Cours Mcanique Quantique Formulation de Dirac de la

Cours : Mécanique Quantique Formulation de Dirac de la mécanique quantique (Amphi 4) Ahmed Dhouib

Rappel sur les postulats Postulat 1 : Etat quantique Ψ vecteur de l’espace de Hilbert E des fonctions de carré sommable représenté par une fonction à valeur complexe Produit scalaire ↔ Probabilité de transition P (Ψ →Φ) = |(Ψ , Φ)|2 Postulat 2 : Mesure, observable Grandeur physique A ↔ Opérateur auto-adjoint (observable) Valeurs propres de ↔résultats de la mesure de A, Vecteurs propres de ↔états quantiques correspondants à ces mesures. Valeur moyenne de A dans l’état Ψ : <A> = ( Ψ, Ψ) Postulat 3 : Évolution temporelle H est l’observable associée à l’énergie totale contenue dans le système. ^ i ħ ∂Ψ =H Ψ Eq. de Schrödinger ∂t −i Mécanique classique : {, } → Mécanique quantique − [ , ] ^ ħ

Formulation de Dirac Préambule Choisir une représentation, c’est se donner une base orthonormée complète (discrète ou continue) suivant laquelle se décompose chaque fonction de H ^ ^ Ainsi une meme fonction peut etre représentée par plusieurs ensembles de coordonnées ( Ψ(x), Ψ(p), …. . ). Pour s’affrachir de la base, on peut comme en géométrie euclidienne, représenter l’état quantique de la particule par un vecteur appartenant à un espace vectoriel E qu’on appele espace des états de H la particule et qu’on peut confondre avec . Dirac a développé ce formalisme qui est largement utilisé en mécanique quantique, nous allons dans la suite de cet exposé en donner les principaux éléments.

1) Définitions. Un vecteur quelconque de l’espace des états E, est appelé vecteur-ket ou plus simplement ket. On le note par le symbole , en mettant à l’intérieur un signe distinctif permettant de le différencier des autres états. Par exemple, si le ket est associé à un état décrit pas une fonction Ψ(r), on pourra le noter : : ket psi Les fonctions que l’on manipulait en mécanique étaient complexes. On admettra qu’il existe un espace dual, E*, de l’espace des états dont les vecteurs d’états peuvent être associés aux fonctions complexes conjuguées des fonctions associées aux vecteurs d’état de E. A tout vecteur-ket de E, correspond un vecteur dans l’espace dual E* que l’on nomme vecteur-bra ou bra. : bra psi NB : En anglais, bracket signifie crochet.

Représentation d’un ket : Dans la base des |ui> le ket |y> est représenté par ses composantes ci Le ket est représenté par le vecteur colonne des coefficients Cette notation implique la base est clairement définie. Au même ket correspondent des représentations différentes dans différentes bases.

Représentation d’un bra : Dans l’espace dual, le bra associé au ket précédent, dans la base des bras <ui| s’écrit : Le bra est représenté par le vecteur ligne des coefficients: Cette notation implique la base est clairement définie. Au même bra correspondent des représentations différentes dans différentes bases.

Quelques propriétés : -Si est un complexe et | > un ket de E, alors | > est également un ket de E que l’on peut noter | >. -Le bra associé à | > est * < | où * est le complexe conjugué de . on peut le noter < |. Attention, on a donc < | = * < | Produit scalaire : Le produit scalaire de deux kets | > et | > est noté < | > On a les propriétés suivantes < | > = < | >* < | 1 1 + 2 2 > = 1 < | 1 + 2 < | 2 > < 1 1 + 2 2 | > = 1*< 1 | + 2*< 2 | >

Les règles de conjugaison: Les règles sont simples : Prenons un exemple: soit à écrire le conjugué de l’expression suivante Donc il s’agit de calculer :

2) Les bases de l’Espace des Etats E. Un ket, représentant l’état d’un système physique, a une existence propre. Cependant, pour faire des calculs il est nécessaire de le représenter dans une base. Autrement dit, on doit définir ses coordonnées c’est-à-dire ses composantes. Rappel : Vous êtes tous habitués à faire ceci pour l’espace vectoriel Dans cet espace à 3 dimensions, nous définissons 3 vecteurs de base tel que :

Globalement nous allons retrouver ces propriétés dans l’espace des états E de la Mécanique Quantique. On peut cependant définir deux types de bases : ) Bases discrètes. Ces bases sont formées de N vecteurs orthonormés. Ces relations simples nous permettent de définir une relation importante : La relation de Fermeture définissant une base.

Opérateur Unité. ) Bases continues. Pour les besoins de la Physique, il est indispensable de définir des bases continues : On remplace les sommes sur les indices discrets (i) par des intégrales sur une variable continue que l’on appelle

On peut également définir une Relation de Fermeture :

Base discrète et base continue : Lorsque les états sont quantifiés, on a une base discrète d’états, et on doit utiliser le signe somme, comme dans les relations précédentes. Lorsque les états ne sont pas quantifiés, on a une base continue, et on doit utiliser le signe intégral. < ui | uj >=dij < wa | wb >=d(a-b) Delta de Dirac Base discrète Base continue Attention, une base discrète peut être de dimension infinie (N= )!

