Istituto di Istruzione Secondaria Superiore G G Adria

Istituto di Istruzione Secondaria Superiore “ G. G. Adria” Lavoro di gruppo Prodotti notevoli Prof. ssa Erminia Conti Prof. ssa Caterina Piccione Prof. ssa Dora Giacalone prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 1

I Prodotti Notevoli J J J Quadrato di binomio Cubo di binomio Quadrato di polinomio Potenza n-esima di binomio Somma per differenza Altri prodotti notevoli prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 2

Quadrato di un Binomio Ø Ø Ø Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 3

Quadrato di binomio: significato algebrico (a+b)2 = (a+b) = = a 2+ab+ab+b 2 = = a 2+2 ab+b 2 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 4

Quadrato di binomio: la regola (a+b) 2 =a 2 + 2 ab + b 2 Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: • il quadrato del 1° monomio • il doppio prodotto del 1° monomio per il 2° • il quadrato del 2° monomio prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 5

Quadrato di binomio: significato geometrico (a + b)2 (a + b) a ab b 2 ab b (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 6

Quadrato di binomio: esempi (2 a+b)2 = (2 a)2+2(2 a)(+b)+(+b)2 = 4 a 2 + 4 ab + b 2 (2 a - b)2 = (2 a)2+2(2 a)(-b)+(-b)2 = 4 a 2 - 4 ab + b 2 (3 a+2 b)2 = (3 a)2 +2(3 a)(+2 b) +(+2 b)2 = 9 a 2 +12 ab +4 b 2 (3 a -2 b)2 = (3 a)2 +2(3 a)(-2 b) +(-2 b)2 = 9 a 2 - 12 ab +4 b 2 (-3 a -2 b)2 = (-3 a)2 +2(-3 a)(-2 b)+(-2 b)2 = 9 a 2 +12 ab +4 b 2 (-3 a+2 b)2 = (-3 a)2 +2(-3 a)(+2 b)+(+2 b)2 = 9 a 2 -12 ab+4 b 2 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 7

Quadrato di binomio: esercizi @ @ @ @ @ (3 a + 5)2 = (2 a - 3 b)2 = (-2 a – 3 b)2 = (x 2 + 3 y)2 = (5 x – 3 y)2 = (5 a 2 + 2 b 2)2 = (-3 x 3 – 2 y 2)2 = (2 xy – 3 y)2 = (7 ab – 2 a)2 = 9 a 2 + 30 a + 25 4 a 2 - 12 ab + 9 b 2 4 a 2 + 12 ab + 9 b 2 x 4 + 6 x 2 y + 9 y 2 25 x 2 – 30 xy + 9 y 2 25 a 4 + 20 a 2 b 2 + 4 b 4 9 x 6 + 12 x 3 y 2 + 4 y 4 4 x 2 y 2 - 12 xy 2 + 9 y 2 49 a 2 b 2 - 28 a 2 b + 4 a 2 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 8

Quadrato di binomio: esercizi @ @ @ @ prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 9

Cubo di un Binomio Ø Ø Ø Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 10

Cubo di binomio: significato algebrico (a+b)3 = (a+b)2 (a+b) = = (a 2+2 ab+b 2) (a+b) = = a 3+a 2 b+2 ab 2+b 3= = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 11

Cubo di binomio: la regola (a+b) 3 =a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: • il cubo del 1° monomio • il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2° • il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2° • il cubo del 2° monomio prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 12

Cubo di binomio: significato geometrico (a + b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 13

Cubo di binomio: esempi (2 a+b)3 = (2 a)3 +3(2 a)2(+b) +3(2 a)(+b)2 +(+b)3 = = 8 a 3 + 12 a 2 b + 6 ab 2 + b 3 (2 a - b)3 = (2 a)3+3(2 a)2(-b)+3(2 a)(-b)2 +(-b)3 = = 8 a 3 - 12 a 2 b + 6 ab 2 - b 3 (-3 a -2 b)3 = (-3 a)3 +3(-3 a)2 (-2 b)+3(-3 a)(-2 b)2 +(-2 b)3 = = -27 a 3 - 54 a 2 b - 36 ab 2 - b 3 (-3 a +2 b)3 = (-3 a)3 +3(-3 a)2 (+2 b)+3(-3 a)(+2 b)2 +(+2 b)3 = -27 a 3 + 54 a 2 b - 36 ab 2 + b 3 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 14

