DORUSALLIK VE DORUSAL OLMAMA DURUMU Dorusal Model Dorusal

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU* Doğrusal Model Doğrusal olmama durumunu anlatmadan önce doğrusallıktan bahsetmek gerekmektedir. *Bu konu Christopher Dougherty’, Inroduction to Econometrics kitabının slaytlarından çevrilerek hazırlanmıştır. 1

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Yukarıda verilen model iki durum bakımından doğrusaldır. Model değişkenler bakımından doğrusaldır. Ayrıca parametreler bakımından da doğrusaldır. 2

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu: Parametreler her bir terimde çarpımsal olarak yer almaktadır. 3

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Değişken ve parametre bakımından doğrusallık: Parametre bakımından doğrusal, değişken bakımından doğrusal olmama: İkinci model parametre bakımından doğrusalken, değişken bakımından doğrusal değildir. 4

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Bu modellerde bir sorun yoktur. Yeni değişkenler yukarıdaki gibi tanımlanabilir. 5

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu: Parametrelerde doğrusal, değişkenlerde doğrusal olmama durumu: Yapılan yüzeysel dönüşümler ile hem parametre hem de değişkenler doğrusal duruma getirilir. 6

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu: Parametrelerde doğrusal değişkenlerde doğrusal olmama durumu: Parametre bakımından doğrusal olmama durumu: Üçüncü model katsayı bakımından doğrusal değildir. X 4 değişkeninin katsayısı, X 2 ve X 3 değişkenleri katsayılarının çarpımıdır. Parametre bakımından doğrusal olmayan modeller uygun dönüşümler sayesinde doğrusallaştırılabilir. 7

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Hanehalkı Muz (lbs) Y Gelir ($10, 000) X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. 71 6. 88 8. 25 9. 52 9. 81 11. 43 11. 09 10. 87 12. 15 10. 94 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Doğrusallaştırma için yukarıdaki örnek ile başlayalım. 10 hanehalkına ait yıllık muz tüketimi ve yıllık gelir bilgileri yukarıdaki gibidir. 8

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y X Verilerin dağılımı grafikte verilmiştir. 9

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU. reg Y X Source | SS df MS -----+---------------Model | 58. 8774834 1 58. 8774834 Residual | 27. 003764 8 3. 3754705 -----+---------------Total | 85. 8812475 9 9. 54236083 Number of obs F( 1, 8) Prob > F R-squared Adj R-squared Root MSE = = = 10 17. 44 0. 0031 0. 6856 0. 6463 1. 8372 ---------------------------------------Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -----+----------------------------------X |. 8447878. 2022741 4. 176 0. 003. 378343 1. 311233 _cons | 4. 618667 1. 255078 3. 680 0. 006 1. 724453 7. 512881 --------------------------------------- Doğrusal modelin sonuçları çıktı olarak verilmiştir. Dağılma diyagramından görüldüğü gibi X’in katsayısı istatistiksel olarak anlamlıdır. R 2 değeri oldukça iyidir. 10

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y X Regresyon doğrusu çizildikten sonra dağılım diyagramı yukarıda yine verilmiştir. 11

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y X Grafiğe tahmin değerleri ve hata terimleri eklenmiştir. Hata terimleri modelin bazı bakımlardan yanlış belirlenmiş olabileceğini göstermektedir. 12

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y X Eğer model doğru olarak belirlenmiş olsaydı hata terimleri tesadüfi olarak dağılacaktı. Bu durumda tesadüfi değildir. Negatif hata terimini altı tane pozitif hata terimi ve bunları da üç tane negatif hata terimi takip etmektedir. 13

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Yeniden düzenlenmiş model: Y değişkeninin ilişkisi 1/X ile daha uygun olabilir. Eğer 2 < 0 ise, Y değişkeni X ile yine artacaktır, fakat artış oranı düşecektir. 14

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Gözden geçirilmiş model : Yukarıdaki model doğusal değildir. X değişkeninin tersi olarak bir Z değişkeni tanımlanırsa model doğrusal olabilecektir. 15

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Muz (lbs) Hanehalkı Gelir ($10, 000) Y X Z=1/X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. 71 6. 88 8. 25 9. 52 9. 81 11. 43 11. 09 10. 87 12. 15 10. 94 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. 00 0. 50 0. 33 0. 25 0. 20 0. 17 0. 14 0. 13 0. 11 0. 10 Yeni adım Z değişkenini X değişkeni yardımı ile hesaplamaktır. Böylece eski değişkenlerden yeni değişkenler elde edilebilir. 16

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y Z Bu kez Y ve Z arasındaki dağılma diyagramı yukarıdaki gibidir. 17

