Chapitre trois Prfrences et fonctions dutilit Rationalit en

Chapitre trois Préférences et fonctions d’utilité

Rationalité en économie u Hypothèse de comportement: Un décideur choisit toujours son alternative préférée parmi l’ensemble des alternatives disponibles. u Nous avons précisé ce qu’était l’ensemble des alternatives disponibles u Nous devons maintenant préciser ce que sont les préférences.

Relation de Préférence u Critère de comparaison de paniers de consommation tels que x et y: – Préférence stricte: x est strictement préféré à y. – Préférence faible: x est faiblement préférée à y. – indifference: x et y sont équivalent sur le plan des préférence. – -non comparabilité: x et y ne sont pas comparables sur le plan des préférences

Formalisme de relations binaires f u préférence faible; ~ f x y = x est faiblement préféré à y. ~

Relations de Préférence u x y et y x implique x ~ y. (facteur symmétrique) u x y et (non y x) implique x y. (facteur symmétrique) u Non x y et non y x implique x N y. (facteur non-comparable)

Ensemble des paniers faiblement préférés, u Considérons un panier de référence z. On peut définir l’ensemble des paniers faiblement préférés à z, noté FP (z), par FP (z) = {x X: x z}

Ensemble des paniers faiblement dominés u De manière analogue, pour un panier de référence z, on peut définir l’ensemble des paniers faiblement dominés par z, noté FD (z), par FD (z) = {x X: x z}

courbes d’indifférence u On appelle courbe d’indifférence associée à z l’ensemble I (z) = FP (z) FD (z); L’ensemble I (z) contient tous les paniers que le consommateur considère équivalents à z u Puisqu’une « courbe d’indifférence » n’est pas toujours une courbe, une meilleure appellation serait celle d’ « ensemble d’indifférence » .

Exemple de préférences u C = 2+,

Illustration x 2 45 o FP (9, 5) = les paniers situés en zone blanche 9 5 5 9 x 1

Illustration x 2 45 o FD (9, 5) = partie blanche 9 5 5 9 x 1

Illustration x 2 45 o I (9, 5) = {(9, 5), (5, 9)} 9 5 5 9 x 1

Hypothèses sur les relations de préférence u Complétude: Pour n’importe quels deux paniers x et y il est toujours possible de formuler l’un ou l’autre des deux énoncés suivants: x y ou y x. u De manière équivalente, x N y n’est jamais vrai

Hypothèses sur les relations de préférence u Réflexivité: Tout panier x est toujours faiblement préféré à luimême, i. e. x x

Hypothèses sur les préférences u Transitivité: si x est faiblement préféré à y, et y est faiblement préféré à z, alors x est faiblement préféré à z; i. e. f f x y et y z x z. f ~ ~ ~

Propriétés des courbes d’indifférences I 1 x 2 x z I 2 y Tous les paniers sur la courbe I 1 sont strictement préférés à un panier sur I 2. I 3 x 1 Tous les paniers sur sont strictement préférés à tous les paniers sur I 3.

Propriétés des courbes d’indifférence x 2 FP(x), l’ensemble des x paniers faiblement préférés à x. I(x) I(x’) x 1

Courbes d’indifférence x 2 x FP(x), FP(x) inclut I(x) I(x). x 1

Propriétés des courbes d’indifférence x 2 SP(x), l’ensemble des paniers strictement préférés à x, n’inclut pas I(x). x I(x) x 1

Les courbes d’indifférences ont une intersection vide x 2 I 1 I 2 de I 1, x ~ y. de I 2, x ~ z. donc y ~ z. x y z x 1

Les courbes d’indifférence ont une intersection vide I 1 I 2 De I 1, x ~ y. De I 2, x ~ z. Donc y ~ z. Mais de I 1 de I 2 on voit que y z, une contradiction. x y p x 2 z x 1

Représentation numérique d’une préférence par une fonction d’utilité u Une fonction d’utilité U: C R représente numériquement une préférence si et seulement si: f ~ p x’ x” U(x’) > U(x”) x’ x” U(x’) < U(x”) p x’ ~ x” U(x’) = U(x”).

Ordinalité de la représentation numérique (1) u L’utilité est un concept ordinal u Si U(x) = 6 et U(y) = 2 le panier x est strictement préféré au panier y. Mais on ne peut pas dire que x est préféré trois fois plus que y ou que le consommateur est trois fois plus heureux avec x qu’avec y

Ordinalité de la représentation numérique (2) u Si U est une fonction d’utilité qui représente numériquement une f préférence et si f: R R est une ~ fonction (d’une variable) monotone croissante, la fonction G: C R définie, pour x C, par G(x) = f(U(x)) est une représentation numérique de f tout aussi légitime que U ~

Existence de Fonction d’Utilité u Une préférence qui n’est pas complète, transitive ou réflexive ne peut pas être représentée numériquement par une fonction d’utilité. u Une préférence complète, transitive et réflexive et continue peut être représentée numériquement par une fonction d’utilité continue. u Continuité = changements légers dans les quantités de biens d’un panier ne doivent entraîner que des changements légers dans le niveau de préférence.

