Chapitre 5 Thermodynamique de gaz parfaits de FermiDirac

Chapitre 5 – Thermodynamique de gaz parfaits de Fermi-Dirac Application : électrons de conduction dans un métal

Électrons de conduction dans un métal Fil de cuivre Électrons liés à l’atome • Nous avons donc un gaz d’électrons (électrons de conduction ou de valence) dans une mer de noyaux lourds statiques • On peut négliger les interactions entre les e– gaz idéal (effet écran des noyaux) Atomes Électrons non-localisés. Ils ne sont pas libres, mais ils ne sont pas liés à l’atome non plus. • Concentration très élevée statistique de Fermi-Dirac

Électrons de conduction dans un métal (OCP : one-component plasma)

Électrons de conduction dans un métal Modèle simple de l’interaction électrons de conductions – ions du solide : On considérera les électrons de conduction comme un gaz de fermions dans un potentiel externe constant. énergie potentielle des électrons (constante et négative)

Rappel : potentiel chimique g +

Électrons de conduction dans un métal Modèle simple de l’interaction électrons de conductions – ions du solide : On considérera les électrons de conduction comme un gaz de fermions dans un potentiel externe constant. Gaz dégénéré? Gaz parfait? énergie potentielle des électrons (constante et négative)

Électrons de conduction dans un métal Rappel : distribution de Fermi-Dirac à température nulle : 1 les nombres d’occupation égalent tous 1 jusqu’à ce que N fermions soient accommodés : température de Fermi Gaz complètement dégénéré si impulsion de Fermi : énergie de Fermi

Électrons de conduction dans un métal : température de Fermi : énergie de Fermi

Électrons de conduction dans un métal Gaz d’électrons complètement dégénérés si Sodium : 1 e− de conduction = 0. 95 g cm-3 A= 23

Rappel: validité de nos approximations Approximation du gaz parfait E = Ecin + Epot Particules chargées: interaction électrostatique de Coulomb Particules neutres: sphères dures

Électrons de conduction dans un métal Approximation du gaz parfait 1) Cas du gaz non dégénéré :

Électrons de conduction dans un métal Approximation du gaz parfait 2) Cas du gaz dégénéré : (à démontrer)

Électrons de conduction dans un métal

Électrons de conduction dans un métal

Démonstration (PHY 2215) :

Électrons de conduction dans un métal Chaleur spécifique (classique) contribution de par degré de liberté

Électrons de conduction dans un métal Chaleur spécifique (classique) contribution de Vibration des ions (E = Ecin + Epot) par degré de liberté Translation des électrons de conduction Observé expérimentalement : ? ? ?

Rappel: gaz fortement dégénéré Chaleur spécifique :

Électrons de conduction dans un métal Chaleur spécifique (classique) contribution de Vibration des ions (E = Ecin + Epot) Pour un gaz de fermions fortement dégénérés : par degré de liberté Translation des électrons de conduction 0 quand

Rappel : théorie de Debye des solides Chaleur spécifique des ions (quantique) : Si

Électrons de conduction dans un métal Chaleur spécifique (quantique) : ions électrons de conduction

Électrons de conduction dans un métal

Application : électrons de conduction dans un métal Émission thermo-ionique

Émission thermo-ionique Modèle simple de l’interaction électrons de conductions – ions du solide : e− Ce phénomène s’appelle l’émission thermo-ionique, énergie potentielle des électrons ou l’effet Richardson (constante et négative)

Émission thermo-ionique Distribution de Fermi-Dirac à température nulle : : température de Fermi énergie de surface

Émission thermo-ionique Distribution de Fermi-Dirac à température non nulle : e− e− : température de Fermi Ce sont ces électrons qui pourront s’échapper énergie de surface

Émission thermo-ionique Le nombre d’électrons qui s’échappent demeure faible de telle sorte que nous demeurons à l’équilibre notre approche statistique est encore valide Nombre d’électrons de conduction dans le métal : On peut définir une distribution de densité d’électrons dans l’espace des impulsions : avec angle solide