Cubo di binomio: esercizi @ @ @ @ 8 a 3+12 a 2+6 a+1 (2 a + 1)3 = 27 a 3 -27 a 2 b+6 ab 2 -b 3 (3 a - b)3 = (-2 x - 3 y)3 = -8 x 3 -36 x 2 y-54 xy 2 -27 y 3 a 6+9 a 4 b+27 a 2 b 2+27 b 3 (a 2 + 3 b)3 = 8 a 3 -36 a 2 b+54 ab 2 -27 b 3 (a - 3 b)3 = (a 2 + 2 b 2)3 = a 6+6 a 4 b 2+12 a 2 b 4+8 b 6 (3 a 3 - 2 b 2)3 = 27 a 9 -54 a 6 b 2+36 a 3 b 4 -8 b 6 (2 ab - 3 b)3 = 8 a 2 b 2 -36 a 2 b 3+54 ab 3 -27 b 3 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 15

Cubo di binomio: esercizi @ @ @ @ prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 16

Quadrato di un Polinomio Ø Ø Ø Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 17

Quadrato di polinomio: significato algebrico (a+b+c)2 = (a+b+c) = = a 2+ab+ac+ab+b 2+bc+ac+bc+c 2 = = a 2 + b 2 + c 2 +2 ab + 2 ac + 2 bc prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 18

Quadrato di polinomio: la regola (a+b+c)2 = a 2+b 2+c 2+2 ab+2 ac+2 bc Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: • il quadrato di tutti i termini • il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 19

Quadrato di polinomio: significato geometrico (a+b+c) a b (a+b+c)2 ac bc c 2 ab b 2 bc a 2 ab ac c (a+b+c)2 = a 2+b 2+c 2+2 ab+2 ac+2 bc prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 20

Quadrato di polinomio: esempi (2 a + b + 3 c)2 = =(2 a)2+(+b)2+(+3 c)2+2(2 a)(+b)+2(2 a)(+3 c)+2(+b)(+3 c) = 4 a 2 + b 2 + 9 c 2 + 4 ab + 12 ac + 12 bc (2 a - b - c)2 = = (2 a)2+(-b)2+(-c)2+2(2 a)(-b)+2(2 a)(-c)+2(-b)(-c)= = 4 a 2 + b 2 + c 2 - 4 ab - 4 ac + 2 bc (-3 a - 2 b + c )2 = =(-3 a)2+(-2 b)2+(+c)2+2(-3 a)(-2 b)+2(-3 a)(+c)+2(-2 b)(+c) = 9 a 2 + 4 b 2 + c 2 + 12 ab - 6 ac - 4 bc prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 21

Quadrato di polinomio: esercizi @ (2 a + 2 b + 7)2 = 4 a 2+4 b 2+49+8 ab+24 a+24 b @ (3 a - 4 b - 2 c)2 = @ (-2 x - 3 y + 1)2 = 9 a 2+16 b 2+4 c 2 -24 ab-12 ac+16 bc 4 x 2+9 y 2+1+12 xy - 4 x - 6 y @ (a 2 + 3 b - c)2 = a 4+9 b 2+c 2 + 6 a 2 b - 2 a 2 c - 6 bc @ (5 a + 2 b + c)2 = 25 a 2+4 b 2+c 2 +20 ab+10 ac+4 bc @ (-3 a 3+2 b 2+1)2 = @ (2 ab - 3 b - 2)2 = 9 a 6 +4 b 4+1 - 12 a 3 b 2 - 6 a 3+4 b 2 4 a 2 b 2 +9 b 2+4 -12 ab 2 -8 ab+12 b @ (7 xy - 2 x - 1)2 = 49 x 2 y 2+4 x 2+1 - 28 x 2 y -14 xy+4 x prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 22

Potenza n-esima di Binomio Ø Ø Ø Cerchiamo la regola Triangolo di Tartaglia La regola Esempi Esercizi proposti prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 23

Potenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola (a+b)0 = (a+b)1 = (a+b)2 = (a+b)3 = (a+b)4 = (a+b)5 = (a+b)6 = 1 a+b a 2+2 ab+b 2 a 3+3 a 2 b+3 ab 2+b 3 a 4+4 a 3 b+6 a 2 b 2+4 ab 3+b 4 a 5+5 a 4 b+10 a 3 b 2+10 a 2 b 3+5 ab 4+b 5 a 6+6 a 5 b+15 a 4 b 2+20 a 3 b 3+15 a 2 b 4+6 ab 5+b 6 » lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini » i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali » in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da an ad a 0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b 0=1 a bn » i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto “ Triangolo di Tartaglia” prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 24

Potenza n-esima di binomio: Triangolo di Tartaglia (a+b)0 = 1 (a+b)1 = 1 (a+b)2 = 1 (a+b)3 = 1 (a+b)4 = 1 (a+b)5 = (a+b)6 = 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 20 1 4 10 1 5 15 1 6 1 In questo prospetto: * ogni riga inizia e termina con 1 * ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga precedente prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 25

Potenza n-esima di binomio: la regola (a+b)n = an+nan-1 b + ……. + nabn-1+bn La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia. In pratica, si procede nel seguente modo: • si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono(da 0 ad n) • si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 26

Potenza n-esima di binomio: esempi (a + b)4 = (a)4+4(a)3(+b)+6(a)2(+b)2+4(a)(+b)3+(+b)4 = = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 (a - b)4 = (a)4+4(a)3(-b)+6(a)2(-b)2+4(a)(-b)3+(-b)4 = = a 4 - 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 - 4 ab 3 + b 4 (2 a+b)5 = =(2 a)5+5(2 a)4(b)+10(2 a)3(b)2+10(2 a)2(b)3 +5(2 a)(b)4+(b)5 =32 a 5+5(16 a 4)(b)+10(8 a 3)(b 2) +10(4 a 2)(b 3) +5(2 a)(b 4)+b 5 =32 a 5 + 80 a 4 b + 80 a 3 b 2 + 40 a 2 b 3 + 10 ab 4 + b 5 (3 a-2 b)4 = =(3 a)4 +4(3 a)3(-2 b)+6(3 a)2(-2 b)2+4(3 a)(-2 b)3+(-2 b)4 = =81 a 4 +4(27 a 3)(-2 b)+6(9 a 2 )(+4 b 2)+4(3 a)(-8 b 3)+16 b 4= = 81 a 4 - 216 a 3 b + 216 a 2 b 2 - 96 ab 3 + 16 b 4 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 27

Potenza n-esima di binomio: esercizi @ @ @ @ (2 a - b)4 = 16 a 4 - 32 a 3 b + 24 a 2 b 2 - 8 ab 3 + b 4 (a +b)7 = a 7+7 a 6 b+21 a 5 b 2+35 a 4 b 3+35 a 3 b 4+21 a 2 b 5+7 ab 6+b 7 (a - b)7 = a 7 -7 a 6 b+21 a 5 b 2 -35 a 4 b 3+35 a 3 b 4 -21 a 2 b 5+7 ab 6 -b 7 (a - b)6 = a 6 - 6 a 5 b +15 a 4 b 2 - 20 a 3 b 3+15 a 2 b 4 - 6 ab 5+ b 6 (a +2 b)4 = a 4 + 8 a 3 b + 24 a 2 b 2 + 32 ab 3 + 16 b 4 (a - 2 b)4 = a 4 - 8 a 3 b + 24 a 2 b 2 - 32 ab 3 + 16 b 4 (a +2 b)5 = a 5 +10 a 4 b + 40 a 3 b 2+ 80 a 2 b 3 +80 ab 4+32 b 5 (-x - y)5 = - x 5 - 5 x 4 y - 10 x 3 y 2 - 10 x 2 y 3 - 5 xy 4 - y 5 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 28

Somma per differenza Ø Ø Cerchiamo la regola La regola Esempi Esercizi proposti prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 29

Somma per differenza: significato algebrico (a+b) (a-b) = = a 2 - ab + ab - b 2 = = a 2 - b 2 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 30

