GRNRDE LKSZ REGRESYON 1 Klasik dorusal regresyon modelinin

GÖRÜNÜRDE İLİŞKİSİZ REGRESYON 1

Ø Klasik doğrusal regresyon modelinin varsayımları geçerli iken, tek denklemli modellerin “En Küçük Kareler Yöntemi” (EKKY) ile tahmin edilmesi sonucu sapmasız, tutarlı ve etkin tahmin ediciler elde edilebilir. Ø Klasik doğrusal regresyon modeli, modelin spefikasyonunun doğru olduğunu kabul eder. Ø Modelin tahmininde kullanılabilecek bazı diğer bilgiler varsa ve dikkate alınmıyorsa tahmin ediciler klasik doğrusal regresyon modelinin tahmin edicilerle ilgili özelliklerini sağlamayabilir. 2

GİR modelinde çoklu regresyon denklemlerinin bir kümesi ele alınmaktadır. Bu regresyon denklemler kümesi, eşanlı bir denklemler kümesi biçiminde değildir. Yani herhangi bir denklemde bağımlı değişken olarak bulunan bir değişken bir başka denklemde bağımsız değişken olarak bulunmamaktadır. Zellner, GİR modelini meydana getiren denklemlerin hata terimlerinin ilişkili olduğu ancak farklı denklemlerdeki bağımsız değişkenler arasında yüksek derecede ilişki olmadığı durumlarda GİR tahmin edicisinin Basit En Küçük Kareler (BEKK) tahmin edicisine göre daha etkin olduğunu göstermiştir(Sezer, 2006). 3

q. Bu sistemi meydana getiren çoklu regresyon denklemleri yapısal olarak ilişkisiz gibi görünseler de (eşanlı denklem sistemi özelliğinde olmasalar da) aşağıdaki sebeplerden dolayı istatistiksel olarak ilişkili olabilirler: ü Bazı katsayılar denklemler arasında ortak kullanılmaktadır. üAynı zaman noktasında, denklemlerdeki karşılıklı hata terimleri ilişkilidir. üDenklemlerdeki bağımlı ve bağımsız değişkenler aynıdır, bununla beraber gözlem değerleri aynı değildir. Denklemlerin bir çok ortak yönü mevcuttur. 4

Sistemde yer alan denklemlerin birbirleri ile ilişkileri, denklemlere ait hata terimlerinin ilişkili olmasından kaynaklanmaktadır. Karşılıklı hataları ilişkili olan denklem sisteminin parametre tahminleri elde edilirken sistem bir bütün olarak ele alınır. Bu yöntem Zellner(1962) tarafından öne sürülen “Görünürde İlişkisiz Regresyon(GİR)” yöntemidir. GİR yönteminin temeli Genelleştirilmiş En Küçük Kareler yöntemine dayanır. 5

• İlişkili olan denklemler sistemine ayrı basit EKK yöntemi uygulanırsa vsapmasız ve tutarlı vancak etkin olmayan tahminciler elde edilir. • Hata terimleri ilişkili denklemler sisteminin parametre tahminlerini yaparken sistemi bir bütün olarak ele alan ve hata varyans-kovaryans matrisini de regresyona dahil eden GİR yöntemini kullanmak v sapmasız, v tutarlı ve v etkin tahmin ediciler elde edilmesini sağlar (Doğan, 1998). 6

Görünürde İlişkisiz regresyon denklemlerine Ø Çeşitli malların talep fonksiyonları veya çeşitli endüstri dallarının üretim fonksiyonlarında ØBağımlı ve bağımsız değişken verilerinin zaman serisi veya anket verisi olduğu durumlarda ØBiyokimya, göç, tarım ve nüfus hareketleri, farmakoloji vb. gibi konularda karşılaşılmaktadır. 7

Görünürde İlişkisiz Regresyonlar… Aynı T zaman dönemi boyunca gözlemlenmiş ve aynı alanı ilgilendiren iki denklemi (ekonomik göstergeler, yatırım ilişkileri gibi…) göz önüne alalım: (1) (2) Y: bağımlı değişkenler X, Z: açıklayıcı değişkenler 8

…Görünürde İlişkisiz Regresyonlar… Hatalar ile ilgili olarak basit En Küçük Kareler (BEKK) varsayımlarını kabul edelim: (1) (2) (3) (4) (1) ve (2) ile verilen her iki denklemin hata varyansları farklıdır. Her iki denklemdeki hatalar eşit varyanslı ve birbiriyle ilişkisizdir. Bu varsayımlar altında EKK’in en iyi tahmin tekniği olması (minimum varyanslı, sapmasız) beklenir. 9

