INTELIGENCIA ARTIFICIAL Cinemtica Directa Mg Samuel Oporto Daz

INTELIGENCIA ARTIFICIAL Cinemática Directa Mg. Samuel Oporto Díaz

Mapa Conceptual del Curso Coordinación y Sincronización Robótica de Manipuladores Robótica Móvil Inteligencia y Conocimiento Agentes Procesamiento de Imágenes Patrones Redes Neuronales 2 /44

Tabla de Contenido 1. REPRESENTACIÓN POSICIÓN Y ORIENTACIÓN 2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS 3. Parámetros Denavit-Hartenber 3 /44

Objetivos Al final del curso el alumnos estará en capacidad de: • Describir y analizar movimientos rígidos. • Describir las ecuaciones cinemáticas de un manipulador y operar con los resultados de las ecuaciones. • Resolver problemas de cinemática inversa 4 /44

REPRESENTACION DE POSICION Y ORIENTACION EN EL ESPACIO 5 /44

Orientación de los ejes en 3 -D Z Z Y X Regla de la mano derecha Z Y X 6 /44

Ejercicio 1 • Para los siguientes sistemas de referencia, indique la orientación de los ejes (el lado positivo). Y X Y Z X Z 7 /44

Sistema de Referencia • Es el sistema de coordenadas con respecto al cual se realizan los cálculos. • Se hace uso del sistema de coordenadas cartesianas. {A} x y Xi z Ix Pf z X’ x {B} y x Px β Pi Yi Y’ {C} 8 /44

Movimiento del efector final • La manipulación de piezas mediante un robot implica conocer la posición del efector final y la orientación que tiene, con respecto a la base del robot. z z y x POSICION ORIENTACION 9 /44

POSICION • Una vez que se establece un sistema de coordenadas, podemos localizar cualquier punto en el espacio con un vector de posición (3 x 1). • Se indica con un superíndice el sistema de coordenadas al cual dicho vector es referido. A P= px py pz 10 /44

ORIENTACION • Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un sistema de coordenadas dado, se le asigna solidariamente a este, otro sistema de coordenadas. • Luego se da la “descripción” de este sistema de coordenadas “relativa” al sistema de coordenadas de referencia. • Existen varios métodos para representar la orientación: – – – Matriz de Rotación. Ángulos de Euler (ZXZ y ZYZ) Roll, pitch y yaw. Vector -ángulo (o par de rotación). Cuaternios. 11 /44

Giro en ángulo positivo Eje + θ+ 12 /44

ORIENTACION 13 /44

ORIENTACION La orientación de B con respecto a A es representado por: Z θ θ Y 14 /44

Coordenadas Homogéneas • Las matrices que indican la posición y orientación de un espacio no es suficiente para describir un espacio. • Por lo que es necesario incluir algunos conceptos adicionales. • La nueva matriz incluye la perspectiva y la escala. • T= R 3 x 3 f 1 x 3 p 3 x 1 w 1 x 1 = Rotación Perspectiva Traslación Escalado 15 /44

TRANSFORMACION DE COORDENADAS 16 /44

TRASLACION • Cómo expresar la traslación de sistemas de coordenadas: • Sea el espacio {B} que se desplaza P con respecto al espacio {A} ZB {B} {A} ZA YB P YA XA XB A B T= 1 0 0 0 0 1 0 px py pz 1 17 /44

Ejercicio 2 Sea el espacio {A} y el vector AP = [2 3 4]T. 1. Indique la matriz de transformación para trasladar el espacio {A} en una distancia dada por el ventor P. Esta matriz permite trasladar cualquier punto espacio el en {B} hacia el espacio {A}. 2. Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes puntos dados en el espacio {B}. [1 2 3]T, [3 4 5]T, [3 2 1]T 3. Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes puntos dados en el espacio {A}. [1 2 2]T, [3 3 5]T, [3 2 2]T 18 /44

Ejercicio 2 • Matriz de transformación de B hacia A. A T= B 1 0 0 0 0 1 0 2 3 4 1 3 5 7 1 5 7 9 1 5 5 5 1 = 1 0 0 0 0 1 0 2 3 4 1 1 2 3 1 = 1 0 0 0 0 1 0 2 3 4 1 3 4 5 1 = 1 0 0 0 0 1 0 2 3 4 1 3 2 1 1 19 /44

Ejercicio 2 • Matriz de transformación de A hacia B. B T= A 1 0 0 0 -2 0 -3 1 -4 0 1 3 5 7 1 5 7 9 1 5 5 5 1 = 1 0 0 0 0 1 0 2 3 4 1 1 2 3 1 = 1 0 0 0 0 1 0 2 3 4 1 3 4 5 1 = 1 0 0 0 0 1 0 2 3 4 1 3 2 1 1 20 /44

