DORUSAL ve DORUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR DORUSAL SINIRLAMALARIN TEST

DOĞRUSAL ve DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR DOĞRUSAL SINIRLAMALARIN TESTİ • • • t testi F testi Diğer testler: Chow testi MWD testi DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALARIN TESTİ • • • Benzerlik Oranı Testi Lagrange Çarpanı Testi Wald Test 1

DOĞRUSAL SINIRLAMALAR Bazen İktisat teorisinden kaynaklanan bazı sınırlamaların modelde yer alması istenebilir veya gerekebilir. Tüketim ve tasarruf eğilimlerinin toplamı, Coubb-Douglas modelinin katsayılarının toplamının ölçeğe göre sabit getiri olması için bire eşit olması gibi durumlarda doğrusal birleşimler söz konusu olabilir. Benzer şekilde bazı katsayıların birbirine eşitliği veya farklı doğrusal birleşimlerinin varlığı da arzu edilebilir. Bu tür sınırlamalara doğrusal sınırlamalar denir. 2

Regresyon modeli, ve sınırlama, olsun. Bu durumda, olacağından, 3

olacak ve model tanımlaması yapılırsa, ve için ve olarak tahmin edilecektir. Katsayıların birbirine eşitliği de doğrusal sınırlamadır. Aynı modelde sınırlama olursa, modeli, 4

olarak incelenebilir. Burada, tanımlaması ile model, olarak tahmin edilir. 5

DOĞRUSAL SINIRLAMALARIN TESTİ Sınırlamalar doğrusal olduğunda test edilmeleri için t ve F testleri kullanılabilir. t TESTİ Katsayıların anlamlılığının veya belirli bir değere eşitliğinin söz konusu olduğu durumda açıklanan t testi, doğrusal sınırlamaların testi için de benzer bir şekilde kullanılır. Doğrusal sınırlama türlerinin gösterdiği farklılığa bağlı olarak t testinin uygulanması da farklılıklar gösterir. Sabit değer sınırlamasında katsayılardan birinin belirli bir değere eşit olması söz konusu olduğunda yapılacak t testi katsayıların belirli bir değere eşit olmasının testi ile aynıdır. 6

Regresyonun orijinden geçip geçmediği test edilmek istendiğinde ise, sabit katsayının anlamlılığın yani sıfırdan farklı olup olmadığının test edilmesi gerekecektir. Sabit değer kısıtlaması birden fazla parametre için geçerli ise, t testi her biri için ayrı uygulanacaktır. Test işlemleri sınırlandırılmamış model ile yapılacaktır. İki parametrenin birbirine eşit olması, toplamlarının veya farklarının belirli bir değere eşit olması şeklinde bir sınırlama söz konusu ise, yani veya sınırlaması veya örneğin veya sınırlaması test edilecekse hipotezler daha önce açıklandığı gibi oluşturulur. Test istatistiği ise eşitlik için, olacak ve test edildiğinden 7

olacaktır. Burada, olarak tahmin edilir. Toplamlar veya farklar söz konusu olduğunda test istatistiği, örneğin durumu için, ve ve 8

olacaktır. Diğer yapılacaktır. işlemler daha önce açıklandığı gibi 9

Uygulama: Türkiye’nin 1980 -2000 yılları arasında elde ettiği turizm gelirlerini (TG) incelemek amacıyla Türkiye’ye gelen turist sayısı (TS) ve turizm yatırımları (TY) değişkenleri ile tam logaritmik model elde edilmiştir. Bulunan bu modelde turist sayısına ilişkin parametrenin turizm yatırımlarına ilişkin parametre ile eşit olduğunu sınayınız. LN(TG) = -3. 1406+2. 1888 LN(TS)+1. 1413 LN(TY) s(bi) = (0. 77) (0. 523) t = (-4. 078) prob = [0. 0000] Fhes= 461. 68 prob [0. 0000] (4. 185) [0. 0000] (0. 325) (3. 512) [0. 0000] R 2=0. 9777 10