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU. g Z=1/X. reg Y Z Source | SS df MS -----+---------------Model | 83. 5451508 1 83. 5451508 Residual | 2. 33609666 8. 292012083 -----+---------------Total | 85. 8812475 9 9. 54236083 Number of obs F( 1, 8) Prob > F R-squared Adj R-squared Root MSE = = = 10 286. 10 0. 0000 0. 9728 0. 9694. 54038 ---------------------------------------Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -----+----------------------------------Z | -10. 98865. 6496573 -16. 915 0. 000 -12. 48677 -9. 490543 _cons | 12. 48354. 2557512 48. 811 0. 000 11. 89378 13. 07331 --------------------------------------- Yeni Z değişkeni ile elde edilen model çıktısı yukarıdadır. 18

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU. g Z=1/X. reg Y Z Source | SS df MS -----+---------------Model | 83. 5451508 1 83. 5451508 Residual | 2. 33609666 8. 292012083 -----+---------------Total | 85. 8812475 9 9. 54236083 Number of obs F( 1, 8) Prob > F R-squared Adj R-squared Root MSE = = = 10 286. 10 0. 0000 0. 9728 0. 9694. 54038 ---------------------------------------Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -----+----------------------------------Z | -10. 98865. 6496573 -16. 915 0. 000 -12. 48677 -9. 490543 _cons | 12. 48354. 2557512 48. 811 0. 000 11. 89378 13. 07331 --------------------------------------- Regresyon modeli 19

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y Z Regresyon doğrusu ve verilerin dağılım diyagramı 20

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y X X değişkeninin tersini alarak Z değişkeninin yer alması ve elde edilen modelin orijinal veriler ile grafiği çizildiğinde daha uygun olduğu görülmektedir. 21

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Doğrusal olmayan regresyon modellerinin hata yapısını ele alalım. 1

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Doğrusal modellerde regresyon sonuçları istenilen özelliklere sahiptir. Dönüştürülen modelde hata terimi toplamsal olmalıdır ve Gauss-Markov şartlarını sağlamalıdır. 2

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Geleneksel testlerin gerçekleştirilebilmesi için, dönüştürülmüş model hata terimi normal dağılmalıdır. 3

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Eğer orijinal modeldeki hata terimleri istenilen özelliklere sahip ise, doğrusal olmayan regresyon modelindeki hata terimleri de istenilen özelliklere sahiptir. Dönüşümden etkilenmemektedir. 4

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Log-log bir modelde hata terimi dışlansın. 5

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Bununla birlikte, dönüştürülmüş modelde hata teriminin toplamsal olduğu varsayılsın. 6

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Ancak orjinal modelde tesadüfi bileşen çarpımsaldır. eu. 7

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Orijinal modeldeki çarpımsal terimi v ile gösterelim. 8

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ u sıfıra eşit olduğunda, log Y değerini değiştirmeye gerek yoktur. Aynı biçimde v 1’e eşit olduğunda ise Y değerini değiştirmeye gerek yoktur. 9

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ 1 değerinden büyük olan v değerlerine karşılık gelen pozitif u değerleri, tesadüfi faktör Y ve log Y üzerinde pozitif etkiye sahiptir. 0 ve 1 değerleri arasındaki v değerlerine karşılık gelen negatif u değerleri, tesadüfi faktör Y ve log Y üzerinde negatif etkiye sahiptir. 10

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ f(v) v Ayrıca Gauss-Markov şartlarını sağlanması, t ve F testlerini gerçekleştirebilmek için u teriminin normal dağılması gerekmektedir. 11

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ f(v) v Eğer v lognormal dağılıma sahip ise şekli yukarıdaki gibi olacaktır. 12

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ f(v) v u = 0 iken, dağılımın modu v =1 olmaktadır. 13

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ f(v) v Aynı çarpımsal hata terimi yarı-logaritmik modelde de olmalıdır. 14

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ f(v) v Bu dağılımda büyük pozitif tesadüfi etkiye maruz kalan gözlemlerde küçük oransal değişme beklenecektir. 15

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Örnekte kazanç ve eğitim yılına ait verilerin dağılımı yukarıdaki gibidir. Birçok aykırı gözlem bulunmaktadır ve bunların üç tanesi sarı ile gösterilmiştir. 16

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Yukarıda yarı-logaritmik modelin regresyon doğrusu etrafındaki dağılma diyagramı gösterilmektedir. Aynı üç 17 değer hala aykırı gözlem olarak görülmektedir.

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Yukarıdaki histogram doğrusal ve yarı-logaritmik modellerin hata terimlerini karşılaştırmaktadır. Hata terimleri standart sapması bir olacak şekilde standartlaştırıldığında 18 karşılaştırılabilir.

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Eğer regresyon modelindeki hata terimi normal dağılıyorsa yukarıdaki gibi gösterilir 19

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Yarı-logaritmik modelden elde edilen hata terimleri yaklaşık olarak normal iken; doğrusal modelden elde edilen model hata terimleri normal değildir. Bu da yarı-logaritmik modelin 20 daha iyi tanımlama olduğunu göstermektedir.

