť využijeme pri konštrukcii ďalších kružnicových oblúkov ib : Zostrojíme kružnicové oblúky v rovinách, ktoré sú s rovinami kriviek b, 1 b, 2 b, 3 b súmerné podľa roviny '. 5) Zobrazíme pôdorys, nárys a bokorys translačnej plochy. 10
Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. R 3 z 2 Postup rysovania v axonometrii: 6) Určujúce krivky a, b zobrazíme v kavaliernej axonometrii, pre ktorú platí jm = jx = jy = jz. z 3 V 2 V 3 a 2 b 2 x 2 A 2 r z z. V R a 3 jmb 3 z. S P 2 = O 2 O 3 = A 3 y. V x. S y. V P 3 y 3 r V S 2 x 1 A 1 b 1 S 1 jm O 1 jm A = A 1 x y. V b jz b 1 S 1 x. S z. S V 1 a 1 y. V y 1 P 1 S Tereňová r jx z. V O jy y. V a V 1 a 1 y. V P = P 1 y 11
Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 7) Jednu sústavu kriviek na translačnej ploche tvoria paraboly ia, ktoré dostaneme posúvaním paraboly a po kružnicovom oblúku b, pričom bod O paraboly a sa posúva po krivke b. Posunutá parabola ia leží v rovine rovnobežnej s bokorysňou . 1 R z 2 R Zostrojíme parabolu 1 a, ktorá prechádza bodom B b. Parabola 1 a je určená bodmi B, 1 P a vrcholom 1 V. Zostrojíme parabolu 2 a, ktorá prechádza bodom A b. Parabola 2 a je určená bodmi A, 2 P a vrcholom 2 V. R 1 V V 2 V A = A 1 x B b b 1 2 a 1 2 V 1 a O S 1 1 V 1 2 a 1 P S 2 P Tereňová a a 1 P = P 1 y 12
Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 8) Druhú sústavu kriviek na translačnej ploche tvoria kružnicové oblúky ib, ktoré dostaneme posúvaním kružnicového oblúka b po parabole a. Bod O krivky b sa posúva po parabole a. Zároveň bod B krivky b sa posúva po parabole 1 a. Posunutá krivka ib leží v rovine rovnobežnej s nárysňou . z Zostrojíme kružnicové oblúky ib, ktoré prechádzajú ľubovoľnými bodmi 9 B, 10 B, 11 B, 12 B, 13 B, 14 B 1 a a bodmi 1 V, 1 P 1 a. 10 B 9 B 9) Stredy všetkých kružnicových oblúkov ib ležia na parabole Sa zhodnej s parabolou a. A = A 1 x 2 V b 1 2 a 1 2 V 12 b r r r 10 b 9 S S O a 14 b r 13 S 8 b 2 P 8 b V 1 r 1 P 1 14 S Sa Tereňová V 1 a 13 b 14 B r 12 S 2 a 11 b 13 B 9 b 11 10 S S 4 S S 1 1 1 V 12 B 4 b r B b 11 B 8 S a 1 P = P 1 r y 13
Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 10) Doplníme obrys plochy ako obálku axonometrických priemetov zostrojených kriviek translačnej plochy. Pre lepšiu názornosť vyfarbíme jednu stranu plochy zelenou farbou a druhú stranu žltou farbou. z 10 B 9 B 11 B 4 b 12 B 12 b 2 V A = A 1 x b 1 2 a 1 2 V 11 10 S S 4 S S 1 9 S 1 10 b 11 b O 1 a 13 b 14 B a 14 b 12 S 2 a S 13 S 8 b 2 P 8 b V 1 1 P 1 14 S Sa Tereňová V 13 B 9 b B b 1 V 8 S a 1 P = P 1 y 14
Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 11) Doplníme ďalšie paraboly a zobrazíme viditeľnosť zostrojených kriviek translačnej plochy. z 1 V V 2 V A = A 1 x b B 1 a O b 1 2 a 1 a 2 a 1 P 8 b 2 P Tereňová 8 b 1 a 1 P = P 1 y 15
