Chapitre 3 Gaz parfait la limite classique Chapitre

Chapitre 3 – Gaz parfait à la limite classique

Chapitre 3 – Gaz parfait à la limite classique déterminé par : Limite classique : Distribution de Maxwell-Boltzmann avec où fonction de partition d’une particule individuelle Fonction de partition C’est ce qu’il nous faut évaluer

États d’énergie d’un gaz monoatomique

États d’énergie d’un gaz monoatomique Excitation des neutrons et protons

États d’énergie d’un gaz monoatomique S’il n’y a pas d’interaction entre les différents degrés de liberté : (translation + excitation + nucléaire)

États d’énergie d’un gaz monoatomique Dans ce cas l’énergie ek de l’atome dans un état k pourra s’écrire : Fonction de partition de translation gaz parfait monoatomique à la limite classique électronique nucléaire

États d’énergie d’un gaz monoatomique On peut raffiner le calcul : pour tenir compte de la faible interaction nucléaire-électronique Dans le cas des molécules (rotation + vibration) : pour tenir compte de la faible interaction rotation-vibration

Fonction de partition de translation

Fonction de partition de translation Équation de Schrödinger : Soln

Fonction de partition de translation Énergie d’une particule : La fonction de partition de translation devient :

Fonction de partition de translation On peut démontrer que si où Longueur d’onde thermique de de Broglie Fonction de partition de translation d’une particule

Longueur d’onde thermique de de Broglie Électron libre Du point de vue quantique, un électron est « plus gros » qu’un proton!

Fonction de partition de translation On peut également écrire : dégénérescence On peut montrer que (voir notes de cours) : nombre d’états entre e et e + de (facteur de dégénérescence)

Espace de phase (pour un gaz idéal) (pour un atome) volume de la coquille sphérique dans l’espace des p

Fonction de partition de translation On peut également écrire : dégénérescence On peut montrer que (voir notes de cours) : nombre d’états entre e et e + de (facteur de dégénérescence)

Fonction de partition de translation ou bien

Précisions supplémentaires

Fonction de partition de translation pour un gaz quantique Forme paramétrique de la fonction de partition Somme sur les états quantiques accessibles à une particule (incluant les états dégénérés) Somme sur les niveaux d’énergie en tenant compte de la dégénérescence

Fonction de partition de translation pour un gaz quantique Forme paramétrique de la fonction de partition avec Utilisés au chapitres 4 et 5 pour décrire les états de translations de gaz parfaits de bosons et de fermions (particules non relativistes)

Dégénérescence des états quantiques Approche canonique : Énergies du système Pour un gaz idéal : (aucune interaction) Les états quantiques accessibles à une particule peuvent également être dégénérés

Exemple: une particule dans une boite cubique Même énergie 9

Précisions supplémentaires Les états quantiques accessibles à une particule peuvent également être dégénérés Note : un seul fermion peut occuper un état quantique donné mais ils peuvent avoir des énergies identiques Exemple : avec {0, 1}

Exemple: état fondamental de translation d’un système de N particules identiques aucune restriction un seul fermion par état

Exemple: état fondamental de translation d’un système de N particules identiques Considérons le cas de fermions à T = 0 (avec N >>) PAS CLAIR Énergie de Fermi (énergie cinétique du dernier fermion dans la distribution de Fermi-Dirac à T = 0 K)

Exemple: état fondamental de translation d’un système de N particules identiques Considérons le cas de fermions à T = 0 (avec N >>) PAS CLAIR

Exemple: état fondamental de translation d’un système de N particules identiques ? (gaz parfait, T = 0 K)

Fonction de partition ultra-relativiste Fonction de partition de translation : non relativiste

Fonction de partition ultra-relativiste Fonction de partition de translation : Limite ultra-relativiste (UR)

Les fonctions de partition électronique et nucléaire

Les fonctions de partition électronique et nucléaire Excitation des neutrons et protons

La fonction de partition électronique (électrons à l’intérieur de l’atome) Énergie de liaison (< 0) (états liés) : X Translation

La fonction de partition électronique Fonction de partition astrophysique Explicitement souvent négligeables (sauf si T >>) (surtout pour les gaz rares He, Ne, Ar…) énergie d’excitation (> 0)

La fonction de partition électronique Les atomes sont presque toujours dans leur état fondamental

Formule d’excitation de Boltzmann Distribution de Boltzmann dans la limite classique (nombre d’occupation nombre moyen de particules dans un état d’énergie k) Dans le cas de l’excitation électronique fraction des atomes qui sont dans le niveau d’énergie ek k Formule d’excitation de Boltzmann r (rapport des populations des atomes dans les états d’excitation k et r)

Formule d’excitation de Boltzmann Pour les particules sans degré de liberté interne : (ex: atomes complètement ionisés) k Formule d’excitation de Boltzmann r (rapport des populations des atomes dans les états d’excitation k et r)

Exemple: atome d’hydrogène Équation de Schrödinger Solution de la forme Fonction radiale avec (masse réduite) harmoniques sphériques

Exemple: atome d’hydrogène indépendant de l et m (dégénérescence) (le 2 tient compte du spin de l’e−)

La fonction de partition nucléaire Excitation des neutrons et protons Toujours dans l’état fondamental Ici le zéro de l’énergie des nucléons correspond à l’état fondamental, donc une constante x