Wahrscheinlichkeitstheorie Evaluation und Forschungsstrategien So Se 19 Anna

Wahrscheinlichkeitstheorie Evaluation und Forschungsstrategien – So. Se 19 Anna Enbrecht, Lukas Pieper, Jemima Preuß

Agenda 01 Grundbegriffe Axiome 02 Additions- und Multiplikationssätze Stochastische Unabbhängigkeit 0 03 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Theorem von Bayes 05

Grundbegriffe Axiome

Formen der Wahrscheinlichkeit Subjektive Wahrscheinlichkeit Objektive Wahrscheinlichkeit Zufallsexperiment = aufgrund von Vermutungen / inneren Überzeugungen = auf Basis statistischer Beobachtungen - beliebig oft wiederholbarer Vorgang nach einer ganz bestimmten Vorschrift ausgeführt Ergebnis vom Zufall abhängig nicht im Voraus eindeutig bestimmbar (Kreyszig, 1973, S. 50)

Grundbegriffe Elementarereignis = Ergebnis eines Zufallsexperimentes ω1=1, ω2=2, ω3=3, ω4=4, ω5=5, ω6=6 Menge der Elementarereignisse (Ω) = Menge aller mit einem Zufallsexperiment verbundenen Elementarereignisse Ω={ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6} ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Ereignis = Teilmenge zusammengefasster Elementarereignisse A: „Gerade Augenzahl“ ⇒ A={2, 4, 6}

Beispiel A = Gymnasium B = Realschule C = Hauptschule Schulart Schüler Nr. D = die 3 intelligentesten Schüler E = die 3 am wenigsten intelligentesten Schüler (D) IQ 2 A B C 1 2 3 101 108 115 4 5 6 7 92 93 99 103 8 9 10 86 95 94 3 7 1 6 (B) (A) 4 1 0 9 (C) 5 8 (E) A ={1, 2, 3} B ={4, 5, 6, 7} C ={8, 9, 10} D ={2, 3, 7} E ={8, 9, 10} Aus den 10 Schülern wird Schüler 1 oder 2 oder 3 ausgewählt Ereignis A tritt ein

Grundbegriffe Sicheres Ereignis = Das Ereignis, das alle Elemente von Ω enthält Unmögliches Ereignis = Das Ereignis, das kein Element enthält F: „Person ohne Schulbesuch“ F = {} oder

Vereinigung von Ereignissen A UND D A ODER D A UND B UND D

Wahrscheinlichkeit ordnet dem Eintreten eines Ereignisses einen numerischen Wert zwischen 0 und 1 zu. Je näher die Wahrscheinlichkeit an der Zahl 1 ist, desto eher wird das Ereignis eintreten. Die klassische Methode zur Wahrscheinlichkeitsberechnung: Laplace (1749 – 1827): Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse gleich sind. Kurzform:

Wahrscheinlichkeit Die statistische Methode zur Wahrscheinlichkeitsberechnung: Mises (1936): Berechnung der Wahrscheinlichkeiten anhand der relativen Häufigkeitsverteilungen statistischer Merkmale P(Ai): ni : hi : statistische Wahrscheinlichkeit für das i-te Ereignis absolute Häufigkeit des i-ten Ereignisses im Datensatz relative Häufigkeit des i-ten Ereignisses im Datensatz

Beispiel Klasse Größe der Personen in cm Absolute Häufigkeit von i bis unter Relative Häufigkeit ni Kumulierte relative Häufigkeit hi= n/ni 1 149 158 5 0, 25 2 158 167 5 0, 25 0, 5 3 167 176 4 0, 2 0, 7 4 176 185 2 0, 1 0, 8 5 185 194 4 0, 2 1 ∑ - - 20 1 - Wahrscheinlichkeitsbestimmung anhand empirischer Daten

Axiome Kolmogoroff (1933): Mathematischer Umgang mit Wahrscheinlichkeiten 1. Für die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses A gilt: 0 ≤ P(A) ≤ 1 2. Die Wahrscheinlichkeit eine sicheren Ereignisses ist 1 3. Sind zwei Ereignisse A und B disjunkt, gilt:

Wahrscheinlichkeit Die subjektive Methode zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung: Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten nach subjektiver Einschätzung: Basis: subjektives Urteil, Glauben, Überzeugung aufgrund von Erfahrungen und bisherigen Kenntnisse

ÜBUNG

Additions- und Multiplikationssätze Stochastische Unabbhängigkeit

Das komplementäre Ereignis . 50 Ereignis A Münze fällt auf Kopf Ereignis B Münze fällt auf Zahl Beispiel > Münzwurf

Das Additionstheorem. 20 Ereignis A Die Kugel bleibt auf Grün (Null) liegen . 50 Ereignis B Die Kugel bleibt auf Schwarz liegen . 05 Spielraum aller Ereignisse Beispiel > Roulette Ereignis C Die Kugel bleibt auf Rot liegen

Das Multiplikations. Theorem Ereignis A Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Karte eine 9 oder 10 ist . 20 . 50. 05 Durchgang ° 1 Durchgang ° 2 Ereignis B Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Karte ein Bube ist Beispiel > Poker Ereignis C Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Karte Herz ist

Stochastische Unabhängigkeit & bedingte Wahrscheinlichkeiten Stochastische Unabhängigkeit Bedingte Warscheinlichkeiten • “Ist dann gegeben, wenn die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses B nicht vom Auftreten von A abhängt” – Malte Persike • Wenn bereits eine Information gegeben ist, welche Auskunft über Wahrscheinlichkeiten geben kann • Beispiel: Anna hat beim Blackjack Karten gezählt und weiß jetzt, dass man mit Buben kaum noch rechnen kann

Übersicht Das komplementäre Ereignis Das Additionstheorem A = Kopf B = Zahl Das Multiplikationstheorem Elementare Fragen Þ Sind die Ereignisse disjunkt? Þ Welche Ereignisse können stattfinden? Þ Sind die Ereignisse stochastisch unabhängig voneinander?

ÜBUNG

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Theorem von Bayes

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeitsbaum

Wahrscheinlichkeitsbaum

Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

Multiplikationssatz

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

ÜBUNG

In Kürze Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit verrät uns, wie man in einem mehrstufigen Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet. In einem Baumdiagramm entspricht jeder Ast einem Elementarereignis. Ein Ereignis entspricht mehreren Elementarereignissen. Die Berechnung erfolgt mit Hilfe der 2. Pfadregel.

Satz von Bayes

Satz von Bayes

ÜBUNG

Danke für die Aufmerksamkeit !

Quellen Textquellen § https: //www. colourbox. com/vector/two-black-dice-cubes-on-white-background-vector-9723482 § https: //www. mathebibel. de/ereignis-ereignisraum § https: //de. wikipedia. org/wiki/Pierre-Simon_Laplace § https: //de. wikipedia. org/wiki/Richard_von_Mises § T. Krickhahn. Statistik für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler für Dummies (1. Auflage 2013). Wiley-VCH Verlag Gmb. H & Co. KGa. A. § J. Bortz & C. Schuster. Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler (7. Auflage 2010). Springer-Verlag Belin Heidelberg New York. § Vorlesungsinhalte der Statistik-Vorlesung bei Malte Persike Bildquellen § https: //lernbasar. de/verschlungene-pfade. php § https: //de. 123 rf. com/photo_62342437_fragezeichen-und-mann-3 d-darstellung-auf-wei%C 3%9 Fem-hintergrund. html § http: //atfd. pbworks. com/w/page/108560893/Wahrscheinlichkeit