Kapitola TR Translan plochy 1 Translan plocha Nech

  • Slides: 28
Download presentation
Kapitola TR Translačné plochy 1

Kapitola TR Translačné plochy 1

Translačná plocha Nech a, b sú dve čiary so spoločným bodom P, neležiace v

Translačná plocha Nech a, b sú dve čiary so spoločným bodom P, neležiace v jednej rovine. Translačná plocha vznikne spojitým posúvaním (transláciou) čiary a po čiare b. Čiara a sa nazýva tvoriaca, čiara b sa nazýva riadiaca. Čiary a, b môžu byť rovinné alebo priestorové. A a b P Každý bod čiary a sa pohybuje po dráhe, ktorá vznikne posunutím čiary b. Funkciu riadiacej a tvoriacej čiary môžeme zameniť. Preto ich budeme ďalej nazývať určujúce čiary translačnej plochy. Mészárosová 2

Na translačnej ploche sú dve sústavy čiar: a, 1 a, 2 a, 3 a,

Na translačnej ploche sú dve sústavy čiar: a, 1 a, 2 a, 3 a, . . . na, . . . b, 1 b, 2 b, 3 b, . . . nb, . . . Každá čiara jednej sústavy pretína všetky čiary druhej sústavy. Každým bodom translačnej plochy prechádza jedna čiara z každej sústavy. Všetky čiary jednej sústavy sú navzájom zhodné. Čiary a, 1 a, 2 a, 3 a, . . . na, . . . sú navzájom zhodné (posunuté). Čiary b, 1 b, 2 b, 3 b, . . . nb, . . . sú navzájom zhodné (posunuté). 3 b 2 b A 1 b a P 1 a 2 a 3 a Poznámka: Porovnajte vlastnosti sústavy čiar a, 1 a, 2 a, 3 a, . . . na, . . . ; b, 1 b, 2 b, 3 b, . . . na translačnej ploche a na klinovej ploche. Na klinovej ploche sa tvar čiar v sústave a, 1 a, 2 a, 3 a, . . . na, . . . mení. Aj v sústave b, 1 b, 2 b, 3 b, . . . nb, . . . sa tvar čiar klinovej plochy mení. Pozri kapitolu Klinové plochy. b Mészárosová 3

Nech a, b sú dve čiary so spoločným bodom P, ležiace v jednej rovine.

Nech a, b sú dve čiary so spoločným bodom P, ležiace v jednej rovine. Aký útvar vznikne spojitým posúvaním (transláciou) čiary a po čiare b? Ak je jedna z určujúcich čiar translačnej plochy priamka, resp. úsečka, tak vytvoríme valcovú alebo hranolovú plochu. b b a a Tereňová Poznámka: Podľa typu určujúcich čiar tvoríme názov translačnej plochy. Napríklad plochu určenú kružnicou a parabolou nazývame kružnicovo-parabolická translačná plocha, pozri príklad T 1. 4

Valcová plocha Shin Takamatsu Kunibiki Mese Shimane, Japonsko http: //www. ipernity. com/doc/ojisanjake/4022879 5

Valcová plocha Shin Takamatsu Kunibiki Mese Shimane, Japonsko http: //www. ipernity. com/doc/ojisanjake/4022879 5

Translačná plocha – použitie v praxi V stavebnej praxi použitie translačných plôch ponúka niektoré

Translačná plocha – použitie v praxi V stavebnej praxi použitie translačných plôch ponúka niektoré výhody. Najvýznamnejšia z nich je možnosť sériovej výroby jej častí, lebo riadiace aj tvoriace čiary sú navzájom zhodné. Pri zastrešení veľkých priestorov sú vhodné kužeľosečko-kužeľosečkové translačné plochy, resp. ich časti. Napríklad kružnicovo-eliptické alebo kružnicovo-parabolické, pretože voľbu riadiacich oblúkov možno dobre prispôsobiť účelu klenby. Pre veľkú variabilitu a zároveň jednoduchosť realizácie sú najčastejšie aplikované translačné plochy s riadiacou úsečkou (pozri [Píska – Medek]). Gerkan, Marg und Partner, Deutsche Messe AG Hannover, Germany http: //www. sbp. de/en/project/trade-fair-hanover-hall-89/ 6