3) Opérateurs: a- Représentation Nous avons vu comment représenter les kets et les bras de l’espace des états, en utilisant des bases discrètes ou continues. Il est facile donc de voir que pour représenter un opérateur quelconque, agissant dans E, il suffit de représenter le ket : Soit : Mais chacun des nombres, peuvent être exprimés comme :

Finalement : En conclusion, dans une base donnée : , un opérateur sera représenté par une matrice Nx. N , dont les éléments de matrice s’écrivent : Les matrices Nx. N représentant les opérateurs hermitiques ont des caractéristiques qu’il est indispensable de connaître.

Si est un opérateur hermitique nous avons : Si un opérateur est hermitique, la matrice le représentant présente des éléments symétriques par rapport à la diagonale qui sont complexes conjugués les uns des autres. De même sur la diagonale, les éléments de matrice sont nécessairement réels. Exemple d’observable : NB: une matrice réelle symétrique non nulle est toujours une observable

b- Application successive de deux opérateurs : Soient A et B deux opérateurs représentés dans la base des |ui>. L’action de A puis de B est représenté par la matrice dont les éléments sont : < ui|BA| uj> On peut insérer la relation de fermeture de la base |ui>. 1 C’est la formule usuelle du produit de matrices

c- Propriétés importantes des vecteurs propres d’un opérateur. Considérons le ket suivant : S’écrivant : , combinaison linéaire de deux vecteurs propres d’un même opérateur La question est la suivante : le ket est-il vecteur propre de ? La réponse est Non sauf si k=k’

Le résultat précédent a des conséquences importantes. En effet, nous pouvons construire un ket en effectuant une superposition linéaire de tous les g kets associés à la même valeur propre k. k Démontrons qu’un tel état reste vecteur propre de l’opérateur On considère Ce ket appartient au sous-espace associée à la valeur propre k de dimension gk Il est encore vecteur propre de l’opérateur avec la même valeur propre k , en effet :

Une conséquence importante est la suivante : L’ensemble des vecteurs propres associés à la même valeur propre, d’un opérateur quelconque, forment une base possible du sous-espace vectoriel Ek de dimension gk associée à cette valeur propre k Mathématiquement, nous traduirons cette conséquence par : On démontre que cette propriété se généralise à tout l’espace des états E dans le cas d’une observable Les vecteurs propres d’une observable doivent pouvoir former une base possible de l’espace des états E. Définition d’une observable.

d- Etude du cas spécifique des opérateurs hermitiques. Les valeurs propres d’un opérateur hermitique sont nécessairement réelles. Le nombre de vecteurs propres d’un opérateur hermitique est nécessairement identique à la dimension de l’espace des états. . deux vecteurs propres quelconques d’une observable sont nécessairement orthogonaux :

e- Matrice représentant une observable dans la base formée par ses vecteurs propres. Si nous utilisons la base formée par les vecteurs propres d’une observable, il est très facile de mettre en évidence un résultat classique. Il suffit pour cela de calculer les éléments de matrice de cette observable . La matrice représentant une observable est diagonale dans la base formée par ses vecteurs propres.

f- Méthodes de Recherche des Valeurs Propres et Vecteurs Propres d’une observable. Supposons que l’on utilise une base quelconque (mais discrète) de l’espace des états. Soit cette base. Dans cette base les éléments de matrice de l’observable s’écrivent : Les équations aux valeurs propres de s’écrivent :

Nous utilisons la relation de Fermeture Nous aurons donc à résoudre toujours un système de N équation à N inconnues. Les solutions générales sont donc les solutions données par :

4) Des opérateurs très particuliers : Les projecteurs. En notation de Dirac, le produit scalaire est représenté comme le produit d’un bra et d’un ket, soit , c’est un nombre. On peut s’interroger sur la signification physique du produit d’un ket par un bra, tel: Cette expression est nécessairement un opérateur linéaire agissant dans E. En effet faisons « agir » cette expression sur un ket quelconque appartenant à E. On obtient finalement un opérateur dont les éléments de matrice sont : Aij=ai bj* Représente une matrice dont tous les éléments sont nuls sauf celui de la ligne i, colonne j, qui vaut 1.

