Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat

Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton 09/11/2020 Matematika 2 1

Barisan Tak Hingga Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan −bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli. Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam bentuk a 1, a 2, …, an. a 1 menyatakan suku ke– 1, a 2 menyatakan suku ke– 2 dan an menyatakan suku ke–n. Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah Matematika 2 2

Barisan Tak Hingga Contoh − contoh barisan Bisa dituliskan dengan rumus Barisan Bisa dituliskan dengan rumus Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba –coba. 09/11/2020 Matematika 2 3

Kekonvergenan barisan tak hingga Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila atau { untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan L akan kurang epsilon} 09/11/2020 Matematika 2 4

Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 1 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Karena maka 09/11/2020 divergen Matematika 2 5

Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 2 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk menyelesaikannya digunakan teorema berikut : Misal , bila maka untuk x R. 09/11/2020 Matematika 2 6

Kekonvergenan barisan tak hingga Jawaban (lanjutan) Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka Berdasarkan teorema maka . Karena nilai limitnya menuju 0, maka Konvergen menuju 0. 09/11/2020 Matematika 2 7

Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 3 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos n , untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai – 1 dan maksimal bernilai 1. Sedangkan , 09/11/2020 akibatnya untuk n nilai akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0. Matematika 2 8

Sifat – sifat barisan Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka 1. 2. 3. 4. 5. 09/11/2020 Matematika 2 9

Barisan Monoton Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan menjadi 4 macam : 1. Monoton naik bila 2. Monoton turun bila 3. Monoton tidak turun bila 4. Monoton tidak naik bila 09/11/2020 Matematika 2 10

Deret Tak Hingga Deret tak hingga merupakan jumlahan dari Notasi deret tak hingga adalah yaitu a 1+a 2+…+an. . Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu , , dimana : Dan 09/11/2020 Matematika 2 11

Deret Tak Hingga Contoh Selidiki apakah deret konvergen ? Jawaban Karena , maka adalah deret konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba. 09/11/2020 Matematika 2 12

Deret Suku Positif Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku- sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan : 1. Deret geometri 2. Deret harmonis 3. Deret-p Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral 09/11/2020 Matematika 2 13

Deret Suku Positif Deret geometri Bentuk umum : Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut : Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa. sehingga untuk r 1. Kekonvergenan dari deret geometri bergantung pada nilai r. 09/11/2020 Matematika 2 14

Deret Suku Positif Deret geometri(lanjutan) Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret geometri : –Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , sehingga deret divergen –Bila | r |<1, maka , sehingga deret konvergen ke –Bila | r | >1, maka , sehingga deret divergen 09/11/2020 Matematika 2 15

Deret Suku Positif Deret harmonis Bentuk umum : Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari Sn nya, yaitu 09/11/2020 Matematika 2 16

Deret Suku Positif Deret harmonis (lanjutan) Karena, maka 09/11/2020 . Sehingga deret harmonis divergen. Matematika 2 17

Kedivergenan Deret Tak Hingga Bila deret konvergen, maka . kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah Bila , maka deret akan divergen. Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol, maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif. 09/11/2020 Matematika 2 18

Kedivergenan Deret Tak Hingga Contoh Periksa apakah konvergen ? Jawaban Jadi 09/11/2020 divergen Matematika 2 19

Uji Deret Positif 1. Uji integral 2. Uji Banding 3. Uji Banding limit 4. Uji Rasio 5. Uji Akar 09/11/2020 Matematika 2 20

Uji Deret Positif Uji integral Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun, dimana , maka integral tak wajar dari f(x) adalah . Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak ada, maka deret divergen. Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret konvergen. 09/11/2020 Matematika 2 21

Deret Suku Positif Contoh 1: Uji Integral Deret–p Bentuk umum : Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu Misal maka . Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1 sampai . 09/11/2020 Matematika 2 22

Deret Suku Positif Deret–p (lanjutan) Integral tak wajar dari f(x) adalah Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen. 09/11/2020 Matematika 2 23

Deret Suku Positif Deret–p (lanjutan) Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut : – Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen – Bila 0 p<1, maka , sehingga deret divergen – Bila p>1, maka , sehingga deret konvergen. 09/11/2020 Matematika 2 24

Uji Deret Positif Contoh 2 Tentukan kekonvergenan deret Jawaban Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu : Misal , maka Perhitungan integral tak wajar : 09/11/2020 Matematika 2 25

Uji Deret Positif Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga divergen. 09/11/2020 Matematika 2 26

Uji Deret Positif Uji Banding Bila untuk n N, berlaku bn an maka a. Bila konvergen, maka juga konvergen b. Bila divergen, maka juga divergen Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret pembandingnya adalah yang bersifat konvergen. Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret pembandingnya adalah yang bersifat divergen. 09/11/2020 Matematika 2 27

Uji Deret Positif Contoh 1 Uji kekonvergenan Jawaban Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih yang paling mirip dengan deret yang akan diuji. Dapat dipilh Karena sebagai deret pembanding. dan merupakan deret p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen 09/11/2020 Matematika 2 28