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. R 3 a – časť paraboly nad pôdorysňou, určená bodmi P, O a vrcholom V, ležiaca v bokorysni b – kružnicový oblúk AO so stredom S, ležiaci v nárysni T 1 z 2 z 3 V 2 Zobrazovaná plocha je parabolickokružnicová translačná plocha. V 3 a 2 b 2 x 2 a 3 P 2 = O 2 O 3 = A 3 y. V A 2 y. V r b 1 P 3 V y 3 A = A 1 x S 2 A 1 R b 3 r x 1 z S 1 O 1 b b 1 O S 1 r a V 1 S y. V V 1 a 1 y. V y 1 P 1 Určujúce prvky v kavaliernej axonometrii a 1 P = P 1 Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 1) Zobrazíme bokorys určujúcich kriviek a, b. Parabola a leží v bokorysni. PO VV 1, t. j. VV 1 je os paraboly a. V bokoryse platí V 3 y 3 = V 3 R 3. y Poznámka: Konštrukciu paraboly pozri v prvej časti skrípt www. math. sk/skripta. DG 2/1. Tereňová 7

R 3 Translačná plocha je určená krivkami a a b. 1 Krivka a je

R 3 Translačná plocha je určená krivkami a a b. 1 Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. 1 R 2 R 1 V 2 V 2 2 a z 3 2 1 a 1 V 3 1 a V 3 2 a 2 2 a 3 = a 3 1 P P 3 V 2 V 3 y 3 B b A = A 1 x b 1 1 1 a O S 1 2 a 1 2 V P 2 = O 2 O 3 = A 3 A 2 3 B 3 b 3 B 2 R 1 V V 2 2 b 2 x 2 z 2 a S 2 P a V 1 1 P a 1 P = P 1 Paraboly 1 a, 2 a v kavaliernej axonometrii S 2 x 1 A 1 2 V 2 a b 1 S 1 = B 1 1 1 V 1 1 a 2 P 1 1 P O 1 V 1 a 1 1 y 1 P 1 y Postup rysovania: 2) Translačná plocha vnikne posúvaním paraboly a po kružnicovom oblúku b, pričom bod O paraboly a sa posúva po krivke b. Posunutá parabola ia leží v rovine rovnobežnej s bokorysňou . Zostrojíme parabolu 1 a, ktorá prechádza bodom B b. Parabola 1 a je určená bodmi B, 1 P a vrcholom 1 V. Zostrojíme parabolu 2 a, ktorá prechádza bodom A b. Parabola 2 a je určená bodmi A, 2 P a vrcholom 2 V. Tereňová 8

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. z 1 V 2 V 2 2 a 1 b 1 B 3 2 a 2 2 A 2 1 S r A 1 b 1 1 b 2 2 V 2 a 1 V 1 1 a 1 O 1 1 B 1 1 2 P 1 P 1 b 3 1 a V 3 2 a 3 = V 1 a 1 1 1 B 3 a 3 1 P y 1 P 1 b A = A 1 x 3 b 1 2 a 1 P 3 y 3 B r S 1 1 S 1 V 1 b 2 V 2 V r S 1 = B 1 1 1 V P 2 = O 2 O 3 = A 3 S 2 x 1 3 B 3 b 3 B 2 r 1 V V 2 1 B 2 2 z 3 2 1 a b 2 x 2 z 2 1 a O 2 a S a V 1 1 P a 1 P = P 1 1 Kružnicový oblúk b v kavaliernej axonometrii 2 P y Postup rysovania: 3) Na translačnej ploche druhú sústavu kriviek tvoria kružnicové oblúky ib, ktoré dostaneme posúvaním kružnicového oblúka b po parabole a. Pri posúvaní bod O krivky b sa posúva po parabole a. Zároveň bod B krivky b sa posúva po parabole 1 a. Posunutá krivka ib leží v rovine rovnobežnej s nárysňou . Zostrojíme kružnicový oblúk 1 b, ktorý prechádza ľubovoľným bodom 1 B 1 a. Tereňová 9