…Görünürde İlişkisiz Regresyonlar… M, modeldeki denklem sayısını, t zamanı ve n denklemlerdeki gözlem sayısını göstermek üzere görünürde ilişkisiz regresyon modelinde hata terimleri üzerindeki varsayımlar: 1. Kov (eit, , ejt) = E(eit, , ejt ) = ij i≠j, t = 1, 2, …, n i, j=1, …. . , M varsayıma göre, aynı zaman dönemindeki denklemlerin hata terimleri arasında ilişki vardır. İki denklemli bir sistem için eşitlik tekrar yazılırsa Kov (e 1 t, , e 2 t) = E(e 1 t, , e 2 t ) = 12 t = 1, 2, …, n şeklinde olacaktır 10

…Görünürde İlişkisiz Regresyonlar… 2. Kov (eit, , eit) = Var(eit ) = ii varsayıma göre, modeli meydana getiren her bir denklemde sabit varyans varsayımı geçerlidir. İki denklemli bir sistem için eşitlik tekrar yazılırsa Kov (e 1 t, , e 1 t) = Var(e 1 t ) = 11 Kov (e 2 t, , e 2 t) = Var(e 2 t ) = 22 11

…Görünürde İlişkisiz Regresyonlar… 3. Kov (eit, , ejs) = E(eit, , ejs ) = 0 t≠s varsayıma göre, farklı zaman dönemindeki denklemlerin hata terimleri arasında ilişki yoktur. İki denklemli bir sistem için eşitlik tekrar yazılırsa Kov (e 1 t, , e 2 s) = E(e 1 t, , e 2 s ) = 0 t≠s elde edilir. 4. Her bir denklemin hata terimleri normal dağılıma sahiptir. 5. Her bir denklemin hata terimlerinin beklenen değeri sıfıra eşittir. 12

…Görünürde İlişkisiz Regresyonlar… 1. , 2. ve 3. varsayımların geçerliliği ile iki denklemli bir sistemde 1. ve 2. denklemlerin hata vektörü için e 1 ve e 2 yi içeren kovaryans matrisi (5) Hataların farklı zaman dönemlerinde birbirleriyle ilişkisiz oldukları varsayımı altında (6) iki denklemin hataları birbirinden bağımsızdır. 13

…Görünürde İlişkisiz Regresyonlar… Farklı denklemlerdeki hataların ilişkili olduğu durumda matrisin sağdan köşegen değerleri sıfır olamaz. Farklı dönemlerde hatalar arasında ilişki yoktur. (Varsayım 3) 0 (7) 14

…Görünürde İlişkisiz Regresyonlar… Aynı zaman dönemindeki denklemlerin hata terimleri arasında ilişki vardır. Farklı zaman dönemlerinde denklemlerin hataları birbirinden bağımsızdır. (8) (9) Hata terimleri varyans-kovaryans matrisinin kösegen olmaması denklemler arasında istatistiksel olarak bir ilişki olduğunu gösterir. 15

…Görünürde İlişkisiz Regresyonlar… Farklı eşitlikteki hataların dağılımı aşağıdaki şekillerde gösterilebilir: ve (10) veya Zellner bu tip denklemleri hata ilişkili regresyon denklemleri 16 olarak adlandırmıştır.

Eşzamanlı Korelasyonun Test Edilmesi… GİR modelinde hata terimi varyans kovaryans matrisinin köşegen olması denklemlerdeki hata terimleri arasında bir ilişkinin olmadığını gösterir. Bu durumda parametre tahminlerinin GİR yöntemi ile elde edilmesinin bir kazancı olmayacaktır. Bu amaçla varyans kovaryans matrisinin köşegenliginin araştırılması gerekir. ► Varyans-kovaryans matrisinin köşegen olup olmadığı genel olarak Olabilirlik Oranı (LR) ve Lagrange Çarpanı (LM) ile test edilmektedir.