Uji Deret Positif Contoh 2 Uji kekonvergenan Jawaban Dengan uji banding, digunakan deret pembanding dimana konvergen, maka 09/11/2020 . Karena , merupakan deret juga konvergen. Matematika 2 29

Uji Deret Positif Contoh 3 Uji kekonvergenan Jawaban Karena untuk digunakan adalah , maka deret pembanding yang. Karena merupakan deret konvergen, maka 09/11/2020 Matematika 2 dan juga konvergen 30

Uji Deret Positif Uji Banding Limit Misal , dan , merupakan deret suku positif dan berlaku – Bila 0 < L < , maka kedua deret bersama-sama konvergen atau bersama-sama divergen – Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka . juga konvergen – Bila L = dan adalah deret divergen maka . juga divergen 09/11/2020 Matematika 2 31

Uji Deret Positif Contoh 1 Uji kekonvergenan deret Jawaban Deret pembanding yang digunakan adalah diketahui sebagai deret divergen ( sebagai Karena . divergen, maka 09/11/2020 dan ). dan deret pembandingnya. juga divergen. Matematika 2 32

Uji Deret Positif Contoh 2 Uji kekonvergenan deret Jawaban Deret pembanding yang digunakan adalah dan diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis). Karena . dan deret pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama divergen. 09/11/2020 Matematika 2 33

Uji Deret Positif Uji Rasio Misal merupakan deret suku positif dan maka berlaku – Bila <1, maka deret konvergen – Bila >1, maka deret divergen – Bila =1, maka uji gagal 09/11/2020 Matematika 2 34

Uji Deret Positif Contoh Uji kekonvergenan deret Jawaban Dengan uji rasio diperoleh Karena = 0 < 1 , maka 09/11/2020 konvergen. Matematika 2 35

Uji Deret Positif Uji Akar Misal merupakan deret suku positif dan , maka berlaku – Bila r < 1, maka deret konvergen – Bila r > 1, maka deret divergen – Bila r = 1, maka uji gagal 09/11/2020 Matematika 2 36

Uji Deret Positif Contoh Uji kekonvergenan deret Jawaban Dengan uji akar diperoleh Karena 09/11/2020 , maka konvergen. Matematika 2 37

Uji Deret Positif Panduan Pemilihan uji deret Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka dapat dipilih uji banding atau uji banding limit Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku – sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral 09/11/2020 Matematika 2 38

Deret Ganti Tanda Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk. dengan an> 0 untuk semua n dilakukan uji tersendiri. Notasi deret ganti tanda adalah . atau. Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila a. b. 09/11/2020 (monoton tak naik) Matematika 2 39

Deret Ganti Tanda Contoh Tentukan kekonvergenan deret Jawaban merupakan deret ganti dengan rumus suku ke–nnya adalah tanda. Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut : a. . b. Nilai 09/11/2020 Matematika 2 40

Deret Ganti Tanda a. Karena jadi {an} adalah monoton tak naik. b. Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen. 09/11/2020 Matematika 2 41

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Deret dikatakan konvergen mutlak, bila deret mutlak konvergen (suku an bisa berupa suku positif atau tidak). Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila divergen, maka . juga divergen. Kovergen bersyarat terjadi bila konvergen tetapi divergen. 09/11/2020 Matematika 2 42

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 1 Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ? Jawaban Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji banding, dimana deret pembandingnya adalah diperoleh bahwa Karena untuk semua nilai n. merupakan deret konvergen, maka juga konvergen. Sehingga 09/11/2020 maka Matematika 2 konvergen mutlak. 43

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 2 Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ? Jawaban Deret mutlaknya adalah . Dengan uji rasio diperoleh Karena =0<1, maka Sehingga 09/11/2020 . konvergen mutlak. Matematika 2 44

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 3 Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ? Jawaban Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen. Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda a. (monoton tak naik) Diperoleh bahwa b. benar Jadi deret ganti tandanya konvergen. Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret mutlaknya divergen maka 09/11/2020 Matematika 2 konvergen bersyarat. 45

Uji rasio untuk kekonvergenan mutlak Misal deret dengan suku tak nol dan , tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah : • Bila r<1, maka konvergen mutlak • Bila r>1, maka divergen • Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan) Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. . 09/11/2020 Matematika 2 46

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 1 Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen? Jawaban Dengan uji rasio mutlak diperoleh : Karena 09/11/2020 , maka Matematika 2 konvergen mutlak. 47

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 2 Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen? Jawaban Dengan uji rasio mutlak diperoleh : Karena r > 1, maka 09/11/2020 divergen. Matematika 2 48

Deret Pangkat Bentuk umum : Contoh deret pangkat 1. 2. 3. 09/11/2020 Matematika 2 49

Deret Pangkat Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel, yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak, yaitu pada saat r < 1. Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret maupun disebut interval kekonvergenan. Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing – masing deret. 09/11/2020 Matematika 2 50

