PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO1027 Rsolution de systme

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PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027

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Résolution de système d’équations non-linéaires (racines d’équations) • Introduction • Méthode de recherche directe

Résolution de système d’équations non-linéaires (racines d’équations) • Introduction • Méthode de recherche directe des racines • Exemple de recherche directe – Problème d’optimisation (échelle)

Introduction • Les équations non-linéaires peuvent être exprimées sous une forme, f(x) = 0

Introduction • Les équations non-linéaires peuvent être exprimées sous une forme, f(x) = 0 • Les valeurs de x qui satisfont f(x) = 0, sont les racines et représentent par le fait même les solutions

Introduction

Introduction

Introduction • Pour des fonctions simples, les racines peuvent être trouvées de façon analytique

Introduction • Pour des fonctions simples, les racines peuvent être trouvées de façon analytique • Pour un polynôme de degré 2:

Introduction • Les racines d’un polynôme de degré 3 peuvent aussi être déduites de

Introduction • Les racines d’un polynôme de degré 3 peuvent aussi être déduites de manière analytique • Pour des polynômes de degré supérieur, il faut utiliser des méthodes numériques de localisation des racines puisqu’aucune solution analytique existe • La plupart des fonctions non-linéaires, non-polynômiales requièrent aussi l’utilisation d’algorithmes numériques de recherche de zéros de fonctions

Méthode de recherche directe • Nous pouvons trouver les racines d’une fonction non-linéaire par

Méthode de recherche directe • Nous pouvons trouver les racines d’une fonction non-linéaire par une approche essai et erreur par laquelle la fonction f(x) est évaluée à plusieurs points sur un intervalle [a, b] sur l’axe x jusqu’à ce que f(x) = 0 • Mais la chance de trouver les racines exactes est faible • Par contre, nous savons qu’une estimation des valeurs des racines est souvent suffisante

Méthode de recherche directe • La méthode directe est la plus facile mais aussi

Méthode de recherche directe • La méthode directe est la plus facile mais aussi la moins efficace • Les étapes de cette méthode sont: – Définir un intervalle [a, b] à l’intérieur duquel nous devrions trouver les racines – Subdiviser l’intervalle [a, b] en sous-intervalles plus petits et uniformément espacés. La dimension des sousintervalles est fonction de la précision recherchée

Méthode de recherche directe • Les étapes de cette méthode sont: – Parcourir chaque

Méthode de recherche directe • Les étapes de cette méthode sont: – Parcourir chaque sous-intervalle jusqu’à ce qu’un sousintervalle contenant une racine soit localisé. Ceci survient quand f(x) = 0 dans un sous-intervalle • Nous pouvons déterminer la présence d’une racine dans un sous-intervalle [A, B] en déterminant si: f(A)f(B) < 0

Méthode de recherche directe

Méthode de recherche directe

Méthode de recherche directe • Algorithme de recherche directe racine. DIR(float a, float b,

Méthode de recherche directe • Algorithme de recherche directe racine. DIR(float a, float b, float eps) nint = (int)((b-a)/eps) + 1 deltax = (b-a)/(float)(nint) xd = a xf = xd + deltax POUR i allant de 1 à nint FAIRE fxd = F(xd) fxf = F(xf) SI (fxd*fxf <= 0) FAIRE Imprimer l’intervalle [xd, xf] FIN SI xd = xf xf = xd + deltax FIN POUR

Méthode de recherche directe • Algorithme de recherche directe (voir l’exemple EXRACINE-DIRECTE)

Méthode de recherche directe • Algorithme de recherche directe (voir l’exemple EXRACINE-DIRECTE)

Méthode de recherche directe • Algorithme de recherche directe – Problèmes possibles (racines multiples

Méthode de recherche directe • Algorithme de recherche directe – Problèmes possibles (racines multiples et discontinuitées

Exemple de recherche directe (problème d’optimisation) • Utilisation de la recherche directe

Exemple de recherche directe (problème d’optimisation) • Utilisation de la recherche directe

Exemple de recherche directe (problème d’optimisation) • Utilisation de la recherche directe

Exemple de recherche directe (problème d’optimisation) • Utilisation de la recherche directe

Exemple de recherche directe (problème d’optimisation: voir exemple. Echelle. xls)

Exemple de recherche directe (problème d’optimisation: voir exemple. Echelle. xls)

Exemple de recherche directe (problème d’optimisation: voir exemple. Echelle. xls) Passage par zéro à

Exemple de recherche directe (problème d’optimisation: voir exemple. Echelle. xls) Passage par zéro à 45 degré l 1+l 2 = 28, 28

Exemple de recherche directe (problème d’optimisation: voir le projet EX-ECHELLE) Passage par zéro à

Exemple de recherche directe (problème d’optimisation: voir le projet EX-ECHELLE) Passage par zéro à 45 degré l 1+l 2 = 28, 28

Rappels sur les notions de dérivées • Dérivée de fonctions usuelles

Rappels sur les notions de dérivées • Dérivée de fonctions usuelles

Rappels sur les notions de dérivées • Dérivée de fonctions usuelles

Rappels sur les notions de dérivées • Dérivée de fonctions usuelles

Rappels sur les notions de dérivées • Règles de dérivée

Rappels sur les notions de dérivées • Règles de dérivée

Rappels sur les notions de dérivées • Règles de dérivée

Rappels sur les notions de dérivées • Règles de dérivée