11

thes= 3. 273 > ttab= 1. 734 H 0 reddedilir. Sınırlama geçerli değildir. Parametrelerin birbirine eşit olduğu söylenemez. ( ) 12

F TESTİ Doğrusal sınırlamaların testi için sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modellerin tahmin edilmesi gereklidir. Bu test yapılırken sınırlama sayısı önemli değildir. Test söz konusu olan sınırlamaların geçerli olmaması halinde modellerin açıklandığı değişim miktarlarının aynı olacağı mantığına dayanmaktadır. Diğer bir ifade ile söz konusu olan sınırlamalar geçerli ise sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modeller tarafından bağımlı değişkendeki değişmelerin açıklanma miktarları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olacaktır. 13

Test için açıklanmayan değişme, yani artıkların kareleri toplamı kullanılabilir. Sınırlandırılmış modelin artıklarının kareleri toplamı ve sınırlandırılmamış modelin artıklarının kareleri toplamı ile ifade edilirse F test istatistiği, olarak hesaplanacaktır. Burada, 14

ve test istatistiğinin dağılımı c ve (n- k. U) serbestlik dereceli F dağılımıdır. F test istatistiği R 2 değerleri ile, veya olarak da hesaplanabilir. 15

Kimya Sanayii dalında faaliyet gösteren 15 firmanın üretimleri (Y), emek girdileri(X 2) ve sermaye girdileri (X 3) aşağıdaki gibidir. Firma Üretim(bin ton) Emek(saat) Sermaye(makine saati) 1 60 2 1200 400 3 190 1430 420 4 250 1100 400 5 300 1520 510 6 360 1620 590 7 380 1800 600 8 430 1820 630 9 440 1800 610 10 490 1750 630 11 500 1950 850 12 520 1960 900 13 540 1830 980 14 410 1900 15 350 1500 800 300 16

n=15, k=3 Bu üretim fonksiyonu sınırlanmamış parametrelerine sınır konmamıştır. modeldir, zira b Şimdi b 2 + b 3 =1 sınırlamasını koymak isteyelim. 1. Aşama: 2. Aşama: anlamlılık seviyesi ve f 1=c=1 sınırlama, f 2=n-k=15 -3=12 sd. lerinde Ftab=4. 75 17

3. Aşama: R 2=0. 915 Sınırlandırılmamış üretim fonksiyonunun belirlilik katsayısıdır. Sınırlandırılmış üretim fonksiyonunun belirlilik katsayısı; Bunu bulabilmek için sınırlandırılmış üretim fonksiyonunu belirleyip EKKY ile tahmin etmeliyiz, yani sınırlandırılmış EKKY’yı uygulamalıyız. Şöyleki; yukarıdaki sınırlandırılmamış orijinal üretim fonksiyonu; göre H 0 hipotezi sınırlaması b 2 + b 3=1’i dikkate almak için alınmalıdır. Biz sonuncusunu alalım: veya 18

Burada Y/X 2, üretim/emek oranı; X 3/X 2, sermaye/emek oranı olup, iktisadi yönden önemlidir. İşte b 1 ve b 3 ‘ün denklemden EKKY ile tahmini sınırlandırılmış EKKY adını alır. b 3’ü bu yöntemle bulduktan sonra b 2 =1 -b 3’den b 2’yi bulabiliriz. Üretim fonksiyonu için yani sınırlandırılmış EKKY tahmin sonuçları şöyledir: 19 Şimdi formül uygulanabilir,

%5 ve %10 önem düzeyinde, Fhes=72. 253 > Ftab=4. 75 H 0 reddedilir. Yani sabit verimlilik reddedilir. Yani ilgili dönemde 4. Aşama: değeri %5 ve %10 anlamlılık seviyesinde 3. 088129’un 1’den farklı olduğu kabul edilir. Buradan, istatistik testlerden anlamlılık seviyesinin tespitinin, testi gerçekleştirmeden önce yapılması gerektiği sonucu çıkmaktadır. Sınırlı EKKY tahminlerinden olacaktır. bulunduğuna göre 20

Yapısal Kararlılığın Sınanması 21 21. -30. slaytlar arası http: //yalta. etu. edu. tr/econometrics-lecture-notes. html sayfasından alınmıştır.