Fonction d’utilité & Courbes d’indifférence u une courbe d’indifférence contient des paniers équivalents sur le plan de la préférence. u Equivalent sur le plan de la préférence même niveau d’utilité. u Donc, tous les paniers appartenant à une courbe d’indifférence ont le même niveau d’utilité.

Fonctions d’utilité & courbes d’indifférences u La comparaison de tous les paniers de consommation physiquement et biologiquement concevables fournit une collection complète de courbes d’indifférence, chacune étant associée à un niveau d’utilité. u Cette collection de courbes d’indifférence représente complètement les préférences du consommateur.

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 2 U º 6 U º 4 U º 2 x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence Utility U º 6 U º 5 U º 4 U º 3 U º 2 x 2 U º 1 x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 2 x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 2 x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 2 x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 2 x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 2 x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x 1

Préférences globalement saturables u Un panier strictement préféré à tout autre panier est un point de saturation. u A quoi ressemble des courbes d’indifférence de préférences faisant l’objet de saturation?

Courbes d’indifférence présentant de la saturation globale x 2 Point De Saturation x 1

Courbes d’indifférence présentant de la saturation globale m ie ux x u e i M point de saturation mieux x 2 x 1

Courbes d’indifférence présentant de la saturation globale M ie ux x u e i m mieux x 2 x 1 Point De Saturation

Préférences localement saturables z 2 2 mieux I (z 1, z 2) z 1

Préférences non-saturables u est localement non-saturable si pour tout panier z et pour nombre réel positif , il existe un panier y dans C strictement préféré à z tel que, pour tout bien j, yj-zj <

Deux propriétés des préférences: 1 -Monotonie u Monotonicité croissante faible: Augmenter la quantité d’un bien sans réduire celle des autres biens ne fait pas de mal et augmenter strictement la quantité de tous les biens fait du bien u Monotonie croissante stricte: Augmenter strictement la quantité d’un bien sans réduire celle des autres biens fait du bien.

Exemple: préférence (Léontieff) pour des Compléments parfaits – Si un consommateur consomme toujours les biens 1 et 2 dans des proportions fixes (e. g. un pour un), alors les biens sont des compléments parfaits et seul le nombre de paires d’unités deux biens détermine le classement des paniers dans l’échelle de préférence du consommateur

Courbes d’indifférence pour des compléments parfaits x 2 45 o 9 5 I 1 5 9 Chacun des paniers (5, 5), (5, 9) et (9, 5) contiennent 5 paires; ils sont donc tous équivalents. x 1

Courbes d’indifférence pour des compléments parfaits x 2 45 o 9 I 2 5 I 1 5 9 x 1 Puisque chacun des paniers (5, 5), (5, 9) et (9, 5) contient 5 paires, chacun est jugé moins préférable que le panier (9, 9) qui contient 9 paires.

Les préférences Léontieff sont faiblement monotones croissantes mais ne sont pas strictement monotones croissantes

Fonctions d’Utilité pour les préférences Léontieff u U(x 1, x 2) = min{x 1, x 2}. V(x 1, x 2) = (min{x 1, x 2})2 W(x 1, x 2) = -1/(min{x 1, x 2})

Courbes d’Indifférence Léontieff x 2 45 o U(x 1, x 2) = min{x 1, x 2} = 8 8 min{x 1, x 2} = 5 min{x 1, x 2} = 3 5 3 3 5 8 x 1

2: convexité u Convexité: un mélange de paniers est (faiblement) préféré à chacun des deux paniers du mélange si ceux-ci sont équivalents. u Ex: Le mélange 50 -50 des paniers x and y (noté z) est z = (0. 5)x + (0. 5)y. z doit être faiblement préféré à x ou y si x et y sont équivalents.

Convexité. x x 2 x+y Est strictement z = 2 préféré à x et y. x 2+y 2 2 y y 2 x 1+y 1 2 y 1

Convexité. x x 2 z =(tx 1+(1 -t)y 1, tx 2+(1 -t)y 2) est préféré à x et y pour tous 0 < t < 1. y y 2 x 1 y 1

Convexité stricte x x 2 z Préférences sont strictement convexes si tous les mélanges z sont strictement préférés aux paniers x and y. y y 2 x 1 y 1

Convexité faible. x’ z’ x z y Préférences sont faiblement convexes si le mélange z is faiblement préféré à deux paniers y’ indifférents.

Exemple; Préférences pour des substituts parfaits – Si un consommateur considère toujours les unités de biens 1 et 2 comme parfaitement interchangeables, alors les deux biens sont des substituts parfaits et seulement la quantité totale des deux biens contenue dans les paniers détermine le classement relatif de ces paniers dans l’échelle de préférence du consommateur.

Courbes d’indifférence pour des substituts parfaits x 2 15 I 2 pentes constantes à - 1. Paniers sur I 2 contiennent une quantité totale de 15 unités et sont strictement préférés à tous les paniers sur I 1, qui ne contiennent que 8 unités 8 I 1 8 15 x 1

Les préférences pour des substituts parfaits sont faiblement convexes mais ne sont pas strictement convexes

Fonctions d’utilité représentant des préférences pour des substituts parfaits u U(x 1, x 2) = x 1 + x 2. V(x 1, x 2) = (x 1 + x 2)1/2 W(x 1, x 2) = ln(x 1 + x 2).