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Eğer tam logaritmik yada yarı-logaritmik model hata terimi çarpımsal yerine toplamsal olursa ne olur? 21

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Eğer böyle bir durum söz konusu ise, verilerin logaritması alınarak doğrusallaştırılamaz. log(b 1 Xb + u)’i basitleştirmenin bir yolu yoktur. Bu durum için bazı doğrusal olmayan tekniklerin kullanılması gerekmektedir. 22 2

BOX-COX TESTİ* Bir regresyon modelinin tanımlanmasında bağımlı değişken aynı iken R 2, modelleri karşılaştırmak için kulllanılabilir. * Bu konu “Applied Econometrics A Modern Approach” Dimitrios Asterious and Stephen G. Hall; ”Basic Econometrics”, Damodar Gujarati ve “Econometrics Models and Economic Forecasting”, Pindcyk ve Rubinfield kitaplarından alınmıştır. 1

BOX-COX TESTİ Ancak bağımlı değişken aynı değilse karşılaştırma yapılamaz. 2

BOX-COX TESTİ Bu modeller aynı değildir ve karşılaştırma yapılamaz. Farklı fonksiyonel biçimlerin Box-Cox dönüşümü ile karşılaştırılması mümkündür. 4

BOX-COX TESTİ Box-Cox dönüşümü yapılmadan önce Box-Cox dönüşüm parametresi olan λ nın bulunması gerekmektedir. λ belirlendikten sonra bağıımlı değişkene ilişkin dönüşüm aşağıdaki gibi yapılmaktadır. λ değeri eğer sıfır olarak bulunmuş ise, gerçek bağımlı değişken(Y) ile logaritmik bağımlı değişken (log. Y) birbiri yerine kullanılabilmektedir. λ nın sıfırdan farklı olması durumunda yukarıdaki formülden hesaplanan yeni bağımlı değişkeni oluşturulup Box-Cox testi aşamaları gerçekleştirilebilir.

BOX-COX TESTİ negatif, pozitif ya da sıfır olabilmektedir. (1) nolu eşitlik Box-Cox regresyon modeli olarak adlandırılmaktadır. aldığı değerlere göre Tablodaki modeller elde edilmektedir. Değeri 1 2 0. 5 0 -0. 5 -1. 0 Regresyon Modeli Doğrusal ve logaritmik-doğrusal modeller Box-Cox dönüşümünün özel durumlarıdır.

BOX-COX TESTİ denkleminde olmaktadır. yerine konursa

BOX-COX TESTİ = 0 olduğu zaman (Y - 1) / belirsiz olmaktadır. Taylor serisi açılımı kullanılarak Y aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

BOX-COX TESTİ En çok olabilirlik fonksiyonu ile parametre tahminleri yapılabilmesi için logaritmik olabilirlik fonksiyonu: Ø (2) nolu olabilirlik fonksiyonu = 0 ve =1 olduğunda verilere en uygun olan modelin seçimde ve karşılaştırılmasında kullanılabilmektedir. Ø En çok olabilirlik çözümü için program uygun olmadığında doğrusal ve log-doğrusal model karşılaştırması için en küçük kareler yöntemi kullanılabilmektedir. Ø Karşılaştırmanın yapılabilmesi için Box-Cox dönüşüm testi uygulanabilir.

BOX-COX TESTİ (3) (4) • En küçük kareler yaklaşımı kullanarak her iki denklemde karşılaştırılabilir. • Bunun için orijinal Y gözlemleri geometrik ortalamalarına bölünerek normalleştirilebilmektedir. • Normalize edilen Y değişkeni kullanılarak doğrusal ve logdoğrusal model karşılaştırılabilmektedir.

BOX-COX TESTİ (3) (4) 1. Adım: Y gözlemlerinin geometrik ortalaması alınır. 2. Adım: Y gözlemleri, Y’nin geometrik ortalamalarına bölünerek Y* değişkenine dönüştürülür.

BOX-COX TESTİ (3) (4) 3. Adım: (3) ve (4) nolu modellerde bağımlı değişken yerine Y* değişkeni konur. (5) (6)

BOX-COX TESTİ 4. Adım: (5) ve (6) nolu modellerden elde edilen hata kareler toplamına göre ki-kare kritik değeri elde edilir. Serbestlik derecesi 1 olan ki-kare tablo değeri ile karşılaştırılır. (5) (6) Sonuç olarak eğer test değeri tablo değerinden büyük ise daha küçük hata kareler toplamına sahip modelin daha iyi olduğu ifade edilebilir.