…Eşzamanlı Korelasyonun Test Edilmesi… Testlerin uygulanması sonucu, LR ve LM, sıfır hipotez kabul edilirse denklemlerin “Görünüşte İlişkisiz Regresyonlar” yerine her bir denklemin “En Küçük Kareler Yöntemi” (EKKY) ile tahmin edilmesi gerekmektedir. ♦ M tane denklemden oluşan denklem seti için LM testinin sıfır ve alternatif hipotezleri aşağıdaki gibidir: 18

…Eşzamanlı Korelasyonun Test Edilmesi… Normal doğrusal model kabulü altında uygun test istatistiği r 2 korelasyon karesi, , M(M-1)/2 serbestlik derecesinde T: Gözlem sayısı asimtotik dağılıma sahiptir. : Test istatistiği , M: denklem sayısı 19

…Eşzamanlı Korelasyonun Test Edilmesi… Ø Eğer tanımlanan anlamlılık seviyesinde dağılımının kritik değerinden büyükse Ho hipotezi reddedilir ve eş zamanlı korelasyonlu olduğu söylenebilir. Örneğin iki denklemlerden oluşan bir sistemde eş zamanlı korelasyon testi için H 0 ve H 1 hipotezi şu şekilde kurulabilir. Test istatistiği: 20

M(M-1)/2 serbestlik derecesinde tablo değerine bakılır. H 0 reddedilemez. Her iki denklemin hataları arasında bir ilişki yoktur ve denklem tahminleri için EKKY uygulanabilir.

UYGULAMA 1: TARIMSAL ÜRETİM SEKTÖRÜ 1979 - 1988 yılları arasında tarım sektöründe ortak özellikleri bulunan benzer iki ürünün fonksiyonları karşılaştırılmak istenmiştir. Buğday ve arpa verimlerine etki eden faktörlerin de aynı olduğu varsayımından hareketle denklem sistemleri arasında görünürde bir ilişkinin olup olmadığını araştırınız. 22

Bağımlı Değişken Yıllar Arpa Verimi Kg / hektar 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1871 1893 1990 2040 1871 2000 1949 2103 2092 2189 Arpa Ekili Arpa alanı Üretimi Bin hektar Bin Ton 2800 5240 2800 5300 2965 5900 3137 6400 2900 5425 3250 6500 3343 7000 3314 6900 3445 7500 Bağımlı Değişken Buğday Verimi Kg / hektar 1862 1829 1838 1944 1777 1911 1838 2036 2035 2188 Buğday Ekili alanı Bin hektar 9400 9020 9250 9000 9230 9000 9350 9415 9435 Buğday Üretimi Bin Ton 17500 16500 17000 17500 16400 17200 17000 19000 18900 20500 Tahmin edilecek modeller log (arpa_verim) = f (logarpa_alan, logarpa_uretimi) log (bugday_verim) = f (logbugday_alan, logbugday_uretimi)23

ADIMLAR 1) Denklemlere EKKY uygulanır. a) Birinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin Sonuçları. Dependent Variable: LOG(ARPA_VERIM) Method: Least Squares Sample: 1979 1988 Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 6. 707761 LOG(ARPA_ALAN) -0. 975863 LOG(ARPA_URETIM) 1. 000880 0. 086735 77. 33606 0. 029137 -33. 49232 0. 018422 54. 33014 0. 0000 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0. 999278 Mean dependent var 0. 999071 S. D. dependent var 0. 001628 Akaike info criterion 1. 85 E-05 Schwarz criterion 51. 79917 F-statistic 1. 835220 Prob(F-statistic) 7. 599514 0. 053414 -9. 759834 -9. 669058 4841. 716 0. 000000 24

b) Otokorelasyon Testi EKK yöntemi ile tahmin edilen modelde otokorelasyon olup olmadığı incelendiğinde yapılan test sonucuna göre hatalar arasında otokorelasyon olmadığını söyleyen H 0 hipotezi kabul edilebilir. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 0. 047970 Probability 0. 833895 Obs*R-squared 0. 079316 Probability 0. 778227 25

a) İkinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin Sonuçları Dependent Variable: LOG(BUGDAY_VERIM) Method: Least Squares Sample: 1979 1988 Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error C 5. 524540 0. 774284 LOG(BUGDAY_ALAN) -0. 862321 0. 098206 LOG(BUGDAY_URETIM) 1. 013219 0. 026429 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat t-Statistic 7. 135032 -8. 780696 38. 33666 0. 996025 Mean dependent var 0. 994890 S. D. dependent var 0. 004594 Akaike info criterion 0. 000148 Schwarz criterion 41. 42509 F-statistic 2. 680469 Prob(F-statistic) Prob. 0. 0002 0. 0001 0. 0000 7. 561210 0. 064257 -7. 685018 -7. 594243 877. 0696 0. 000000 26

b) Otokorelasyon Testi Benzer şekilde buğday verim modelinde hatalar arasında otokorelasyon olup olmadığı incelendiğinde hatalar arasında otokoreasyon olmadığına karar verilebilir. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Obs*R-squared 3. 396589 Probability 0. 114902 3. 614705 Probability 0. 057271 27