Carte d’indifférence de préférences pour des Substituts parfaits x 2 x 1 + x 2 = 5 13 x 1 + x 2 = 9 9 x 1 + x 2 = 13 5 U(x 1, x 2) = x 1 + x 2. 5 9 13 x 1

Préférences non convexes ux ie m x 2 z y 2 x 1 y 1 Le mélange z est jugé moins préférable que x ou y.

Autres Préférences Non. Convexes m ux ie x 2 z y 2 x 1 y 1 Le mélange z est jugé moins préférable que x ou y.

Pentes de courbes d’indifférences u La pente d’une courbe d’indifférence évaluée à un panier quelconque (x 1, …xn) est le taux marginal de substitution (TMS (x 1, …xn)). u Comment calculer ce TMS ?

Taux Marginal de Substitution x 2 TMS à x’ est la pente de la courbe d’indifférence à x’ x’ x 1

Taux Marginal de Substitution x 2 D x 2 x’ TMS à x’ est lim {Dx 2/Dx 1} Dx 1 0 = dx 2/dx 1 à x’ D x 1

Taux Marginal de Substitution x 2 dx 2 x’ dx 1 dx 2 = TMS ´ MS dx 1 donc, à x’, TMS est le taux au quel le consommateur est disposé à échanger du bien 2 pour obtenir une « petite » quantité de bien 1. x 1

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites u Dans un univers à deux biens (où on peut représenter toute courbe d’indifférence I (z) dans le plan à 2 dimensions), la courbe en question est caractérisée, si les préférences sont continues et monotones croissantes, par l’équation

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites u Sous ces deux hypothèses, la relation est fonctionnelle (elle associe à toute quantité de bien 1 l’unique quantité de bien 2 qui donne au consommateur le même niveau d’utilité que z)

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas dérivable)

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas dérivable) u

Utilités Marginales u Marginal signifie “infinitésimal » . u L’utilité marginale du bien i s’interprète comme la variation d’utilité qui résulte d’un « petit » changement dans la consommation de bien i i. e.

La valeur de l’utilité marginale dépend de la fonction d’utilité utilisée pour représenter les préférences u Ex: si je mesure les préférences par la fonction d’utilité U(x 1, x 2) = x 1 a x 2 b

La valeur de l’utilité marginale dépend de la fonction d’utilité utilisée pour représenter les préférences u Mais si je mesure les mêmes préférences par la fonction d’utilité U(x 1, x 2) = alnx 1 + blnx 2

Le taux marginal de substitution ne dépend pas de la représentation numérique des préférences u Si V = f(U) où f est une fonction monotone croissante, alors Donc la valeur du TMS n’est pas affectée par la transformation de la fonction d’utilité au moyen d’une fonction monotone croissante.

TMS & Courbes d’indifférences bien 2 ux ie m re pi 2 biens une courbe d’indifférence à pente négative TMS < 0. Bien 1

TMS & Courbes d’Indifférences bien 2 I bien et 1 « mal » x u e une courbe i m d’indifférence à pente positive e r TMS > 0. pi mal 1

TMS & Courbes d’Indifférence bien 2 TMS = - 5 TMS augmente avec x 1 (devient moins négatif) les préférences sont strictement convexes et monotones croissantes. TMS = - 0. 5 bien 1

Exemples de préférences (n=2) (quasi-linéarité) u Une fonction d’utilité de la forme U(x 1, x 2) = f(x 1) + x 2 est linéaire par rapport à x 2 et est appelée quasi-linéaire. u E. g. U(x 1, x 2) = 2 x 11/2 + x 2.

x 2 Carte d’indifférence de préférences Quasi-linéaires Les courbes sont des copies par translation verticale des autres. x 1

TMS pour les préférences quasilinéaires u U(x 1, x 2) = f(x 1) + x 2. donc

TMS pour préférences quasilinéaires u TMS = - f ¢(x 1) ne dépend pas de x 2 Donc la pente d’une courbe d’indifférence associée à une préférence quasi-linéaire est constante le long de toute ligne verticale (sur laquelle x 1 est constante).

x 2 TMS pour des préférences quasilinéaires chaque courbe est un TMS = translation verticale - f(x 1’) d’une autre. TMS = -f(x 1”) TMS est constant le long de toute verticale ( x 1 constant). x 1’ x 1” x 1

Exemples de préférences (n=2) (Cobb-Douglas) u Une fonction d’utilité de la forme U(x 1, x 2) = x 1 a x 2 b avec a > 0 et b > 0 représente des préférences dites Cobb-Douglas u E. g. U(x 1, x 2) = x 11/2 x 21/2 (a = b = 1/2) V(x 1, x 2) = x 1 x 23 (a = 1, b = 3)

Carte d’indifférence Cobbx 2 Douglas u Les courbes sont des Hyperboles asymptotiques aux axes x 1