Krivky a plochy 1 Krivky a plochy Obsah
Krivky a plochy 1
Krivky a plochy Obsah: K 1 Krivky K 2 Plochy 2
Kapitola K 1 Krivky 3
Krivka (čiara) je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým (neprerušovaným) pohybom bodu, t. j. krivka je dráhou pohybujúceho sa bodu. Krivka sa nazýva – rovinná, ak všetky jej body ležia v jednej rovine, – priestorová, ak všetky jej body neležia v jednej rovine. Krivky môžeme rozdeliť na: – empirické (grafické) krivky – sú to krivky, ktoré získame ako výsledok meraní, t. j. poznáme iba niektoré body krivky. Príklad: Vrstevnice na topografickej ploche sú empirické krivky. Dané sú graficky. Poznámka: empirický – založený na skúsenosti, na pozorovaní – analytické (geometrické) krivky – sú to krivky, ktoré sú vyjadrené analytickými rovnicami, napr. a) parametricky: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t a, b b) implicitne: F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 c) explicitne: z = f(x, y), z = g(x, y) Poznámka: Implicitné a explicitné vyjadrenie krivky je vyjadrenie krivky ako prieniku dvoch plôch. 4
Príklad: Vrstevnica na topografickej ploche je empirická krivka. Je to množina bodov s rovnakou nadmorskou výškou. Topografická mapa s vrstevnicami http: //www. dkubinsky. sk/blog/gis/surfer-8 -modelovanie-a-vizualizacia-reliefu Príklad: Kružnica je analytická krivka. Kružnica so stredom S = [0, 0, 0] a polomerom r ležiaca v rovine xy má parametrické rovnice x = r. cos(t), y = r. sin(t), z = 0, t 0, 2 ). Implicitné vyjadrenie tejto kružnice je x 2 + y 2 - r 2 = 0, z = 0, čo vyjadruje kružnicu ako prienik dvoch plôch: rotačnej valcovej plochy s rovnicou x 2 + y 2 - r 2 = 0 a roviny s rovnicou z = 0. 5
Krivka môže byť ohraničená (úsečka, kružnica atď. ) alebo neohraničená (priamka, parabola atď. ). Ohraničená krivka môže mať dva rôzne krajné body, nazveme ju otvorená krivka. Ohraničená krivka bez krajných bodov je uzavretá krivka. A k B Otvorená krivka k s krajnými bodmi A, B Krivka môže mať ľubovoľný tvar. Špeciálnou krivkou je lomená čiara A 1 A 2. . . An, ktorá je zjednotením úsečiek A 1 A 2, A 2 A 3, . . . , An-1 An. Body A 1, A 2, . . . , An sú vrcholy lomenej čiary. Ak A 1 = An, tak lomená čiara je uzavretá. 2 2 1 1 5 3 4 3 Lomená čiara s vrcholmi 1, 2, 3 a 4 4 Uzavretá lomená čiara s vrcholmi 1, 2, 3, 4 a 5 Tereňová 6
Vlastnosti kriviek Dotyčnica krivky: Ak sa bod A približuje po krivke k k bodu T ležiacemu na krivke k, tak sa sečnica TA otáča okolo bodu T a ak existuje jej limitná poloha, nazývame ju dotyčnicou t krivky k v bode T. Bod T sa nazýva dotykový bod. A k A 1 t A 2 T Dotyk dvoch kriviek: Dve krivky a, b sa dotýkajú v bode T, ak majú v tomto bode spoločnú dotyčnicu t. a t T t 5 b Obalová krivka: Krivka k je obalovou krivkou alebo obálkou systému kriviek, ak sa dotýka všetkých kriviek daného systému. Príklad: Krivka k sa dotýka všetkých svojich dotyčníc, t. j. krivka k je obálkou svojich dotyčníc. t 4 k t 3 t 2 t 1 Tereňová 7
Bod krivky sa nazýva – regulárny, ak existuje jediná dotyčnica t krivky v tomto bode. Krivka v okolí tohto bodu leží v jednej polrovine určenej dotyčnicou t. – singulárny, ak to nie je regulárny bod. k t T T je regulárny bod krivky k Príklady singulárnych bodov: t k A Inflexný bod k k k t' t t B Bod vratu 1. druhu t C Bod vratu 2. druhu D Dvojnásobný bod, resp. uzlový bod Stupeň krivky: Každá priamka, ktorá nie je časťou krivky k, pretína krivku k n-tého stupňa maximálne v n bodoch. Príklad: Kružnica je krivka 2. stupňa. Priamka môže pretínať kružnicu maximálne v dvoch bodoch. Tereňová 8
Dotyková rovina priestorovej krivky k v jej bode T je každá rovina obsahujúca dotyčnicu t krivky k v bode T. Krivka konštantného spádu je priestorová krivka, ktorej všetky dotyčnice zvierajú s určitou rovinou rovnaký uhol. Tangens tohto uhla nazývame spád krivky. Evolventa regulárnej krivky k je každá krivka e, ktorá kolmo pretína všetky dotyčnice krivky k. Príklad: Krivkou konštantného spádu je skrutkovica s. Dotyčnice skrutkovice s zvierajú s rovinou kolmou na os o skrutkového pohybu rovnaký uhol α (pozri kapitolu S 1). Krivka e je spoločnou evolventou skrutkovice s a kružnice s 1. o s t t 1 s 1 α α e Tereňová, Rückschlossová 9
- Slides: 9