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. z 4 b 2 V 3 b 2 = 5 b 2 2 b 2 a 2 1 b 2 = 6 b 3 B 2 2 4 S 3 S = 8 b 2 2 A 2 1 S r a 2 2 1 b A 1 2 V 2 a 1 1 2 P 1 b 1 3 1 B 1 2 b 1 2 B 1 3 b 1 3 B 1 4 b 1 1 V 5 b 1 1 a 6 b 1 7 b 1 8 b 1 1 P 3 3 = 1 B 3 7 B 3 1 P V 1 a 1 1 y 1 P 3 b A = A 1 x 3 a 3 r rb 3 3 y 3 b 1 2 a 1 2 V B r S 1 1 S 1 V 1 2 V r r 2 a S 1 a r O a r 1 P 8 b 2 P 8 b V 1 a 1 1 Translačná plocha Sa v kavaliernej axonometrii r P = P 1 y Postup rysovania: 4) Zostrojíme ďalšie kružnicové oblúky 2 b, 3 b, 4 b, ktoré prechádzajú ľubovoľnými bodmi 2 B, 3 B 1 a a bodom 1 V 1 a. O 1 1 1 6 b 1 a 8 b r S 1 = B 1 1 V 3 1 V 6 B 3 3 2 a P 2 = O 2 O 3 = A 3 1 b B 3 7 b S 2 x 1 3 3 5 b 35 B 3 b 3 2 2 4 b 3 b 1 B 2 3 b 3 B 2 2 S 2 B 3 V 2 1 B 2 r 1 V 3 B 3 a 2 2 3' z 3 2 2 B 21 7 2 = b 2 x 2 1 V 2 z 2 1' Translačná plocha je súmerná podľa roviny ' rovnobežnej s nárysňou, ktorá inciduje s vrcholom V paraboly a. Túto vlastnosť využijeme pri konštrukcii ďalších kružnicových oblúkov ib : Zostrojíme kružnicové oblúky v rovinách, ktoré sú s rovinami kriviek b, 1 b, 2 b, 3 b súmerné podľa roviny '. 5) Zobrazíme pôdorys, nárys a bokorys translačnej plochy. 10

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. R 3 z 2 Postup rysovania v axonometrii: 6) Určujúce krivky a, b zobrazíme v kavaliernej axonometrii, pre ktorú platí jm = jx = jy = jz. z 3 V 2 V 3 a 2 b 2 x 2 A 2 r z z. V R a 3 jmb 3 z. S P 2 = O 2 O 3 = A 3 y. V x. S y. V P 3 y 3 r V S 2 x 1 A 1 b 1 S 1 jm O 1 jm A = A 1 x y. V b jz b 1 S 1 x. S z. S V 1 a 1 y. V y 1 P 1 S Tereňová r jx z. V O jy y. V a V 1 a 1 y. V P = P 1 y 11

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 7) Jednu sústavu kriviek na translačnej ploche tvoria paraboly ia, ktoré dostaneme posúvaním paraboly a po kružnicovom oblúku b, pričom bod O paraboly a sa posúva po krivke b. Posunutá parabola ia leží v rovine rovnobežnej s bokorysňou . 1 R z 2 R Zostrojíme parabolu 1 a, ktorá prechádza bodom B b. Parabola 1 a je určená bodmi B, 1 P a vrcholom 1 V. Zostrojíme parabolu 2 a, ktorá prechádza bodom A b. Parabola 2 a je určená bodmi A, 2 P a vrcholom 2 V. R 1 V V 2 V A = A 1 x B b b 1 2 a 1 2 V 1 a O S 1 1 V 1 2 a 1 P S 2 P Tereňová a a 1 P = P 1 y 12

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 8) Druhú sústavu kriviek na translačnej ploche tvoria kružnicové oblúky ib, ktoré dostaneme posúvaním kružnicového oblúka b po parabole a. Bod O krivky b sa posúva po parabole a. Zároveň bod B krivky b sa posúva po parabole 1 a. Posunutá krivka ib leží v rovine rovnobežnej s nárysňou . z Zostrojíme kružnicové oblúky ib, ktoré prechádzajú ľubovoľnými bodmi 9 B, 10 B, 11 B, 12 B, 13 B, 14 B 1 a a bodmi 1 V, 1 P 1 a. 10 B 9 B 9) Stredy všetkých kružnicových oblúkov ib ležia na parabole Sa zhodnej s parabolou a. A = A 1 x 2 V b 1 2 a 1 2 V 12 b r r r 10 b 9 S S O a 14 b r 13 S 8 b 2 P 8 b V 1 r 1 P 1 14 S Sa Tereňová V 1 a 13 b 14 B r 12 S 2 a 11 b 13 B 9 b 11 10 S S 4 S S 1 1 1 V 12 B 4 b r B b 11 B 8 S a 1 P = P 1 r y 13

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 10) Doplníme obrys plochy ako obálku axonometrických priemetov zostrojených kriviek translačnej plochy. Pre lepšiu názornosť vyfarbíme jednu stranu plochy zelenou farbou a druhú stranu žltou farbou. z 10 B 9 B 11 B 4 b 12 B 12 b 2 V A = A 1 x b 1 2 a 1 2 V 11 10 S S 4 S S 1 9 S 1 10 b 11 b O 1 a 13 b 14 B a 14 b 12 S 2 a S 13 S 8 b 2 P 8 b V 1 1 P 1 14 S Sa Tereňová V 13 B 9 b B b 1 V 8 S a 1 P = P 1 y 14