Somma per differenza: la regola (a+b)(a-b)=a 2 -b 2 Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 31

Somma per differenza: esempi (2 a+b) = (2 a)2 - (b)2 = 4 a 2 - b 2 (2 a - 5 b) (2 a + 5 b) = (2 a)2 - (5 b)2 = 4 a 2 - 25 b 2 (3 a+2 b) (3 a-2 b) = (3 a)2 - (2 b)2 = 9 a 2 - 4 b 2 (-a +2 b) (-a - 2 b) = (-3 a)2 - (2 b)2 = 9 a 2 - 4 b 2 (4 a + b) (- 4 a + b) = (b)2 - (4 a)2 = b 2 - 16 a 2 (-3 b+2 a) (+3 b+2 a) = (2 a)2 - (3 b)2 = 4 a 2 - 9 b 2 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 32

Somma per differenza: esercizi @ @ @ @ (2 a + 7)(2 a - 7)= (3 a - 4 b)(3 a+ 4 b) = (-2 x - 3 y)(-2 x+3 y) = (a 2 + 3 b)(a 2 - 3 b) = 4 a 2 - 49 9 a 2 - 16 b 2 4 x 2 - 9 y 2 a 4 - 9 b 2 25 a 2 - 9 b 2 (5 a - 3 b)(5 a+ 3 b) = 25 a 4 - 4 b 4 (5 a 2+2 b 2)(5 a 2 -2 b 2) 9 a 6 - 4 b 4 = 9 b 2 - 4 a 2 (-3 a 3+2 b 2)(-3 a 3 -2 b 2) 4 x 2 - 49 x 2 y 2 = prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 33

Somma per differenza: esercizi @ @ @ [(a+b) - 1] [(a+b) +1] = (a+b)2 - 1 @ prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 34

Altri Prodotti Notevoli Ø Ø Ø Somma di cubi Differenza di cubi La regola Esempi Esercizi proposti prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 35

Somma di Cubi: significato algebrico (a+b) (a 2 - ab + b 2 ) = = a 3 - a 2 b + ab 2 + a 2 b- ab 2 + b 3 = = a 3 + b 3 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 36

Differenza di Cubi: significato algebrico (a - b) (a 2 + ab + b 2 ) = = a 3 + a 2 b + ab 2 - a 2 b- ab 2 - b 3 = = a 3 - b 3 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 37

Somma o differenza di cubi: la regola (a+b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3 Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b 3 Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 38

Somma o Differenza di Cubi: esempi (2 a + b)(4 a 2 - 2 ab + b 2) = (2 a)3 + (b)3 = 8 a 3 + b 3 (2 a - b)(4 a 2 + 2 ab + b 2) = (2 a)3 - (b)3 = 8 a 3 - b 3 (3 a+2 b)(9 a 2 - 6 ab +4 b 2)= (3 a)3 + (2 b)3 = 27 a 3 + 8 b 3 (3 a - 2 b)(9 a 2+ 6 ab +4 b 2)= (3 a)3 - (2 b)3 = 27 a 3 - 8 b 3 prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 39

Somma o Differenza di Cubi: esercizi @ (2 a + 7)(4 a 2 - 14 ab + 49)= @ (3 a - 4 b)(9 a 2+12 ab+16 b 2) = @ (2 x - 3 y)(4 x 2 + 6 xy + 9 y 2) = @ (a 2 + 3 b)(a 4 +9 b 2 - 3 a 2 b ) = @ (5 a - 3 b)(25 a 2+15 ab+9 b 2) = @ (x 2 + 2 y 2)(x 4 - 2 x 2 y 2 + 4 y 4) = @ (3 a 3+ b 2)(9 a 6 - 3 a 3 b 2 + b 4) = @ (2 a + 3 b)( 4 a 2 - 6 ab+9 b 2) = @ (x - 2 y)( x 2 +2 xy + 4 y 2) = prof. sse: Conti - Piccione - Giacalone 8 a 3 + 343 27 a 3 - 64 b 3 8 x 3 - 27 y 3 a 6 + 27 b 3 125 a 3 - 27 b 3 x 6 + 8 y 6 27 a 9 + b 6 8 a 2 + 27 b 2 x 3 - 8 y 3 40