BOX-COX TESTİ Örnek: 1985: 1 -1994: 2 dönemleri arasında tüketim, gelir ve tüketici fiyat indeksi verileri verilmiştir. İki türlü tüketim fonksiyonu tanımlanmıştır. Ct : reel tüketim, Yt: reel gelir Her iki modeli karşılaştırabilmek için reel hale getirilen değişkenlerin logaritması alınarak dönüştürme adımlarına başlanabilir.

BOX-COX TESTİ C değişkenin geometrik ortalaması alınır. λ=0 olduğu için logaritmik C değişkeni kullanılmıştır. C* değişkeni (3) ve (4) nolu modellerde bağımlı değişken yerine kullanılır ve (5) ve (6) nolu modeller ayrı tahminlenir: (5) (6)

(5) nolu model: Dependent Variable: C* Method: Least Squares Sample: 1985 Q 1 1994 Q 2 Included observations: 38 Variable Y C R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient Std. Error t-Statistic 0. 015086 0. 001925 7. 835114 -0. 480574 0. 189967 -2. 529774 0. 630348 Mean dependent var 0. 620080 S. D. dependent var 0. 064368 Akaike info criterion 0. 149158 Schwarz criterion 51. 34670 F-statistic 0. 136686 Prob(F-statistic) Prob. 0. 0000 0. 0159 1. 005590 0. 104430 -2. 597195 -2. 511006 61. 38901 0. 000000

(6) nolu model. Dependent Variable: ln. C* Method: Least Squares Sample: 1985 Q 1 1994 Q 2 Included observations: 38 Variable C Y R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. -1. 576979 0. 191307 -8. 243206 0. 0000 0. 016008 0. 001939 8. 255687 0. 0000 0. 654366 Mean dependent var 9. 79 E-16 0. 644765 S. D. dependent var 0. 108759 0. 064822 Akaike info criterion -2. 583144 0. 151269 Schwarz criterion -2. 496955 51. 07973 F-statistic 68. 15636 0. 117352 Prob(F-statistic) 0. 000000

Model karşılaştırması H 0: Model tahminleri arasında fark yoktur. H 1: Hata kareler toplamı küçük olan model daha iyidir. Logaritmik fonksiyonun doğrusal modelden daha iyi olduğu söylenemez

BOX-COX TESTİ ÖRNEK 2 Aşağıdaki iki model karşılaştırılmak istensin. Bir önceki örnekte olduğu gibi bağımlı değişkenin geometrik ortalaması alınarak bağımlı değişken gözlemleri geometrik ortalamaya bölünür. O zaman; 9

BOX-COX TESTİ EARN* elde edildikten sonra aşağıdaki iki model tahminlenebilir. Karşılaştırma amaçlı aşağıdaki test istatistiği hesaplanır. λ≠ 0 olduğu için bağımlı değişkenin logaritması alınarak iki model elde edilmiştir. Kazanç denklemini doğrusal ve yarı logaritmik biçimde karşılaştırmak için yukarıdaki testi uygulayacağız. 10

BOX-COX TESTİ . reg EARNSTAR S Source | SS df MS -----+---------------Model | 30. 8184248 1 30. 8184248 Residual | 266. 69807 568. 469538855 -----+---------------Total | 297. 516494 569. 522876089 Number of obs F( 1, 568) Prob > F R-squared Adj R-squared Root MSE = = = 570 65. 64 0. 0000 0. 1036 0. 1020. 68523 ---------------------------------------EARNSTAR | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -----+----------------------------------S |. 0944558. 0116589 8. 102 0. 000. 0715559. 1173557 _cons | -. 1224433. 1602326 -0. 764 0. 445 -. 437164. 1922774 --------------------------------------- EARNSTAR’nın S ye göre regresyonu alınır. Hata kareleri toplamı bulunur. 17

BOX-COX TESTİ. reg LGEARNST S Source | SS df MS -----+---------------Model | 21. 6812545 1 21. 6812545 Residual | 132. 120642 568. 232606764 -----+---------------Total | 153. 801897 569. 270302103 Number of obs F( 1, 568) Prob > F R-squared Adj R-squared Root MSE = = = 570 93. 21 0. 0000 0. 1410 0. 1395. 48229 ---------------------------------------LGEARNST | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -----+----------------------------------S |. 0792256. 0082061 9. 655 0. 000. 0631077. 0953435 _cons | -1. 071214. 1127785 -9. 498 0. 000 -1. 292727 -. 8496999 --------------------------------------- LGEARNST’nın de regresyonu alınır ve hata kareler toplamı alınır. 18

BOX-COX TESTİ H 0: Model tahminleri arasında fark yoktur. H 1: Hata kareler toplamı küçük model daha iyidir. Test istatistiği 200. 2 dir. Kikare tablo değeriyle karşılaştırıldığında yarı logaritmik modelin daha iyi olduğuna karar verilir. 19