System: SYS 01 Estimation Method: Seemingly Unrelated Regression Sample: 1979 1988 Included observations: 10 Total system (balanced) observations 20 Linear estimation after one-step weighting matrix C LOG(ARPA_ALAN) LOG(ARPA_URETIM) C LOG(BUGDAY_ALAN) LOG(BUGDAY_URETIM) Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 6. 726139 -0. 980962 1. 003472 5. 726876 -0. 885814 1. 014466 0. 071981 0. 024219 0. 015337 0. 642593 0. 081570 0. 022078 93. 44348 -40. 50404 65. 42920 8. 912134 -10. 85959 45. 94901 0. 0000 Determinant residual covariance 2. 61 E-11 28

Observations: 10 R-squared 0. 999273 Mean dependent var Adjusted Rsquared 0. 999065 S. D. dependent var S. E. of regression 0. 001633 Sum squared resid Durbin-Watson stat 1. 847210 Observations: 10 R-squared 0. 995985 Adjusted Rsquared 0. 994838 S. E. of regression 0. 004617 Durbin-Watson stat 2. 623456 7. 599514 0. 053414 1. 87 E-05 Mean dependent var 7. 561210 S. D. dependent var 0. 064257 Sum squared resid 0. 000149 29

3) Denklemlerin hataları arasında ilişki olup olmadığını araştırmak için eş zamanlı kovaryans testi yapılması gerekmektedir. Eviews programından elde edilen hataların kovaryans matrisi aşağıdaki gibidir. LOG(ARPA_VERIM) LOG(BUGDAY_VERIM) LOG(ARPA_VERIM) 1. 867 e-06 1. 341 e-06 LOG(BUGDAY_VERIM) 1. 341 e-06 1. 491 e-05 Matris notasyonu ile gösterimi: 12=0 hipotezinin test edilebilmesi r 212 katsayısının hesaplanması gerekmektedir. 30

1. Adım 2. Adım 3. Adım M(M-1)/2 serbestlik derecesinde tablo değerine bakılır. 31

4. Adım H 0 reddedilemez Her iki denklemin hataları arasında bir ilişki olmadığı görülmüştür. Bu durumda iki tarım ürününe ilişkin verimlerin birbirinden etkilenmedikleri yorumu yapılabilir ve denklem tahminleri için EKKY uygulanabilir. EKKY ve SUR Model Sonuçlarının Karşılaştırılması Yöntem SUR EKKY Katsayı Std. Hata C 6. 707761 0. 086735 6. 726139 0. 071981 LOG(ARPA_ALAN) -0. 975863 0. 029137 -0. 980962 0. 024219 LOG(ARPA_URETIM) 1. 000880 0. 018422 1. 003472 0. 015337 C 5. 524540 0. 774284 5. 726876 0. 642593 LOG(BUGDAY_ALAN) -0. 862321 0. 098206 -0. 885814 0. 081570 LOG(BUGDAY_URETIM) 1. 013219 0. 026429 1. 014466 0. 022078 32

UYGULAMA 1: TARIMSAL ÜRETİM SEKTÖRÜNDE (Çavdar ve Yulaf) Aşağıdaki tablolarda 1979 - 1988 yılları arasında tarım sektöründen benzer iki ürünün fonksiyonları karşılaştırılmak istenmiştir. Çavdar ve yulaf verimlerine etki eden faktörlerin aynı olduğu varsayımından hareketle denklemler sistemleri arasında görünürde bir ilişkin olup olmadığını araştırınız. 33

Bağımlı Değişken Yıllar Çavdar Verimi Kg / hektar 1979 1319 1980 1186 1981 1293 1982 1376 1983 1382 1984 1440 1985 1550 1986 1585 1987 1581 1988 1567 Çavdar Ekili alanı Bin/ hektar 470 443 410 313 275 250 240 222 242 180 Çavdar Üretimi Bin/ Ton 620 525 530 430 380 360 350 380 280 Bağımlı Değişken Yulaf Verimi Kg / hektar Yulaf Ekili alanı Bin / hektar 1682 1806 1882 1837 1883 1899 1826 1852 220 197 180 175 170 172 167 158 178 149 Yulaf Üretimi Bin / Ton 370 355 325 330 320 316 314 300 325 276 Tahmin edilecek modeller log (cavdar_verim) = f (cavdar _uretim, cavdar _alan) log (yulaf _verim) = f (yulaf _uretim, yulaf_alan) 34

