E E Dona Antnia Valadares MATEMTICA ENSINO MDIO

E. E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 1º ANO PROGRESSÕES (SEQUÊNCIAS OU SUCESSÕES) PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (P. A. ) PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P. G. ) PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

OBSERVEM: (janeiro, fevereiro, dezembro) março, . . . , (30, 32, 34, 36, . . . , 56, 58, 60) (2, 6, 18, 54. . . ) (50, 45, 40, 35, 30. . . ) (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19. . . ) PERCEBERAM ALGO ESPECIAL? HÁ ALGUMA ORDEM OU SEGUIMENTO DE PADRÃO? Prof: Alexsandro de Sousa

SEQUÊNCIAS Quando determinados elementos de um conjunto são dispostos em certa ordem seguindo um padrão, dizemos que esses elemento formam uma SEQUÊNCIA ou SUCESSSÃO. (cujo domínio é o conjunto dos números naturais). Ex. dias da semana, meses do ano, figuras semelhantes. Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Exemplos: Sequência dos números de casas numa rua; Sequência das operações numa linha de montagem; Sequência do crescimento dos galhos de diversas espécies de plantas. Conjunto dos números pares, dos múltiplos de 7. A sequência dos números de dias dos 12 meses de um ano bissexto Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Veja os elementos da sucessão ou sequência. Numa sequência, duas coisas são importantes: ü Os termos que a compõem; ü A ordem em que eles aparecem, a partir de um critério pré-estabelecido; (jan, fev, mar abr, mai, jun, jul, ago, set, out, nov, dez) ü Cada mês é um termo da sequência; ü O critério ordem identifica qual é o primeiro termo, o segundo, o terceiro, . . . , o décimo segundo; ü Na representação de uma sucessão, os termos aparecem entre parênteses, ordenados e separados por vírgulas. Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Sequências numéricas • Vamos dar ênfase às sequências numéricas. • São aquelas cujos termos são números reais. Uma sequência pode ser finita e infinita. ü A sequência (18, 15, 11) é uma sequência numérica finita. Ela tem último termo (o terceiro). ü A sequência (0, 2, 4, 6, 8, . . . ) dos números naturais pares é uma sequência infinita. Não existe o maior número natural par. Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Sequências - representação De modo geral os termos consecutivos de uma sequência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice. ü a 1 → primeiro termo ü a 2 → segundo termo ü a 3 → terceiro termo O índice indica a posição do elemento na seqüência. ü a 4 → quarto termo. . . . . ü an → enésimo termo ou termo geral ü (a 1, a 2, a 3, a 4, . . . , an) representa uma secessão finita ü (a 1, a 2, a 3, a 4, . . . an, . . . ) representa uma secessão infinita Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Exemplo • Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . ) dos números naturais ímpares, temos: a 1 = 1 a 3 = 5 a 6 = 11 Prof: Alexsandro de Sousa

Termo geral Certas sucessões numéricas são definidas pelo seu termo geral an. Exemplo: O termo geral de uma sucessão é a = n 2 + 2 n. Obter os n termos a 2 e a 7. Mostrar que 48 é um de seus termos e identificar a posição. Em an = n 2 + 2 n, vamos fazer n = 2 e n = 7. n = 2 ⇒ a 2 = 22 + 2. 2 n = 7 ⇒ a 7 = 72 + 2. 7 a 2 = 4 + 4 = 8 a 7 = 49 + 14 = 63 Fazendo an = 48, n 2 + 2 n = 48 n 2 + 2 n – 48 = 0 ⇒ n’ = – 8 (F) ⇒ n” = 6 48 é o sexto termo. ⇒ a 6 = 48. Prof: Alexsandro de Sousa

PROGRESSÃO ARITMÉTICA P. A. Prof: Alexsandro de Sousa

Observe as sequências numéricas: (2, 4, 6, (12, 8, . . . ) 9, 6, (5, 3, . . . ) 5, 5, . . . ) Essas sequências foram construídas de forma que cada termo (número), a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante. Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Observe a construção da primeira sequência: Escolhemos um número para ser o primeiro termo da sequência: 2 Adicionamos a ele um número qualquer e obtemos o segundo termo: Para obter os demais termos, vamos adicionando algebricamente sempre o mesmo valor ao número anterior: Prof: Alexsandro de Sousa +2

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Sequências desse tipo, nas quais cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante, são chamadas de Progressões Aritméticas Essa constante, que indicaremos por r, é denominada razão da P. A. Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Assim na progressão aritmética, (2, 4, 6, 8, . . . ) temos r = 2 e a P. A. é dita crescente. (12, 9, 6, 3, . . . ) temos r = -3 e a P. A. é dita decrescente. (5, 5, . . . ) temos r = 0 e a P. A. é dita constante. Prof: Alexsandro de Sousa

→ ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, . . . ) → ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, . . . ) → ( 5, 5, . . . ) → ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, . . . ) razão = 4 razão = 9 razão = 0 razão = -10 Podemos Classificar a PA das seguintes maneiras: • Se r > 0 => PA é crescente • Se r = 0 => PA é constante • Se r < 0 => PA é decrescente Prof: Alexsandro de Sousa

Notação PA (a 1, a 2, a 3, a 4, . . , an) Onde: • a 1 = primeiro termo • r = razão • n = número de termos (se for uma PA finita ) • an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25) a 1 = 5 r = 4 n = 6 an = a 6 = 25 Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Termo Geral da Progressão Aritmética Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer de uma Progressão Aritmética (PA), conhecendo apenas o primeiro e a razão. Seja a 1 o primeiro termo e r a razão da P. A. O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a razão: O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a razão: O valor do quarto termo será o terceiro mais a razão: Prof: Alexsandro de Sousa

1º termo: a 1 2º termo: a 2 = a 1 + r 3º termo: a 3 = a 2 + r Como: a 2 = a 1 + r tem-se que : a 3 = a 1 + r logo, a 3 = a 1 + 2 r 4º termo: a 4 = a 3 + r Como a 3 = a 1 + 2 r a 4 = a 1 + 2 r + r 1º termo: a 1 2º termo: a 2 = a 1 + r 3º termo: a 3 = a 1 + 2 r 4º termo: a 4 = a 1 + 3 r 5º termo: a 5 = a 1 + 4 r Prof: Alexsandro de Sousa logo temos que : a 4 = a 1 + 3 r Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma PA pode ser expresso da seguinte forma: an = a 1 + (n – 1). r

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Generalizando, o termo geral de uma PA: an = a 1 + (n – 1). r Onde: Razão Número de Termos Primeiro Termo Geral ou último Termo Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 1) Sendo a 1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo. Como queremos o décimo termo temos que n = 10. Substituindo na fórmula do termo geral teremos: an = a 1 + (n – 1). r a 1 = 3 a 10 =3 + (10– 1). (-2) n = 10 a 10 = 3 + 9. (-2) r=-2 a 10 = ? a 10 = 3 - 18 a 10 = - 15 Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 2) Determine o primeiro termo de uma P. A. de razão 3 e 200 termo igual a 30. Aplicando na fórmula temos: an = a 1 + (n – 1). r 30 = a 1 + (20– 1). 3 a 1 = ? 30 = a 1 + 19. 3 n = 20 30 = a 1 + 57 r=3 a 20 = 30 a 1 = - 27 Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 3) Calcule a razão da P. A. sabendo que a 1 = 5 e a 14 = - 21. Substituindo os valores na fórmula temos: - 21 = 5 + (14 – 1). r an = a 1 + (n – 1). r - 21 = 5 + 13. r a 1 = 5 - 21 – 5 = 13. r n = 14 - 26 = 13. r r=? a 14 = - 21 r=-2 Prof: Alexsandro de Sousa

4) Calcule o número de termos da P. A. finita: (50, 47, 44, . . . , 14). Primeiro calculamos a razão: an = a 1 + (n – 1). r r = 47– 50 r = -3 a 1 = 50 14 = 50 + (n – 1). (-3) n=? 14 – 50 = (n -1). (-3) r=-3 an = 14 -36 = (n – 1). (-3) n - 1 = -36 / (-3) 12 = n - 1 Logo, n = 13 Prof: Alexsandro de Sousa

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA Observe a P. A. finita: Notamos que a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Prof: Alexsandro de Sousa

Então: em que: * a 1 é o primeiro termo; * an é o enésimo termo; * n é o número de termos; * Sn é a soma dos n termos. Prof: Alexsandro de Sousa

1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P. A. (2, 6, . . ). Nessa P. A. infinita, os 50 primeiros termos a 1 = 2, r = 4 e n= 50 Devemos calcular an ou seja a 50: an = a 1 + (n – 1). r a 50 = 2 + 49. 4 = 2 + 196 = 198 Aplicando a fórmula da soma temos: Logo, S 50 = 5000 Prof: Alexsandro de Sousa

2) Em relação a sequência dos números naturais ímpares, vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos. A seqüência é (1, 3, 5, 7, . . . ) com r = 2. Calculando a 20 temos: an = a 1 + (n – 1). r a 20 = 1 + 19. 2 = 1 + 38 Então, a 20 = 39 Assim: Logo, S 20 = 400 Prof: Alexsandro de Sousa

VEJAMOS UMA CURIOSIDADE ENVOLVENDO FUNÇÕES AFIM E PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (P. A. ) Considere a P. A. ( 5, 8, 11, 14, 17, . . . ) de razão 3 e a 1 = 5 an = a 1 + (n – 1). r an = 5 + (n – 1). 3 Assim podemos associar a P. A. dada com a Função Afim F(x) = 3 n + an = 5 + 3 n - 3 2 considerando o n a posição de an = 3 n + 5 - 3 cada elemento da P. A. dada, sendo an = 3 n + 2 Prof: Alexsandro de Sousa n uma número natural e diferente de zero.

GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM F(n) = 3 n + 2 Como n é a posição de cada elemento da P. A. (5, 8, 11, 14, 17, . . . ), temos: F(n) = 3. n + 2 F(n) an n=1 F(1) = 3. 1 + 2 F(1) = 5 n=2 F(2) = 3. 2 + 2 F(2) = 8 n=3 F(3) = 3. 3 + 2 F(3) = 11 n=4 F(4) = 3. 4 + 2 F(4) = 14 n=5 F(5) = 3. 5 + 2 F(5) = 17 TEMOS O SEGUINTE GRÁFICO: Prof: Alexsandro de Sousa F(n) = 3 n +2 17 14 11 8 5 1 2 3 4 5. . . n

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA P. G. Prof: Alexsandro de Sousa

OBSERVE AS SEQUÊNCIAS: (2, 4, 8, 16, . . ) (-2, -6, -18, . . . ) (-72, 24, -8, . . . ) (5, 5, 5, . . . ) Essas sequências foram construídas de forma que cada termo, a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante Sequências desse tipo são chamadas de progressões geométricas, P. G. Essa constante , que indicaremos por q, é denominada razão da progressão geométrica. Prof: Alexsandro de Sousa

Dada a sequência: (a 1, a 2, a 3, ……. , an ) Prof: Alexsandro de Sousa

Assim na progressão geométrica: (2, 4, 8, 16, . . ) temos q = 2 e a P. G. é crescente. (-2, -6, -18, . . ) temos q = 3 e a P. G. é decrescente. (-72, 24, -8, . . . ) temos q = e a P. G é alternante. (5, 5, . . ) temos q = 1 e a P. G. é constante. Prof: Alexsandro de Sousa

→ (5, 10, 20, 40, 80. . . ) razão = 2 → (8, 8, . . . ) razão = 1 → (27, 9, 3, 1/9, . . . ) razão = 1/3 → (2, -6, 18, -54, 162, . . . ) razão = -3 Podemos Classificar a PG das seguintes maneiras: Se r > 1 => Se r = 1 => Se 0 < r < 1 => Se r < 1 => Prof: Alexsandro de Sousa PG é crescente PG é constante PG é decrescente PG é alternante

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Seja (a 1, a 2, a 3, . . . , an) uma P. G. de razão q. Temos: 1º termo: a 1 2º termo: a 2 = a 1. q 3º termo: a 3 = a 2. q como, a 3 = a 1. q. q a 3 = a 1. q 2 4º termo: a 4 = a 3. q como, a 4 = a 1. q 2. q a 4 = a 1. q 3 5º termo: a 2 = a 1. q 4 6º termo: a 2 = a 1. q 5 Prof: Alexsandro de Sousa an = a 1. qn-1

an = a 1 n-1 . q Onde: an = termo geral; a 1 = 1 o termo da sequência; n = no de termos da PG (até an); q = razão. Prof: Alexsandro de Sousa

1) Determine o décimo termo da P. G. (1, 3, 9, . . ) Sabemos que a 1 = 1 , q = 3 e n = 10 Assim, substituindo na fórmula podemos escrever: an = a 1. qn-1 a 10 = 1. 310 -1 a 10 = 1. 39, portanto a 10 = 19683 Prof: Alexsandro de Sousa

2) Numa P. G. o 40 termo é igual 64 e o 10 termo é igual a 1. Determine a razão da P. G. e, em seguida, obtenha seu 80 termo. Como a 4 = a 1. q 3, temos: 64 = 1. q 3 Logo, q 3 = 64 então q = 4. Usando novamente a fórmula do termo geral, vamos determinar o 80 termo: an = a 1. qn-1 a 8 = a 1. q 7 a 8 = 1. 47 a 8 = 16 384 Prof: Alexsandro de Sousa

Soma dos n primeiros termos de uma P. G. Para calcularmos a soma, usaremos a seguinte fórmula: Prof: Alexsandro de Sousa

1) Calcule a soma dos cinqüenta primeiros termos de (3, 6, 12, . . . ). Substituindo na fórmula, temos: S 50 = 3. (250 – 1) Prof: Alexsandro de Sousa

2) Quantos termos da P. G. (2, 6, 18, . . . ) devem ser considerados para que a soma resulte em 19682? Substituindo na fórmula, temos: 3 n – 1 = 19682 3 n = 19 683 Logo, n = 9 Prof: Alexsandro de Sousa 3 n = 39

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA PG an an = a 1. qn-1 a 4 a 3 a 2 a 1 n 0 1 Prof: Alexsandro de Sousa 2 3 4

COMPARAÇÃO DOS GRÁFICOS DE PA E PG Thomas Malthus “A produção de alimentos cresce em progressão aritmética enquanto a população cresce em progressão geométrica”. Conclusão: Fome Mundial Prof: Alexsandro de Sousa

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