Kapitola S 4 2 Osov cyklick skrutkov plocha

Kapitola S 4. 2 Osová cyklická skrutková plocha 1

V Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii zobrazte jeden závit cyklickej skrutkovej plochy, ktorá vznikne skrutkovým pohybom kružnice k (k 1, k 2). Skrutkový pohyb je pravotočivý, daný osou o a výškou závitu v. Pre jeden závit zobrazte 12 polôh skrutkovanej kružnice. S 14 Tvoriaca kružnica k aj os o skrutkového pohybu ležia v nárysni, skrutková plocha je osová cyklická skrutková plocha. o 2 = z 2 12 S 2 11 S 10 S 2 2 9 S 2 s 2 v 8 S 7 S 2 2 A 2 6 S 5 S C 2 4 S 3 S 1 S x 2 2 S 2 10 S 11 S Postup rysovania vysvetlíme na 4. polohe skrutkovanej kružnice: Kružnica 4 k má kolmé priemery AB a CD. Priemer AB je kolmý na pôdorysňu, priemer CD je rovnobežný s pôdorysňou. Úsečka AB sa v náryse premieta do úsečky, ktorej dĺžka sa rovná priemeru kružnice 4 k. Dĺžku úsečky C 2 D 2 určíme pomocou ordinál. A 2 B 2 a C 2 D 2 sú osi elipsy 4 k 2. 2 B 2 2 9 S 1 = 1 8 S 1 1 7 S 1 k 1 12 S D 2 S 2 k 2 x 1 2 2 2 o 1 S 1 1 S 1 6 S C 1 5 S 1 1 1 2 S 1 3 S 1 s 1 4 S 1 = A 1 = B 1 D 1 Postup rysovania: 1) Zobrazíme skrutkovicu s stredu S kružnice k. 2) Zobrazíme 12 polôh skrutkovanej kružnice k. V pôdoryse sa kružnice premietajú do úsečiek. Pôdorysom zobrazovanej plochy je medzikružie. 3) Skrutkovaná kružnica k sa v náryse premieta do elipsy, v niektorých polohách do kružnice alebo do úsečky. Priemety kružníc, ktoré ležia v rovinách súmerných podľa bokorysne sú zhodné a teda: • 4 k , 8 k , 2 k a 10 k sú zhodné elipsy, 2 2 • k 2 , 6 k 2 a 12 k 2 sú kružnice, • 3 k a 9 k sú úsečky, 2 2 • 1 k , 5 k , 7 k a 11 k sú zhodné elipsy. 2 2 4) Obrys plochy v náryse načrtneme ako obálku priemetov kružníc k, 1 k , 2 k, . . . , 12 k. Mészárosová, Tereňová 2

Osová cyklická skrutková plocha o 2 = z 2 s 2 x 2 k 2 x 1 k 2 o 1 x 1 k 1 o 1 s 1 Tereňová DWFx 3

V Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii zobrazte jeden závit cyklickej skrutkovej plochy, ktorá vznikne skrutkovým pohybom kružnice k (k 1, k 2). Skrutkový pohyb je pravotočivý, daný osou o a výškou závitu v. Pre jeden závit zobrazte 12 polôh skrutkovanej kružnice. o 2 = z 2 5) Vo vojenskej axonometrii (jm = jx = jy = jz) zostrojíme obraz bodu S. Využijeme súradnice z Mongeovej projekcie. z = o v v r x 2 k 2 jm S 2 jz x. S k 1 x 1 jm S 1 x. S jm o 1 jx O jy S = S 1 y 1 Mészárosová, Tereňová x y 4

V Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii zobrazte jeden závit cyklickej skrutkovej plochy, ktorá vznikne skrutkovým pohybom kružnice k (k 1, k 2). Skrutkový pohyb je pravotočivý, daný osou o a výškou závitu v. Pre jeden závit zobrazte 12 polôh skrutkovanej kružnice. Postup rysovania: 6) Zobrazíme skrutkovicu s stredu S kružnice k. 7) Zobrazíme určujúcu kružnicu k. Kružnica k leží v nárysni. Vo vojenskej axonometrii sa zobrazí do elipsy ka. Použijeme kolmé priemery kružnice k. AB je priemer rovnobežný s osou z = o a CD je priemer ležiaci na osi x. Vo vojenskej axonometrii majú úsečky AB a CD dĺžku rovnú 2 r (r je polomer kružnice k). Úsečky AB a CD sú združené priemery elipsy ka. z = o v s Poznámka: Dotyčnice elipsy v krajných bodoch priemeru sú rovnobežné so združeným priemerom. Elipse ka opíšeme rovnobežník, je to kosoštvorec, pretože združené priemery AB a CD majú rovnakú veľkosť. Uhlopriečky kosoštvorca sú na seba kolmé. Na nich teda leží hlavná a vedľajšia os elipsy ka. Rytzovou konštrukciou zostrojíme dĺžku hlavnej a vedľajšej osi elipsy ka. O A C D Mészárosová, Tereňová x S = S 1 ka B s 1 y 5

V Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii zobrazte jeden závit cyklickej skrutkovej plochy, ktorá vznikne skrutkovým pohybom kružnice k (k 1, k 2). Skrutkový pohyb je pravotočivý, daný osou o a výškou závitu v. Pre jeden závit zobrazte 12 polôh skrutkovanej kružnice. 8) Kružnice k, 6 k a 12 k ležia v jednej rovine a preto ka , 6 ka a 12 ka sú zhodné elipsy. 9) Zobrazíme elipsu 4 ka: Priemer 4 A 4 B je rovnobežný s osou z a jeho dĺžka je 2 r. Smer priemeru 4 C 4 D určíme z pôdorysu: Priemer 4 C 4 D je rovnobežný s priamkou O 4 S 1. Dĺžka priemeru 4 C 4 D je 2 r. Elipsy 4 ka a 10 ka sú navzájom zhodné. z = o 8 k 10 k a a 8 S 10 S Poznámka: Ak požiadavky na presnosť rysovania nie sú určené, tak stačí, ak zobrazíme opísaný kosoštvorec a dĺžky osí len odhadneme. 12 k a v s 6 k a 6 S 12 S 10) Analogicky zobrazíme elipsy 2 ka a 8 ka, ktoré sú zhodné. 4 A 4 C 4 k 4 S O A Mészárosová, Tereňová x S = S 1 ka B 4 S 2 S 2 k 4 D 4 B C D a 1 s 1 a y 6

V Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii zobrazte jeden závit cyklickej skrutkovej plochy, ktorá vznikne skrutkovým pohybom kružnice k (k 1, k 2). Skrutkový pohyb je pravotočivý, daný osou o a výškou závitu v. Pre jeden závit zobrazte 12 polôh skrutkovanej kružnice. z = o 8 k Pouvažujte, či sa skrutkovaná kružnica k môže v špeciálnom prípade premietnuť vo vojenskej axonometrii do kružnice alebo úsečky. Viete určiť aj dĺžku tejto úsečky? 10 k a a 8 S 10 S Poznámka: Nezabudnite, že vojenská axonometria je šikmá axonometria (priemetňa je pôdorysňa a uhol premietania je 45°), t. j. dĺžky priemetov úsečiek môžu byť väčšie ako pôvodné dĺžky úsečiek. 12 k a v s 6 k a 6 S 12 S 4 A 4 C 4 k 4 S O A Mészárosová, Tereňová x S = S 1 ka B 4 S 2 S 2 k 4 D 4 B C D a 1 s 1 a y 7

V Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii zobrazte jeden závit cyklickej skrutkovej plochy, ktorá vznikne skrutkovým pohybom kružnice k (k 1, k 2). Skrutkový pohyb je pravotočivý, daný osou o a výškou závitu v. Pre jeden závit zobrazte 12 polôh skrutkovanej kružnice. Postup rysovania: 11) Zobrazíme špeciálne polohy, v ktorých sa skrutkovaná kružnica premieta do kružnice, t. j. v dotykových bodoch skrutkovice s s obrysom valcovej plochy, na ktorej je skrutkovica s navinutá. z = o 12) Zobrazíme polohy, v ktorých sa skrutkovaná kružnica premieta do úsečky. Jej dĺžka sa rovná 2 r : sin 45° ≐ 2 r : 0, 707. 10 k a v s 13) Doplníme priemety kružníc 1 k, 3 k, 5 k, 7 k, 9 k a 11 k. 6 S 12 S 14) Obrys plochy načrtneme ako obálku priemetov kružníc k, 1 k , 2 k, . . . , 12 k. 4 A 4 C 4 k 4 S A Mészárosová, Tereňová x S = S 1 ka B 4 D 4 B C D a 4 S 1 y 8