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b

Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 11) Doplníme ďalšie paraboly a zobrazíme viditeľnosť zostrojených kriviek translačnej plochy. z 1 V V 2 V A = A 1 x b B 1 a O b 1 2 a 1 a 2 a 1 P 8 b 2 P Tereňová 8 b 1 a 1 P = P 1 y 15

R 3 Translačná plocha je určená krivkami a a b. 1 Krivka a je

R 3 Translačná plocha je určená krivkami a a b. 1 Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. R 3 T 1 – zhrnutie 4 b 2 V 3 b 2 2 a 2 1 b = 5 b 2 = 7 b 3 B 2 2 4 S 3 S b 2 2 A 2 1 S r a 2 2 4 b 3 b 1 B 2 3 b 3 1 b 3 3 5 b 35 B 3 6 B 3 3 V 3 6 b 2 1 a 7 b 3 2 a 3 = 3 1 R 7 B 3 3 a 3 1 P P 3 A 1 b 1 1 b 2 b 2 V 2 a 1 1 2 P 1 S 1 = B 1 3 y 3 10 B r 9 B 1 1 2 B 1 3 b 1 3 B 1 4 b 1 1 V 5 b 1 1 a 6 b 1 7 b 1 8 b 1 V 1 a 1 1 4 b A = A 1 x b 1 1' 1 2 V 12 b 10 b jz 11 b O 1 a 13 b 14 B a 14 b 11 4 Sj 10 S Sjx y 9 S 12 S 2 a S 13 S 8 b 2 P 8 b V 1 1 P 1 14 S Sa 1 P 1 y 1 P 1 Tereňová V 13 B 9 b S 1 1 1 V 12 B B b 2 a 1 11 B 2 V jm O 1 jm R 3 S 2 x 1 z 2 R 8 b P 2 = O 2 O 3 = A 3 2 3 B 3 jmb 3 B 2 2 S 2 B 3 V 2 1 B 2 2 1 V 3 B 3 a 2 6 2 = b 2 3' z 3 2 2 B 21 2 2 b x 2 1 V 2 z 2 8 S a 1 P = P 1 y 16

Práca študenta: Miroslav Dorotčín, FA STU, školský rok 2002/03 17

Práca študenta: Miroslav Dorotčín, FA STU, školský rok 2002/03 17

Rotačný paraboloid je rotačná plocha (pozri kapitolu R 2 v prvej časti skrípt www.

Rotačný paraboloid je rotačná plocha (pozri kapitolu R 2 v prvej časti skrípt www. math. sk/skripta. DG 2/1), ale tú istú plochu môžeme vytvoriť aj transláciou paraboly a po parabole b, t. j. je to parabolicko-parabolická translačná plocha. Paraboly a a b sú zhodné a ležia v navzájom kolmých rovinách a v jednom polpriestore. Poznámka: Rez rotačného paraboloidu rovinou kolmou na os paraboly je kružnica. z z P b a x k y Rotačný paraboloid ako rotačná plocha DWFx Rotačný paraboloid ako translačná plocha Poznámka: Ak paraboly a a b nie sú zhodné paraboly, tak vznikne eliptický paraboloid. Rez eliptického paraboloidu rovinou kolmou na os paraboly je elipsa. Tereňová 18

Parabolicko-parabolická translačná plocha (eliptický paraboloid) Parabolicko-parabolická translačná plocha zastrešujúca budovu s obdĺžnikovým pôdorysom s

Parabolicko-parabolická translačná plocha (eliptický paraboloid) Parabolicko-parabolická translačná plocha zastrešujúca budovu s obdĺžnikovým pôdorysom s rozmermi 69 m x 38 m. Hrúbka betónovej škrupiny sa pohybuje medzi 7, 6 cm a 15 cm. https: //en. wikipedia. org/wiki/Smithfield_Poultry_Market http: //www. viewpictures. co. uk/Details. aspx? ID=113512&Type. ID=1 Thomas Bennet and Son Smithfield Poultry Market Londýn, Veľká Británia, 1962 až 1963 https: //www. flickr. com/photos/klemas/4330632261 19

Translačná plocha Bjarke Ingels Groop, Futbalový štadión – návrh Nuuk, Grónsko http: //aasarchitecture. com/2017/02/nuuk-stadium-big.