Cet opérateur n’est cependant pas hermitique car : Il existe une exception. Soit l’opérateur : On a projeté le ket ‘ ’ sur le ket ‘ ’ Opérateur « Projecteur » On retrouve la propriété des projecteurs : =

Pour calculer les composantes, on utilise donc un opérateur de projection, Pi : = |ui> <ui | qui permet de calculer i : Pi | > = 1 |ui> <ui | u 1> +…. . + i |ui> <ui |ui> +…. . + N |ui> <ui |u. N> 0 Pi | > = i |ui> 0 1 0 0

Si l’on additionne tous les opérateurs projections, on doit retrouver toutes les composantes du vecteur | > On a donc: Opérateur identité (ne fait rien) Relation de fermeture Signifie que la base est complète (suffisante pour bien décrire | >)

Récapitulatif Ket |> Bra <| Opérateur A = AB=C < | > = scalaire = = | > < | = opérateur

Formulation de Dirac appliquée à la MQ (quelques exemples) 1/Grandeur physique/ Observable/probabilité Nous devons envisager plusieurs situations : a) Cas où le spectre des valeurs propres de l’opérateur est discret et non- dégénéré Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système dans l’état normé, la probabilité P( n) d’obtenir comme résultat de la mesure la valeur propre non-dégénérée n de l’observable correspondante est : où un est le vecteur propre normé de associé à la valeur propre n.

b) Cas où le spectre des valeurs propres est discret et dégénéré. Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système dans l’état normé, la probabilité P( n) d’obtenir comme résultat de la mesure la valeur propre dégénérée n de l’observable correspondante est : où gn est le degré de dégénérescence de la valeur propre n et l’ensemble des kets u n forme une base orthonormée du sous-espace propre E n , associé à la valeur propre n. c) Cas où le spectre des valeurs propres est continu et non- dégénéré. Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système dans l’état normé, la probabilité d. P( ) d’obtenir comme résultat de la mesure la valeur propre comprise entre et +d s’écrit : où v est le vecteur propre correspondant à la valeur propre de l’observable associée à A

2 -Etat du système après mesure (dit de réduction du paquet d’ondes) Si la mesure de la grandeur physique A sur le système dans l’état a donné le résultat n, l’état du système immédiatement après la mesure est la projection normée : Sur le sous-espace associé à n et où : On peut écrire :

3 - L’équation de Schrödinger L’évolution dans le temps d’un vecteur d’état (t) est donnée par l’équation de Schrödinger : où est l’observable associée à l’énergie totale du système. Les conséquences de ce postulat sont très importantes pour la suite. a) Conservation de la norme d’un ket.

b) Le Théorème d’Ehrenfest. On considère la valeur moyenne, dans le temps, d’une observable qui ne dépend pas explicitement du temps. Calculons :

Ainsi, lorsqu’une observable commute avec l’observable hamiltonienne du système, on dira que représente une grandeur A qui est une constante du mouvement. Les vecteurs propres d’une observable associée à une constant du mouvement sont eux-mêmes indépendants du temps. Ainsi, si on considère un système physique isolé dont l’énergie est nécessairement constante, les vecteurs propres de l’hamiltonien du système sont indépendants du temps : ce sont des états stationnaires. Ces états propres doivent continuer à pouvoir fournir une base de l’espace des états. Si au temps t=0, on a par exemple. A l’instant t on aura

Si au temps t=0, le système se trouve dans un des états alors : Il restera dans cet état quelque soit le temps.

4 : Les Ensembles Complets d’Observables qui Commutent. (E. C. O. C. ) a) Théorèmes généraux sur les opérateurs et observables qui commutent. Si deux observables commutent, on peut toujours constituer une nouvelle base orthonormée de l’espace des états en utilisant l’ensemble des vecteurs propres commun à. b) La définition d’un ECOC. On dira qu’un ensemble d’observables qui commutent est complet dès l’instant où l’ensemble des valeurs propres associées à un vecteur propre commun permet d’identifier ce vecteur propre de façon unique. On voit que l’on peut identifier un vecteur propre par sa valeur propre : On dira, dans ce cas particulier que l’observable forme un ECOC à elle toute seule.

Dans le cas général, il nous faudra un certain nombre d’observables pour obtenir ce résultat. Soit un vecteur propre commun à l’ensemble des observables qui commutent. Etc……. . Lorsque l’ensemble d’observables est commun, ceci signifie donc que :

Il est important de comprendre qu’un problème de Mécanique Quantique sera « très facile » à résoudre dès l’instant où l’ECOC sera connu. En effet, il sera possible de prévoir très vite les résultats des mesures des grandeurs physiques associées aux observables qui commutent. Il existe un ECOC spécialement important, c’est celui qui contient l’observable Hamiltonienne : dans ce cas, toutes les observables de cet ECOC sont les constantes du mouvement : Les résultats des mesures sont indépendantes du temps.

II-4 : Les produits tensoriel d’Espace. Supposons qu’un système physique n° 1 soit associé à un espace des états que nous notons : E 1 de dimension N 1, de même un système physique n° 2 est associé à un espace E 2 de dimension N 2. Si on considère maintenant la réunion physique des deux systèmes physiques 1 et 2, on constitue un nouvel espace des états : Où : Les propriétés du produit tensoriel sont simples : - -

- Action des opérateurs dans le produit tensoriel d’espace Conséquence importante : -