V Mongeovej projekcii a vo vojenskej axonometrii zobrazte jeden závit cyklickej skrutkovej plochy, ktorá vznikne skrutkovým pohybom kružnice k (k 1, k 2). Skrutkový pohyb je pravotočivý, daný osou o a výškou závitu v. Pre jeden závit zobrazte 12 polôh skrutkovanej kružnice. S 14 - zhrnutie o 2 = z 2 12 S 2 11 S 10 S 2 z = o 2 9 S 2 s 2 v 8 S 7 S 2 2 10 k A 2 6 S 5 S C 2 4 S 3 S 1 S x 2 2 S 2 10 S 11 S D 2 6 S 12 S B 2 9 S 1 = 4 A 1 8 S 1 4 C 1 7 S 1 k 1 12 S 2 2 1 S 1 6 S C 1 5 S 1 2 S 1 3 S 1 s 1 4 D 4 S 1 1 D 1 = A 1 = B 1 D 1 a 4 B C 1 4 S 4 k 4 S A o 1 S 1 v s S 2 k 2 x 1 2 a x S = S 1 ka B y 9

V kolmej axonometrii zobrazte jeden závit cyklickej skrutkovej plochy, ktorá vznikne skrutkovým pohybom kružnice k = (S, r), ktorá leží v nárysni. Skrutkový pohyb je pravotočivý, daný osou o a výškou závitu v. Pre jeden závit zobrazte 12 polôh skrutkovanej kružnice. S 15 z = o zo Tvoriaca kružnica k aj os o skrutkového pohybu ležia v nárysni, S ∉ o. Skrutková plocha je osová cyklická skrutková plocha. s v Postup rysovania: 1) Zobrazíme skrutkovicu s bodu S. Jej axonometrickým pôdorysom je elipsa s 1, ktorej hlavná os má dĺžku SO = So. Oo v Oo r s 1 O xo S = S 1 x y So Mészárosová, Tereňová Oo 10

V kolmej axonometrii zobrazte jeden závit cyklickej skrutkovej plochy, ktorá vznikne skrutkovým pohybom kružnice k = (S, r), ktorá leží v nárysni. Skrutkový pohyb je pravotočivý, daný osou o a výškou závitu v. Pre jeden závit zobrazte 12 polôh skrutkovanej kružnice. Postup rysovania: 2) Zobrazíme kružnicu k: Použijeme kolmé priemery AB a CD. Priemer AB je rovnobežný s osou z, preto na jeho redukciu použijeme os zo. Priemer CD leží na osi x, preto na jeho redukciu použijeme os xo. Axonometrické priemety priemerov AB a CD sú združené priemery elipsy ka. Elipse ka opíšeme rovnobežník. 12 k 6 k v r Oo s 1 k, 6 k a 12 k ležia v jednej ka D xo a v A 3) Kružnice rovine a preto ka , 6 ka a 12 ka sú zhodné elipsy. a s r Poznámka: Dĺžku osí elipsy ka môžeme určiť Rytzovou konštrukciou. z = o zo C rz rz O rz S = S 1 B x y r So Mészárosová, Tereňová r Oo 11