Yapısal Kararlılığın Sınanması 22 21. -30. slaytlar arası http: //yalta. etu. edu. tr/econometrics-lecture-notes. html sayfasından alınmıştır.

Yapısal Kararlılığın Sınanması 23 21. -30. slaytlar arası http: //yalta. etu. edu. tr/econometrics-lecture-notes. html sayfasından alınmıştır.

Yapısal Kararlılığın Sınanması 24 21. -30. slaytlar arası http: //yalta. etu. edu. tr/econometrics-lecture-notes. html sayfasından alınmıştır.

Yapısal Kararlılığın Sınanması 25 21. -30. slaytlar arası http: //yalta. etu. edu. tr/econometrics-lecture-notes. html sayfasından alınmıştır.

Yapısal Kararlılığın Sınanması 26 21. -30. slaytlar arası http: //yalta. etu. edu. tr/econometrics-lecture-notes. html sayfasından alınmıştır.

Chow Sınaması 27 21. -30. slaytlar arası http: //yalta. etu. edu. tr/econometrics-lecture-notes. html sayfasından alınmıştır.

Chow Sınaması Verilen varsayımlar altında Chow sınaması şöyle yapılır. ►Birinci modelden sd’si (n 1 –k) olan HKT 1 bulunur. ► İkinci modelden sd’si (n 2 –k) olan HKT 2 bulunur. ►İki bağlanıma ait hata terimleri bağımsız kabul edildiği için, HKTU=HKT 1+HKT 2 olarak hesaplanır. ►Tüm gözlemlerin kullanıldığı 3. model tahmin edilir ve HKT 3 yada HKTR bulunur. ►Yapısal değişim yoksa HKTR ve HKTU istatistiksel olarak farklı olmamalıdır. Sınırlamalar için şu istatistik kullanılır. 28 21. -30. slaytlar arası http: //yalta. etu. edu. tr/econometrics-lecture-notes. html sayfasından alınmıştır.

Chow Sınaması 29 21. -30. slaytlar arası http: //yalta. etu. edu. tr/econometrics-lecture-notes. html sayfasından alınmıştır.

Chow Sınaması 30 21. -30. slaytlar arası http: //yalta. etu. edu. tr/econometrics-lecture-notes. html sayfasından alınmıştır.

Regresyon Modelinin Fonksiyonel Biçiminin Test Edilmesi (MWD) Bir doğ-doğ regresyon modeli ile log-log regresyon modelinden hangisinin tercih edileceğine karar vermek için MWD testini kullanabiliriz. (1) (2) H 0: Doğ-doğ model geçerlidir H 1: Log-log model geçerlidir. 31

1. ADIM: 1 nolu model (doğ-doğ) model tahmin edilir. 2. ADIM: 2 nolu model (log-log) model tahmin edilir. 3. ADIM: 1. adımdaki değerlerinin log. 4. ADIM: 4. adımda elde edilen Z değişkeni 1 nolu modeldeki doğrusal regresyon modeline bağımsız değişken olarak eklenir. 5. ADIM: Z değişkeninin katsayı tahmini istatistiksel olarak anlamlı ise H 0 red edilir. 32

UYGULAMA: İzmir ilinde 1971(II)-1975(II) üçer aylık dönemlerinde onikişer adetlik demet gül talebi incelenmiştir. Demet gül talebi Y bağımlı değişken, bir demet gülün fiyatı X 2 ve ikame mal olarak da bir demet karanfilin fiyatıX 3 bağımsız değişken olarak modele alınmıştır. Bu model hem doğ-doğ hem de log-log model olarak tahmin edilmiştir. Hangi model tercih edilmelidir? Doğ-doğ model: R 2 = 0. 776 Log-log model: R 2 = 0. 7292 33

Zi değişkeni ile birlikte tahmin edilen doğrusal model R 2 = 0. 7707 H 0: Doğ-doğ model geçerlidir H 1: Log-log model geçerlidir. ttab = tn-k = t 13, =0. 05 = 2. 160 thes < ttab H 0 reddedilemez. 34