R 3 Translačná plocha je určená krivkami a a b. 1 Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. R 3 T 1 – zhrnutie 4 b 2 V 3 b 2 2 a 2 1 b = 5 b 2 = 7 b 3 B 2 2 4 S 3 S b 2 2 A 2 1 S r a 2 2 4 b 3 b 1 B 2 3 b 3 1 b 3 3 5 b 35 B 3 6 B 3 3 V 3 6 b 2 1 a 7 b 3 2 a 3 = 3 1 R 7 B 3 3 a 3 1 P P 3 A 1 b 1 1 b 2 b 2 V 2 a 1 1 2 P 1 S 1 = B 1 3 y 3 10 B r 9 B 1 1 2 B 1 3 b 1 3 B 1 4 b 1 1 V 5 b 1 1 a 6 b 1 7 b 1 8 b 1 V 1 a 1 1 4 b A = A 1 x b 1 1' 1 2 V 12 b 10 b jz 11 b O 1 a 13 b 14 B a 14 b 11 4 Sj 10 S Sjx y 9 S 12 S 2 a S 13 S 8 b 2 P 8 b V 1 1 P 1 14 S Sa 1 P 1 y 1 P 1 Tereňová V 13 B 9 b S 1 1 1 V 12 B B b 2 a 1 11 B 2 V jm O 1 jm R 3 S 2 x 1 z 2 R 8 b P 2 = O 2 O 3 = A 3 2 3 B 3 jmb 3 B 2 2 S 2 B 3 V 2 1 B 2 2 1 V 3 B 3 a 2 6 2 = b 2 3' z 3 2 2 B 21 2 2 b x 2 1 V 2 z 2 8 S a 1 P = P 1 y 16
Práca študenta: Miroslav Dorotčín, FA STU, školský rok 2002/03 17
Rotačný paraboloid je rotačná plocha (pozri kapitolu R 2 v prvej časti skrípt www. math. sk/skripta. DG 2/1), ale tú istú plochu môžeme vytvoriť aj transláciou paraboly a po parabole b, t. j. je to parabolicko-parabolická translačná plocha. Paraboly a a b sú zhodné a ležia v navzájom kolmých rovinách a v jednom polpriestore. Poznámka: Rez rotačného paraboloidu rovinou kolmou na os paraboly je kružnica. z z P b a x k y Rotačný paraboloid ako rotačná plocha DWFx Rotačný paraboloid ako translačná plocha Poznámka: Ak paraboly a a b nie sú zhodné paraboly, tak vznikne eliptický paraboloid. Rez eliptického paraboloidu rovinou kolmou na os paraboly je elipsa. Tereňová 18
Parabolicko-parabolická translačná plocha (eliptický paraboloid) Parabolicko-parabolická translačná plocha zastrešujúca budovu s obdĺžnikovým pôdorysom s rozmermi 69 m x 38 m. Hrúbka betónovej škrupiny sa pohybuje medzi 7, 6 cm a 15 cm. https: //en. wikipedia. org/wiki/Smithfield_Poultry_Market http: //www. viewpictures. co. uk/Details. aspx? ID=113512&Type. ID=1 Thomas Bennet and Son Smithfield Poultry Market Londýn, Veľká Británia, 1962 až 1963 https: //www. flickr. com/photos/klemas/4330632261 19
Translačná plocha Bjarke Ingels Groop, Futbalový štadión – návrh Nuuk, Grónsko http: //aasarchitecture. com/2017/02/nuuk-stadium-big. html 20
Hyperbolický paraboloid je nerozvinuteľná priamková plocha (pozri kapitolu P 3. 1. 1 b), ale tú istú plochu môžeme vytvoriť aj transláciou paraboly a po parabole b, t. j. je to parabolickoparabolická translačná plocha. Paraboly a a b ležia v opačných polpriestoroch. '' D '' ' z B ' q p'' a p' D 1 q' p C = C 1 q'' P b'' b' a' a'' b O h p '' x A = A 1 p '' B 1 y p ' Hyperbolický paraboloid ako priamková plocha Rovinné rezy zobrazeného hyperbolického paraboloidu rovinami , '' sú zhodné paraboly a rovinné rezy rovinami , '' sú zhodné paraboly. O P 1 y p '' x p ' Hyperbolický paraboloid ako translačná plocha Na obrázku paraboly a, b ležia v navzájom kolmých rovinách. Tereňová 21