V kolmej axonometrii zobrazte jeden závit cyklickej skrutkovej plochy, ktorá vznikne skrutkovým pohybom kružnice k = (S, r), ktorá leží v nárysni. Skrutkový pohyb je pravotočivý, daný osou o a výškou závitu v. Pre jeden závit zobrazte 12 polôh skrutkovanej kružnice. Postup rysovania: 4) Bod D sa pohybuje po rovníkovej skrutkovici Ds zobrazovanej plochy. Jej pôdorysom je elipsa Ds 1 podobná s elipsou s 1. Hlavná os elipsy Ds 1 má dĺžku rovnú SO + r. Bod C sa pohybuje po hrdlovej skrutkovici Cs zobrazovanej plochy. Jej pôdorysom je elipsa Cs 1 podobná s elipsou s 1. Hlavná os elipsy Cs 1 má dĺžku rovnú SO - r. 5) Zobrazíme elipsu 4 ka: Smer priemeru 4 C 4 D určíme z pôdorysu: Priemer 4 C 4 D je rovnobežný s priamkou O 4 S 1. Priemer 4 A 4 B má rovnakú dĺžku ako priemer AB. Elipse 4 ka opíšeme dotykový rovnobežník. Poznámka: Ak požiadavky na presnosť xo rysovania nie sú určené, tak stačí, ak zobrazíme opísaný dotykový rovnobežník elipsy a smery a dĺžky osí len odhadneme. x Môžeme použiť priečkovú konštrukciu elipsy. 6) Elipsy 4 ka a 10 ka sú navzájom zhodné. 10 k a 12 k a s 6 k 4 A Ds 4 C 1 s 1 Cs A C ka 4 S D a v r 4 k a Oo 4 D 1 rz O 4 C 4 B 1 4 S S = S 1 1 4 D 1 B y r So Mészárosová, Tereňová z = o zo r Oo 12

V kolmej axonometrii zobrazte jeden závit cyklickej skrutkovej plochy, ktorá vznikne skrutkovým pohybom kružnice k = (S, r), ktorá leží v nárysni. Skrutkový pohyb je pravotočivý, daný osou o a výškou závitu v. Pre jeden závit zobrazte 12 polôh skrutkovanej kružnice. Postup rysovania: 7) Analogicky zobrazíme zhodné elipsy 2 ka a 8 ka. 8) Zobrazíme elipsy 1 ka, 3 ka, 5 ka, 7 ka, 9 ka a 11 ka. 9) Zobrazíme kružnice v dotykových bodoch skrutkovice s s obrysom valcovej plochy, na ktorej je skrutkovica s navinutá. 10 k z = o zo a 12 k a s 6 k a v Poznámka: Aj tieto kružnice sa premietajú do elíps. 10) Obrys plochy načrtneme ako obálku priemetov kružníc. 4 A z=o Ds 4 C 1 s 1 Cs A C ka s xo D 4 k a Oo 4 D 1 rz O 4 C 4 B 1 4 S S = S 1 1 4 D 1 B x y r k So x 4 S r y r Mészárosová, Tereňová Oo 13

Osová cyklická skrutková plocha z=o s k x k y x Tereňová y DWFx 14

Ak je skrutkovaná polkružnica, tak vznikne plocha, používaná ako klenba nad točitým schodišťom. z=o x Tereňová x y y DWFx 15

Časť osovej cyklickej skrutkovej plochy použitá ako plocha klenby nad točitým schodišťom. Abbaye de Saint-Gilles Francúzsko http: //fr. wikipedia. org/wiki/Abbatiale_de_Saint-Gilles-du-Gard 16

Časť osovej cyklickej skrutkovej plochy použitá ako plocha klenby nad točitým schodišťom. http: //www. mathcurve. com/surfaces/helicoidcercle. shtml Model Robert March 17

Osová cyklická skrutková plocha s určujúcou kružnicou k, ktorá má stred na osi o skrutkového pohybu a výška závitu sa rovná 4 r (r je polomer kružnice k). Kružnica k leží v nárysni. Tento špeciálny typ cyklickej skrutkovej plochy sa nazýva plocha vrkoča. z = o y Tereňová x y k x k 18

Iný axonometrický priemet plochy vrkoča. Všimnite si tvoriacu kružnicu k, ktorá leží v nárysni. z = o x x k Tereňová y k y 19

Mongeova projekcia a axonometria plochy vrkoča. Všimnite si tvoriacu kružnicu k, ktorá leží v nárysni. Pre názornosť je zobrazený rez rovinou , ktorá je kolmá na os o skrutkového pohybu. Rezová krivka je označená n. z 2 = o 2 z = o n 2 x 2 k 2 k 1 x 1 n 1 Tereňová n k 1 x 1 n 1 x k DWFx y 20