UYGULAMA: Bir ekonomideki para talebi modelinde MD = Talep edilen para miktarı, Y = Milli Gelir, L = (para dışındaki) likit Akifler stoku( tasarruflar, vadeli mevduat gibi) değişkenleri yer almaktadır. Ø 1960 -1997 dönemi verileri ile bir ülke için şu tahmin edilmiştir. Ø Daha sonra bu değişkenlerle tam logaritmik model oluşturulmuştur. ØDoğrusal modelin doğru model olduğu hipotezini test etmek için aşağıdaki model kurulmuştur. Gerekli hipotezleri kurup %5 önem seviyesinde hangi modelin tercih edileceğini söyleyiniz. 35

UYGULAM: 1. Adım: H 0 : Dog-dog model geçerlidir. H 1: Log-log model geçerlidir. 2. Adım: z değişkeninin t değeri 3. Adım: ttab = t 38 -5=33 , =0. 05 = 2. 042 4. Adım: thes > ttab H 0 reddedilir. Log-log model geçerlidir 36

DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR Bazı durumlarda sınırlamaların yapısı doğrusal olmaz. Bu durumda doğrusal sınırlamalardan farklı olarak modellerin tahmininde problemlerle karşılaşılır. Parametreler klasik en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilemeyebilirler. Regresyon modelinin, olduğunu ve katsayılar ile ilgili sınırlamanın olduğunu varsayalım. Bu durumda, 37

olacağı model, olacaktır. Bu model doğrusal olmayan bir modeldir. Model parametreleri, en küçük kareler veya farklı bir yöntemle tahmin edilecektir. 38

DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALARIN TESTİ Gerçekte doğrusal olmayan modeller için söz konusu olan doğrusal olmayan sınırlamalar için kullanılacak testlerde, bu tür modellerin tahmincilerinin dağılımı normal dağılım olmadığından farklı olacaktır. Sınırlamalar için Benzerlik Oranı testi (LR), Wald testi (W) ve Lagrange Çarpanı testi (LM) kullanılır. Bu testler sadece doğrusal olmayan sınırlamalar için geçerli olmayıp, doğrusal sınırlamalar için de geçerlidir. Ancak doğrusal sınırlamalar için açıklanan testlerin gerçekte doğrusal olmayan modeller için kullanılması söz konusu değildir. 39

BENZERLİK ORANI TESTİ Benzerlik oranı testi için adından da anlaşılacağı gibi benzerlik fonksiyonu kullanılır. Test için sınırlandırılmış modelin tahmini de yapılır ve logaritmik benzerlik fonksiyonunu eğiminin sıfır veya sıfırdan farklı olması durumuna göre sınırlamaların geçerli olup olmayacağına karar verilir. Sınırlandırılmış fonksiyonunu L R, modelin sınırlandırılmamış logaritmik benzerlik modelin logaritmik benzerlik fonksiyonu LU ile ifade edersek test istatistiği, olarak hesaplanır. LR test istatistiğinin dağılımı c serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. c sınırlama sayısıdır. Temel hipotez sınırlamaların geçerli olduğunu, alternatif hipotez ise 40 sınırlamaların geçerli olmadığını ifade eder.

LR test istatistiği hata payı ve c serbestlik derecesi ile ki -kare tablosundan bulunacak değer ile karşılaştırılır. LR tablo değerinden büyükse H 0 hipotezi reddedilir, sınırlamalar geçersizdir. Aksi söz konusu ise sınırlamalar geçerlidir. LR test istatistiği sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modellerin artıklarının karelerinin toplamı ile veya sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modellerin belirlilik katsayısı ile, olarak da hesaplanabilir. 41