Hyperbolický paraboloid použitý na zastrešenie budovy Kongresová hala Berlín, Nemecko Poznámka: Strecha je ohraničená dvoma rovinnými oblúkmi, ktorých pôdorys má tvar paraboly. http: //nemecko. tripzone. cz/berlin/fotogalerie/nova-berlinska-kongresova-hala-85 http: //www. casopisstavebnictvi. cz/membranove-strechy-z-predpjateho-betonu_N 1598 22
Tereňová Vinutý stĺpik je cyklická skrutková plocha, ale tú istú plochu môžeme vytvoriť aj transláciou kružnice k po skrutkovici b, t. j. je to kružnicovo-skrutkovicová translačná plocha. z = o s s b DWFx O S k = k 1 y Vinutý stĺpik ako skrutková plocha Každý bod kružnice k sa pohybuje po „svojej“ skrutkovici. Všetky skrutkovice majú rovnakú výšku závitu, resp. parameter, rovnakú os o, ale rôzny polomer (polomer sa rovná vzdialenosti konkrétneho bodu od osi o). x S k = k 1 P y Vinutý stĺpik ako translačná plocha Každý bod kružnice k sa pohybuje po „svojej“ skrutkovici, ktorá je zhodná so skrutkovicou stredu S kružnice k (s osou o). 23
Tereňová Každý bod kružnice k sa pohybuje po „svojej“ skrutkovici, ktorá je zhodná so skrutkovicou stredu S kružnice k (s osou o). Určte os jednotlivých skrutkovíc. z = o s o. C o. A o. B Nech A je bod kružnice k. Os o. A skrutkovice bodu A prechádza bodom OA v pôdorysni, pričom vektory SO a AOA sú zhodné. k' O OA x Osi všetkých skrutkovíc bodov kružnice k(S, r) prechádzajú bodmi kružnice k'(O, r). B C A S k = k 1 y Vinutý stĺpik ako translačná plocha 24
Translačná plocha Práca študenta: Daniel Pribula 25
Translačná plocha Kasahara Design Work St. Voile Chapel Japonsko http: //www. archdaily. com/621238/st-voile-chapel-kasahara-designwork/5532 b 158 e 58 ecee 008000273 -st-voile-chapel-kasahara-design-work-photo 26
Parabolicko-parabolická translačná plocha (eliptický paraboloid) Dizajnér Heinz Isler a architekt H. Maier Plaváreň Brugg, Argovia, Švajčiarsko, 1981 Rozpon 35 m Materiál: tvrdený betón https: //structurae. net/structures/badi-brugg 27
Translačná plocha Architekt: J. A. Copeland Tenisová hala Heimberg, Berne, Švajčiarsko, 1978 Rozpon 48 metrov Materiál: tvrdený betón https: //structurae. net/structures/heimberg-tennis-hall 28
- Nech slnko nezapadá nad vašim hnevom
- Nech je svetlo
- Kruhové házení
- Jednotky plochy
- Obsah plochy průřezu vodorovného potrubí se zužuje
- Nn-cm-01
- Moment setrvačnosti disku
- Tisk z plochy
- Eliptický paraboloid
- Zborcená plocha
- Svisl
- Deformacne ucinky sily
- Rovnoměrnou změnou proudu v cívce
- Mohorovičičova plocha nespojitosti
- Kvader
- Rovnoběžná žilnatina
- Objem a povrch kocky a kvádra príklady
- Velka plocha pola
- Povrch a objem gule
- Mohorovičičova plocha
- Obvod kruhu vzorec
- Málo členitá plochá krajina se nazývá
- Výbežok oceánu alebo mora do pevniny
- Mohorovičičova plocha diskontinuity
- Plocha odborne
- Obvod kruhu vzorec
- Lichoběžník vlastnosti