Ejercicio 3 • Cierto sistema, se traslada en P 1, luego se traslada en P 2 y luego en P 3, para obtener finalmente el sistema {B}. P 1 = [-3, 3, 2]T, P 2 = [2, 4 -1]T, P 3 = [0, -2, 4]T • Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes puntos dados en el espacio {B}. [1 2 3]T, [3 4 5]T, [3 2 1]T • Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes puntos dados en el espacio {A}. [-1 2 3]T, [2 2 2]T, [3 -2 1]T 21 /44

ROTACION • Cómo expresar la rotación de coordenadas. • Se implementará la función R( eje, ángulo) • La función indica la orientación del nuevo sistema de referencia con respecto al primero, cuando se rota cierto eje en cierto ángulo. • La rotación positiva se considera tomando en consideración la regla de la mano derecha. 22 /44

Rotación en el eje X • Definir las matrices de rotación para los ejes X, Y, Z 23 /44

Ejercicio 4 • El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje Z, calcule la ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4]T, dado en el sistema {B} 24 /44

Ejercicio 4 Z Y Y X 60º Rot(z, π/3) = X 60º cπ/3 -sπ/3 cπ/3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 25 /44

Ejercicio 5 • El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje X, luego 60º alrededor del eje Y y luego 60º alrededor del eje Z. Calcule la ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4]T, dado en el sistema {B} 26 /44

Parámetros Denavit-Hartenber 27 /44

Conceptos de robótica • Cadena cinemática abierta formada por eslabones y articulaciones: – Rotación – Prismáticas • Estudio cinemático • Estudio dinámico 28 /44

Conceptos de geometría espacial • Consideraremos como sistemas de referencia los formados por tres ejes rectilíneos (X, Y, Z): – Ortogonales (perpendiculares 2 a 2) – Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales) – Dextrógiros (el tercer eje es producto a vectorial de los otros 2) 29 /44

Conceptos de geometría espacial • Las coordenadas de un punto P(x, y, z), son las proyecciones de dicho punto perpendicular a cada eje. • Utilización de las llamadas coordenadas generalizadas: 30 /44

Traslaciones y Rotaciones 31 /44

Matriz de Transformación T • Matriz de dimensión 4 X 4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro. • relaciona el sistema de referencia solidario al punto terminal con un sistema de referencia fijo (mundo). 32 /44

Cinemática directa • Encontrar la forma explicita de la función que relaciona el espacio de articulaciones del robot (dimensiones de los eslabones y giros relativos) con el espacio cartesiano de posiciones/orientaciones. (x, y, z, α, β, γ) = f (q 1, q 2, . . . , qn) 33 /44

Resolución cinemática directa Sn = T. S 0 • Sn es el origen del sistema de referencia del extremo del robot (pinza) en coordenadas generalizadas • S 0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot. 34 /44

Cinemática inversa • Consiste en determinar la configuración que debe adoptar un robot para una posición y orientación del extremo conocidas. • No existe solución única. (q 1, q 2, . . . , qn) = f(x, y, z, α, β, γ) 35 /44

Obtención de la matriz T • Sencillo para cadenas cinemáticas abiertas de cualquier número de grados de libertad, pero complejo para el caso de cadenas cinemáticas cerradas. • Parámetros de D-H. 36 /44

Algoritmo • Elegir un sistema de coordenadas fijo (X 0, Y 0, Z 0) asociado a la base del robot • Localizar el eje de cada articulación Z: • Si la articulación es rotativa, el eje será el propio eje de giro. • Si es prismática, el eje lleva a dirección de deslizamiento. 37 /44

Algoritmo • Situar los ejes X el la línea normal común a Zi-1 y Zi. • Si estos son paralelos, se elige la línea normal que corta ambos ejes • El eje Yi debe completar el triedro dextrógiro 38 /44

Algoritmo • Parámetros de D-H: • αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular a Xi. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd). • ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo lo define el sentido de Xi. • θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano perpendicular a Zi, . El signo lo determina la rmd. • di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento. 39 /44

Algoritmo • αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular a X. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd). 40 /44

Algoritmo • ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo lo define el sentido de Xi. 41 /44

Algoritmo • θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano perpendicular a Zi, . El signo lo determina la rmd. 42 /44

Algoritmo • di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento. 43 /44

Ejemplo 44 /44

Obtención de T • Matriz de transformación desde el sistema i-1 hasta el i. 45 /44

Resolución cinemática directa • Resolución cinemática directa Sn = T. S 0 • Sn es el origen del sistema de referencia de la pinza en coordenadas generalizadas • S 0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot. 46 /44

Puma 560 47 /44

Bibliografía • John Craig, “Introduction to robotics, ” Addison Wesley. • G. Dudek and M. Jenkin, “Computational Principles of Mobile Robotics, ” Cambridge University Press. 48 /44

PREGUNTAS 49 /44