Translačná plocha Bjarke Ingels Groop, Futbalový štadión – návrh Nuuk, Grónsko http: //aasarchitecture. com/2017/02/nuuk-stadium-big. html 20

Hyperbolický paraboloid je nerozvinuteľná priamková plocha (pozri kapitolu P 3. 1. 1 b), ale

Hyperbolický paraboloid je nerozvinuteľná priamková plocha (pozri kapitolu P 3. 1. 1 b), ale tú istú plochu môžeme vytvoriť aj transláciou paraboly a po parabole b, t. j. je to parabolickoparabolická translačná plocha. Paraboly a a b ležia v opačných polpriestoroch. '' D '' ' z B ' q p'' a p' D 1 q' p C = C 1 q'' P b'' b' a' a'' b O h p '' x A = A 1 p '' B 1 y p ' Hyperbolický paraboloid ako priamková plocha Rovinné rezy zobrazeného hyperbolického paraboloidu rovinami , '' sú zhodné paraboly a rovinné rezy rovinami , '' sú zhodné paraboly. O P 1 y p '' x p ' Hyperbolický paraboloid ako translačná plocha Na obrázku paraboly a, b ležia v navzájom kolmých rovinách. Tereňová 21

Hyperbolický paraboloid použitý na zastrešenie budovy Kongresová hala Berlín, Nemecko Poznámka: Strecha je ohraničená

Hyperbolický paraboloid použitý na zastrešenie budovy Kongresová hala Berlín, Nemecko Poznámka: Strecha je ohraničená dvoma rovinnými oblúkmi, ktorých pôdorys má tvar paraboly. http: //nemecko. tripzone. cz/berlin/fotogalerie/nova-berlinska-kongresova-hala-85 http: //www. casopisstavebnictvi. cz/membranove-strechy-z-predpjateho-betonu_N 1598 22

Tereňová Vinutý stĺpik je cyklická skrutková plocha, ale tú istú plochu môžeme vytvoriť aj

Tereňová Vinutý stĺpik je cyklická skrutková plocha, ale tú istú plochu môžeme vytvoriť aj transláciou kružnice k po skrutkovici b, t. j. je to kružnicovo-skrutkovicová translačná plocha. z = o s s b DWFx O S k = k 1 y Vinutý stĺpik ako skrutková plocha Každý bod kružnice k sa pohybuje po „svojej“ skrutkovici. Všetky skrutkovice majú rovnakú výšku závitu, resp. parameter, rovnakú os o, ale rôzny polomer (polomer sa rovná vzdialenosti konkrétneho bodu od osi o). x S k = k 1 P y Vinutý stĺpik ako translačná plocha Každý bod kružnice k sa pohybuje po „svojej“ skrutkovici, ktorá je zhodná so skrutkovicou stredu S kružnice k (s osou o). 23

Tereňová Každý bod kružnice k sa pohybuje po „svojej“ skrutkovici, ktorá je zhodná so

Tereňová Každý bod kružnice k sa pohybuje po „svojej“ skrutkovici, ktorá je zhodná so skrutkovicou stredu S kružnice k (s osou o). Určte os jednotlivých skrutkovíc. z = o s o. C o. A o. B Nech A je bod kružnice k. Os o. A skrutkovice bodu A prechádza bodom OA v pôdorysni, pričom vektory SO a AOA sú zhodné. k' O OA x Osi všetkých skrutkovíc bodov kružnice k(S, r) prechádzajú bodmi kružnice k'(O, r). B C A S k = k 1 y Vinutý stĺpik ako translačná plocha 24

Translačná plocha Práca študenta: Daniel Pribula 25

Translačná plocha Práca študenta: Daniel Pribula 25

Translačná plocha Kasahara Design Work St. Voile Chapel Japonsko http: //www. archdaily. com/621238/st-voile-chapel-kasahara-designwork/5532 b

Translačná plocha Kasahara Design Work St. Voile Chapel Japonsko http: //www. archdaily. com/621238/st-voile-chapel-kasahara-designwork/5532 b 158 e 58 ecee 008000273 -st-voile-chapel-kasahara-design-work-photo 26

Parabolicko-parabolická translačná plocha (eliptický paraboloid) Dizajnér Heinz Isler a architekt H. Maier Plaváreň Brugg,

Parabolicko-parabolická translačná plocha (eliptický paraboloid) Dizajnér Heinz Isler a architekt H. Maier Plaváreň Brugg, Argovia, Švajčiarsko, 1981 Rozpon 35 m Materiál: tvrdený betón https: //structurae. net/structures/badi-brugg 27

Translačná plocha Architekt: J. A. Copeland Tenisová hala Heimberg, Berne, Švajčiarsko, 1978 Rozpon 48

Translačná plocha Architekt: J. A. Copeland Tenisová hala Heimberg, Berne, Švajčiarsko, 1978 Rozpon 48 metrov Materiál: tvrdený betón https: //structurae. net/structures/heimberg-tennis-hall 28