LAGRANGE ÇARPANI TESTİ Bu test Lagrange fonksiyonuna ve sınırlandırılmış modelin tahminine dayanarak yapılır. Büyük örnekler için olarak hesaplanır ve test istatistiğinin dağılımı c (sınırlama sayısı) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. LM test istatistiği R 2 değerleri ile, hesaplanabilir. Doğrusal sınırlamalar söz konusu olduğunda test istatistiği, 42

olarak hesaplanabilir. Hipotezler ve hipotezin kabul kararı benzerlik oranı testinde açıklandığı gibidir. LM testi F testi gibi bağımsız değişken katsayılarının tümünün anlamlılığını test etmek için kullanılabilir. Bu durumda test istatistiği sınırlandırılmamış modelin belirlilik katsayısı kullanılarak hesaplanır. LM test istatistiğinin dağılımı test edilen parametre sayılı (k-1) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. 43

WALD TESTİ Testte, sınırlandırılmamış modelden tahmin edilen varyans kullanıldığından sınırlandırılmamış modelin tahminini gerektirir. Birden fazla sınırlama test edilebilir. Sınırlama sayısı c ile ifade edilebilir. Wald test istatistiği, olarak hesaplanır. Wald test istatistiği R 2 değerleri ile, hesaplanır. 44

Sınırlama sayısı c=1 olduğundan ki-kare tablosunda 1 serbestlik derecesi ile tablo değeri bulunarak benzerlik oranı testinde olduğu gibi karar verilir. Aynı modelde aynı kısıtlamalar için Lagrange çarpanı, Benzerlik oranı ve Wald testleri hesaplandığında, ilişkisi görülür. 45

Uygulama: Mayıs 2001 -Mart 2010 dönemi için faiz oranları (FAİZ), enflasyon açığı (EACIK), üretim açığı (URETİMACIK), bir dönem önceki faiz oranı (GFAİZ) ve döviz kuru açığı (DKACIK) değişkenleriyle model tahmin edilmiştir. Daha sonra döviz kuru açığının yer almadığı modeli ele alarak sınırlama testlerinden F, LR, LM ve W testleri ile hangi model ile çalışılacaktır. 46

Yt=β 1+β 2 GFAİZ β 3 DKAÇIK+β 4 EAÇIK+β 5ÜRETİMAÇIK+ut Sınırlandırılmamış model: = 0. 995498 47

Sınırlandırılmış model: = 0. 994842 48

1. F TESTİ ÖRNEĞİ 1. aşama: H 0: Sınırlamalar geçerlidir. ( H 1: Sınırlamalar geçersizdir. ( ) ) 2. aşama: f 1: c= 1 , f 2: n-k= 106 -5=101 Ftab=6, 85 3. aşama: 49

4. aşama: Fhes = 14. 7170 > Ftab = 6. 85 H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır. 50

2. BENZERLİK ORANI TESTİ ÖRNEĞİ 1. aşama: H 0: Sınırlamalar geçerlidir. ( H 1: Sınırlamalar geçersizdir. ( ) ) 2. aşama: c=1 3. aşama: 51

4. aşama: LR=14. 42 > H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır. veya > H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. 52

3. LAGRANGE ÇARPANI TESTİ ÖRNEĞİ 1. aşama: H 0: Sınırlamalar geçerlidir. ( H 1: Sınırlamalar geçersizdir. ( ) ) 2. aşama: c=1 3. aşama: 53

4. aşama LM=13. 483 > H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. veya > H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır. 54

WALD TESTİ ÖRNEĞİ 1. aşama: H 0: Sınırlamalar geçerlidir. ( H 1: Sınırlamalar geçersizdir. ( ) ) 2. aşama: c=1 3. aşama: 55

W=15. 449 > H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. veya > H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır. 56

LM=13. 483 LR=14. 42 W=15. 449 LM LR W 57

Yt=β 1+β 2 GFAİZ β 3 DKAÇIK+β 4 EAÇIK+β 5ÜRETİMAÇIK+ut Sınırlandırılmamış model: = 0. 995498 58

Sınırlandırılmış model: =0. 994597 59

4. WALD TESTİ ÖRNEĞİ 1. aşama: H 0: Sınırlamalar geçerlidir. ( H 1: Sınırlamalar geçersizdir. ( ) ) 2. aşama: c=2 3. aşama: 60

W=15. 449 > H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. veya W=15. 449 > H 0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır. 61