ADIMLAR 1) Denklemlere EKKY uygulanır. a) Birinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin Sonuçları. Dependent Variable: LOG(CAVDAR_VERIM) Method: Least Squares Sample: 1979 1988 Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 6. 918401 0. 165405 41. 82715 LOG(CAVDAR_ALAN) -1. 039640 0. 061805 -16. 82126 LOG(CAVDAR_URETIM) 1. 036502 0. 082988 12. 48973 0. 0000 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0. 991830 Mean dependent var 0. 989495 S. D. dependent var 0. 010224 Akaike info criterion 0. 000732 Schwarz criterion 33. 42441 F-statistic 2. 589341 Prob(F-statistic) 7. 259539 0. 099751 -6. 084883 -5. 994107 424. 8800 0. 000000 35

b) Otokorelasyon Testi EKK yöntemi ile tahmin edilen modelde otokorelasyon olup olmadığı incelendiğinde yapılan test sonucuna göre hatalar arasında otokorelasyon olmadığını söyleyen H 0 hipotezi kabul edilebilir. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 0. 689292 Obs*R-squared 1. 030441 Probability 0. 438185 0. 310055 36

a) İkinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin Sonuçları Dependent Variable: LOG(YULAF_VERIM) Method: Least Squares Sample: 1979 1988 Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 6. 896845 LOG(YULAF_ALAN) -1. 004484 LOG(YULAF_URETIM) 1. 005932 0. 020446 337. 3201 0. 006842 -146. 8164 0. 009182 109. 5515 0. 0000 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0. 999830 Mean dependent var 0. 999782 S. D. dependent var 0. 000528 Akaike info criterion 1. 95 E-06 Schwarz criterion 63. 05699 F-statistic 2. 268799 Prob(F-statistic) 7. 514506 0. 035754 -12. 01140 -11. 920626. 82 0. 000000 37

b) Otokorelasyon Testi EKK yöntemi ile tahmin edilen modelde otokorelasyon olup olmadığı incelendiğinde yapılan test sonucuna göre hatalar arasında otokorelasyon olmadığını söyleyen H 0 hipotezi kabul edilebilir. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 0. 142993 Probability 0. 718341 Obs*R-squared 0. 232774 Probability 0. 629475 38

2) Denklemlerin SUR ile tahmini aşağıdaki gibidir. System: SYS 01 Estimation Method: Seemingly Unrelated Regression Sample: 1979 1988 Included observations: 10 Total system (balanced) observations 20 Linear estimation after one-step weighting matrix C LOG(CAVDAR_ALAN) LOG(CAVDAR_URETIM) C LOG(YULAF_ALAN) LOG(YULAF_URETIM) Determinant residual covariance Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 7. 056788 -0. 993493 0. 970014 6. 906474 -1. 002821 1. 002776 0. 077382 91. 19375 0. 021759 -45. 65882 0. 030907 31. 38527 0. 008800 784. 8325 0. 002490 -402. 7346 0. 003231 310. 4000 0. 0000 5. 26 E-13 39

Equation: LOG(CAVDAR_VERIM) =C(1)+C(2)*LOG(CAVDAR_ALAN) +C(3)*LOG(CAVDAR_URETIM) Observations: 10 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Durbin-Watson stat 0. 991008 0. 988439 0. 010725 2. 441828 Mean dependent var S. D. dependent var Sum squared resid 7. 259539 0. 099751 0. 000805 Equation: LOG(YULAF_VERIM) =C(4) +C(5)*LOG(YULAF_ALAN) + C(6)*LOG(YULAF_URETIM) Observations: 10 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Durbin-Watson stat 0. 999824 0. 999774 0. 000538 2. 266296 Mean dependent var S. D. dependent var Sum squared resid 7. 514506 0. 035754 2. 03 E-06 40

3) Denklemlerin hataları arasında ilişki olup olmadığını araştırmak için eş zamanlı kovaryans testi yapılması gerekmektedir. Eviews programından elde edilen hataların kovaryans matrisi aşağıdaki gibidir. LOG(CAVDAR_VERIM) LOG(YULAF_VERIM) LOG(CAVDAR_VERIM) 8. 052 e-05 3. 973 e-06 LOG(YULAF_VERIM) 3. 973 e-06 2. 026 e-07 Matris notasyonu ile gösterimi 12 = 0 hipotezinin test edilebilmesi r 212 katsayısının hesaplanması gerekmektedir. 41

1. Adım 3. Adım M(M-1)/2 serbestlik derecesinde tablo değerine bakılır. 42

4. Adım Her iki denklemin hataları arasında bir ilişki olduğu görülmüştür. Bu durumda iki tarım ürününe ilişkin verimlerin birbirinden etkilendikleri yorumu yapılabilir ve denklem tahminleri için GİR uygulanabilir. 43