Émission thermo-ionique Les électrons qui pourront s’échapper devront avoir :

Émission thermo-ionique [ # cm-3 ] [ cm s-1 ] = [ # cm-2 s-1 ] On peut ainsi calculer le nombre d’électrons R quittent la surface du métal par unité de surface et par unité de temps en multipliant par et en intégrant dans toutes les directions :

Émission thermo-ionique [ # cm-3 ] [ cm s-1 ] = [ # cm-2 s-1 ] On peut ainsi calculer le nombre d’électrons R quittent la surface du métal par unité de surface et par unité de temps en multipliant par et en intégrant dans toutes les directions : coordonnées polaires

Émission thermo-ionique [ # cm-3 ] [ cm s-1 ] = [ # cm-2 s-1 ] On peut ainsi calculer le nombre d’électrons R quittent la surface du métal par unité de surface et par unité de temps en multipliant par et en intégrant dans toutes les directions : où

Émission thermo-ionique On peut ainsi calculer le nombre d’électrons R quittent la surface du métal par unité de surface et par unité de temps en multipliant par et en intégrant dans toutes les directions : 1) car les électrons sont fortement dégénérés 2) << 0 car où

Émission thermo-ionique On peut ainsi calculer le nombre d’électrons R quittent la surface du métal par unité de surface et par unité de temps en multipliant par et en intégrant dans toutes les directions : car où

Émission thermo-ionique On peut ainsi calculer le nombre d’électrons R quittent la surface du métal par unité de surface et par unité de temps en multipliant par et en intégrant dans toutes les directions : Si le gaz est non dégénéré : où (Richardson 1902)

Émission thermo-ionique On peut ainsi calculer le nombre d’électrons R quittent la surface du métal par unité de surface et par unité de temps en multipliant par et en intégrant dans toutes les directions : Si le gaz est fortement dégénéré : où

Émission thermo-ionique

Émission thermo-ionique vs

Application : électrons de conduction dans un métal Effet photoélectrique

Effet photoélectrique Distribution de Fermi-Dirac à température non nulle : e− : température de Fermi Ce sont ces électrons qui pourront s’échapper énergie de surface

Effet photoélectrique Auparavant, les électrons qui pouvaient s’échapper devaient avoir : e− mais en considérant l’énergie du photon : énergie de surface

Effet photoélectrique On a calculé précédemment le nombre d’électrons R quittent la surface du métal par unité de surface et par unité de temps en multipliant par et en intégrant dans toutes les directions : Dans le cas de l’effet photoélectrique :

Rappel – Émission thermo-ionique où 1) 2) car les électrons sont fortement dégénérés << 0 car toujours vrai

Effet photoélectrique On a calculé précédemment le nombre d’électrons R quittent la surface du métal par unité de surface et par unité de temps en multipliant par et en intégrant dans toutes les directions : Dans le cas de l’effet photoélectrique : Cette expression ne peut être simplifiée davantage

Effet photoélectrique On peut toutefois récrire : où

Effet photoélectrique On peut toutefois récrire : où où définit la fréquence de seuil, soit l’énergie supplémentaire qu’un photon doit transférer à un électron avec une énergie cinétique pour tout juste l’expulser du métal

Effet photoélectrique On peut ensuite intégrer parties : 0

Effet photoélectrique Si (limite des photons énergétiques) :

Effet photoélectrique Si (limite des photons énergétiques) :

Effet photoélectrique Si les photons ne sont pas assez énergétiques ( ) mais que c’est-à-dire que l’énergie transférée aux électrons est beaucoup plus grande que , :

Effet photoélectrique Si les photons ne sont pas assez énergétiques ( ) mais que c’est-à-dire que l’énergie transférée aux électrons est beaucoup plus grande que , :

Effet photoélectrique

Effet photoélectrique