AKAR PERSAMAAN NON LINEAR Persamaan hingga derajat dua

AKAR PERSAMAAN NON LINEAR Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh : Solusi : Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :

Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode sebagai berikut : 1. 2. 3. 4. 5. 6. GRAFIS BISECTION REGULA FALSI SECANT NEWTON RHAPSON ITERASI FIXED POINT

1. GRAFIS Merupakan metode mencari akar dengan cara menggambar fungsi yang bersangkutan Contoh : Y = 2 x 2 – 3 x -2

Jawab: ØDengan memasukkan harga “x” didapat nilai fungsi f(x)

2. BISECTION • Metode ini melakukan pengamatan terhadap nilai f(x) dengan berbagai nilai x, yang mempunyai perbedaan tanda. • Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi 2 pada interval x yang mempunyai beda tanda tersebut.

F(x) x 1 x 4 x 5 x 3 x 2 x

Algoritma : 1) Pilih x 1 bawah dan x 2 puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan : 2) Taksiran akar x, ditentukan oleh :

3) Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian interval mana akar berbeda : * jika f(x 1). f(x 2) < 0 akan berada pada bagian interval bawah, maka x 2 = xr , dan kembali kelangkah 2 * Jika f(x 1). f(x 2) > 0 akan berada pada bagian interval atas , maka x 1 = xr , dan kembali kelangkah 2 * Jika f(x 1). f(x 2) = 0, akar setara xr, perhitungan dihentikan, atau bisa juga : Dimana ε adalah harga toleransi yang dibuat.

2 Contoh : Carilah akar persamaan dari : Penyelesaian: Hitung nilai pada interval antara 2 titik untuk x=1, untuk

Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. titik perpotongan antar sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan. hitung nilai , kemudian hitung fungsi Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang semakin kecil, dimana akar persamaan berada. Hasil perhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.

Tabel hasil perhitungan:

3. Metode Regula Falsi. • Kekurangan metode bisection adalah membagi dua selang diantara x 1 dengan x 2 menjadi dua bagian yang sama, besaran f(x 1) dan f(x 2) diabaikan. Misalnya, jika f(x 1) lebih dekat ke nol daripada f(x 2), kemungkinan besar akan lebih dekat ke x 1 daripada ke x 2.

y f(x 2) x 1 f(x 1) x 2 x

Algoritma : 1) 2. a) b) c) d) Pilih x 1 bawah dan x 2 (puncak) untuk taksiran akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan: f(x 1). f(x 2) < 0 Taksir akar xr, ditentukan oleh: Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar : Jika , maka akar berada pada bagian interval bawah, maka , kembali ke langkah 2. Jika maka akar berada pada bagian interval atas, maka , kembali ke langkah 2. Jika , akar setara xr maka hentikan perhitungan.

Contoh: ditentukan ; subtitusikan pada persamaan ; maka nilai

Tabel hasil perhitungan:

4. Metode Secant • Metode ini memerlukan dua taksiran awal akan tetapi karena f(x) tidak disyaratkan untuk berganti tanda diantara taksiran, maka metode ini tidak digolongkan sebagai metode pengurung. • Persamaan yang dipakai metode secant adalah

y f(x 1) f(x 2) x 3 x 2 x 1 x

Algoritma : • • • Pilih x 1 bawah dan x 2 (puncak) untuk taksiran akar. Taksir akar xn+1, ditentukan oleh: Perhitungan dihentikan jika f(x = yang ditentukan n+1) ≈ 0 atau Є

Contoh: Ditentukan taksiran awalnya adalah : X 1 = 1 X 2 = 2

Tabel hasil perhitungan:

5. Metode Newton Rhapson • Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f(xi). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

y x 2 x 1 x

Algoritma : • Tentukan nilai x 1 sebagai terkaan awal • Buat taksiran untuk x 1+n dengan persamaan : • Perhitungan dihentikan jika f(x 0 atau Є = yang ditentukan n+1) ≈

Contoh : Ditentukan taksiran awal x 1 = 2

Tabel hasil perhitungan:

6. Metode Iterasi Fixed Point • Teknik iterasi fixed point dijalankan dengan cara membuat fungsi f(x) menjadi bentuk fungsi implisit f(x)=0 kemudian x=g(x), iterasi yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan; xn+1 = g(xn)

Algoritma : • Tentukan nilai taksiran awal xn • Lakukan perhitungan taksiran akar dengan mempergunakan persamaan; Xn+1=g(xn) • Perhitungan dihentikan jika;

Contoh: X 2 - 3 x + 1 = 0 3 x = x 2 + 1 X = 1/3 (x 2 +1) ε = 0, 001 Ditentukan x 0 = 2 X= 1/3(22+1) = 1, 667 Іx 1 – x 0І= 1, 667 – 2 = 0, 333 Tabel Hasil Perhitungan