Deret Pangkat Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah : Selang konvergensi untuk deret • • • Deret konvergen hanya di x = 0 Deret konvergen mutlak di x R Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r, r) atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya. Selang konvergensi untuk deret • • • 09/11/2020 Deret konvergen hanya di x = b Deret konvergen mutlak di x R Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r, b+r) atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya. Matematika 2 51

Deret Pangkat Contoh 1 Tentukan interval kekonvergenan deret Jawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Deret akan konvergen untuk semua nilai x Atau x R 09/11/2020 Matematika 2 52

Deret Pangkat Contoh 2 Tentukan interval kekonvergenan deret Jawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0 09/11/2020 Matematika 2 53

Deret Pangkat Contoh 3 Tentukan interval kekonvergenan deret Jawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah – 3 < x < 3. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah. 09/11/2020 Matematika 2 54

Deret Pangkat Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai berikut : • Saat x = -3 deretnya menjadi Deret ini diketahui sebagai deret harmonis yang divergen. • Saat x = 3 deretnya menjadi dengan uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen. Jadi interval kekonvergenan deret 09/11/2020 Matematika 2 adalah 55

Deret Pangkat Contoh 4 Tentukan interval kekonvergenan deret Jawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak : Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah 4 < x < 6. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah. 09/11/2020 Matematika 2 56

Deret Pangkat Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai berikut : • Saat x = 4 deretnya menjadi. karena konvergen maka deret ganti tandanya juga konvergen. . • Saat x = 6 deretnya menjadi yang merupakan deret-p yang diketahui konvergen. Jadi interval kekonvergenan deret 09/11/2020 Matematika 2 adalah 57

Operasi-operasi deret pangkat 1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan substitusi 2. Turunan deret : 3. Integral deret : 09/11/2020 Matematika 2 58

Deret Pangkat Deret geometri adalah contoh deret pangkat x dengan an = 1. Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri, maka diperoleh Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi yang memuat x. 09/11/2020 Matematika 2 59

Deret Pangkat Contoh 1 Nyatakan Jawaban dalam deret pangkat Dengan menggunakan deret geometri 09/11/2020 Matematika 2 60

Deret Pangkat Contoh 2 Nyatakan dalam deret pangkat Jawaban Dengan menggunakan jawaban sebelumnya 09/11/2020 Matematika 2 61

Deret Pangkat Contoh 3 Nyatakan dalam deret pangkat Jawaban Jadi 09/11/2020 Matematika 2 62

Deret Pangkat Contoh 4 Nyatakan dalam deret pangkat Jawaban adalah turunan dari 09/11/2020 Matematika 2 sehingga 63

Deret Taylor dan Maclaurin Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu , dimana nilai-nilai a 0, a 1, a 2, … diperoleh dari penurunan f(x) di x = b sampai turunan ke-n, yaitu 09/11/2020 Matematika 2 64

Deret Taylor dan Maclaurin Atau f(x) bisa dituliskan sebagai Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret taylor. Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin, yaitu 09/11/2020 Matematika 2 65

Deret Taylor dan Maclaurin Contoh 1 Perderetkan Jawaban ke dalam deret maclaurin Sehingga 09/11/2020 Matematika 2 66

Deret Taylor dan Maclaurin Contoh 2 Perderetkan ke dalam deret Maclaurin / Taylor Jawaban Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa Dengan mengganti x dengan 2 x– 1 maka diperoleh perderetannya adalah 09/11/2020 Matematika 2 67

Deret Taylor dan Maclaurin Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam deret Maclaurin 09/11/2020 Matematika 2 68

Deret Taylor dan Maclaurin Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat seperti pada bagian sebelumnya, misal : 09/11/2020 Matematika 2 69

Soal Latihan A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 09/11/2020 Matematika 2 70

Soal Latihan A (Lanjutan) 7. 8. 9. 10. 11. 12. 09/11/2020 Matematika 2 71

Soal Latihan A (Lanjutan) 13. 14. B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ? 1. 2. 3. 4. 09/11/2020 Matematika 2 72

Soal Latihan B. (lanjutan) 5. 6. 7. 8. 9. 10. 09/11/2020 Matematika 2 73

Soal Latihan B. (lanjutan) 11. 12. 13. 14. 15. 16. 09/11/2020 Matematika 2 74

Soal Latihan B. (lanjutan) 17. 18. 19. 20. 21. 22. 09/11/2020 Matematika 2 75

Soal Latihan B. (lanjutan) 23. 24. C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen 1. 3. 2. 4. 09/11/2020 Matematika 2 76

Soal Latihan D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut 1. 4. 2. 5. 3. 6. 09/11/2020 Matematika 2 77

Soal Latihan D. (Lanjutan) 7. 8. 9. 10. E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat 1. 09/11/2020 2. Matematika 2 78

Soal Latihan E. (Lanjutan) 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 09/11/2020 Matematika 2 79