VEKTRLER KT 1 Mekanik olaylar lmekte ya da

VEKTÖRLER KT 1

Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler: • Skaler büyüklük: sadece bir sayısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif veya negatif olabilir. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça kullanılan skalerlerdir. • Vektörel büyüklük: Şiddet, doğrultu ve yön ile belirtilen fiziksel bir büyüklüktür. Kuvvet, moment, konum vektörel birer büyüklüktür. Vektör, yönlenmiş bir doğru parçasıyla temsil edilir. KT 2

• Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. • Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir. • Bu şekilde gösterilen vektörün şiddeti “A” ile ifade edilir. KT 3

Vektörel İşlemler • Vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü • bir vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü, yine aynı vektör doğrultusunda yeni bir vektör verir. Bu vektörün şiddeti, skaler ile mevcut vektörün şiddetinin çarpımına eşittir KT 4

Vektörlerin Toplamı • Vektörler paralelkenar ilkesi kullanılarak birbiriyle toplanır. A ve B vektörleri başlangıç noktalarında birleştirilir. Her bir vektörün ucundan diğer vektöre çizilen paralel doğrular paralelkenarı oluşturur. R bileşkesi A ve B’nin başlangıcından doğruların kesiştiği noktaya çizilen doğrudur. R bileşkesi paralelkenarın köşegenidir. KT 5

Vektörlerin Toplamı • A ve B vektörlerini paralelkenar ilkesinin özel bir uygulaması olan “üçgen ilkesi”ne göre de toplayabiliriz. • A vektörünün ucuna B vektörü eklenir, A’nın başlangıcı ile B’nin ucu birleştirilir ve R bileşke vektör elde edilir. Vektör toplamı komutatif’tir, vektörler herhangi bir sırada KT toplanabilir. 6

Vektörlerin Toplamı • A ve B vektörü aynı etki çizgisine sahipse paralelkenar kuralı cebirsel (skaler) toplama indirgenir. • R= A+B (şiddetlerin toplamı) KT 7

Vektör Çıkarması • A ve B vektörlerinin çıkarılması için paralelkenar veya üçgen kuralı kullanılabilir. A ve B vektörleri arasındaki fark bileşke vektörü: • Vektör toplamı için uygulanan kurallar vektör çıkarması için de kullanılmaktadır. KT 8

Kuvvetlerin Vektörel Toplamı • Kuvvetler, belli bir büyüklük, doğrultu ve yöne sahiptir ve vektörel bir büyüklük olduğu için paralelkenar kuralına göre toplanır. • Statikteki iki genel problem: – Bileşenlerden bileşke kuvvet bulmak – Bilinen bir kuvveti bileşenlerine ayırmak KT 9

Bir kuvvetin bileşenlerine ayrılması • Bir noktaya etkiyen bir tek vektör yerine aynı etkiyi yapacak iki veya daha fazla vektör koymak mümkündür. Bunlara vektörün bileşenleri denir. Bu bileşenleri bulabilmek için: – İki bileşenden düzlemde biri, uzayda ise üç bileşenden ikisi bilinmelidir. – Bileşenlerin tesir çizgileri bilinmelidir. KT 10

İkiden fazla kuvvetin toplanması • İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, bileşke kuvveti bulmak için paralelkenar kuralı birden fazla uygulanabilir. KT 11

Analizde izlenecek yol • Paralelkenar kuralı • Trigonometri KT 12

Örnek 1 • F 1 ve F 2 kuvvetlerinin bileşkesini ve yönünü bulunuz. • Çözüm: KT 13

Örnek 1 • Kosinüs teoremi’nden: • Sinüs teoreminden: KT 14

Örnek 2 200 N KT • Bu iki kuvvetin bileşkesinin y ekseni üzerinde olması için F kuvvetinin şiddetini bulunuz. 200 N 15

ödev • Ödev 1: 600 N’luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N KT • Ödev 2: F 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü ve bileşke kuvveti bulunuz. (bileşke kuvvet x ekseni üzerinde, F 2 kuvveti ise minimum şiddette olsun) 16

Düzlemsel kuvvetlerin toplanması (Kartezyen Koordinatlar) • Eğer bir kuvvet x ve y eksenlerindeki bileşenlerine ayrılırsa, bu bileşenlere “kartezyen bileşenler” denir. • x ve y eksenleri pozitif ve negatif yönler belirttiklerinden, bir kuvvetin dik bileşenlerinin büyüklüğü ve yönü cebirsel skalerlerle ifade edilebilir. Skaler gösterim: KT 17

• F vektörünün yönü, açısı yerine küçük eğim üçgeni ile de gösterilebilir. • Fy vektörünün yönü negatif y ekseninde olduğundan y bileşeni negatiftir, bu nedenle hesaplamalarda (-) işareti kullanılmalıdır. KT 18

Kartezyen vektör gösterimi • Bir kuvvetin bileşenleri, kartezyen birim vektörler cinsinden ifade edilebilir. x ve y eksenlerinin doğrultularını belirtmek için sırasıyla i ve j kartezyen birim vektörleri kullanılır. Bu vektörler, boyutsuz birim uzunluktadır ve yönleri (ok ucu), pozitif veya negatif x ve y eksenini işaret etmesine bağlı olarak, artı veya eksi işareti ile gösterilir. KT 19

Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri • Bir kuvvetin bileşenlerini göstermede kullanılan iki yöntem de çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini belirlemek için de kullanılabilir. Bunun için, her bir kuvvet önce x ve y bileşenlerine ayrılır ve sonra karşılıklı bileşenler aynı doğru üzerinde bulunduklarından skaler cebir kullanılarak toplanır. KT 20

Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri VEKTÖREL TOPLAM SKALER TOPLAM KT 21

İkiden fazla kuvvetin toplanması • Herhangi bir sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesinin x ve y bileşenleri, bütün kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin cebirsel toplamıyla bulunabilir. KT 22

• Bileşkenin bileşenleri belirlendikten sonra, şekildeki gibi, x ve y eksenleri boyunca çizilebilir. Bileşke kuvvet vektör toplamından belirlenebilir. Bileşkenin büyüklüğü ve yönü ise şu şekilde bulunabilir. KT 23

Örnek 3: • Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini birim vektörleri kullanarak bulunuz KT 24

Örnek 3: KT 25

Ödev 3 -4 • Etkiyen kuvvetlerin bileşkesinin y ekseni boyunca olması ve şiddetinin de 800 N olması için F 1 kuvvetinin şiddetini, açısının ne olması gerektiğini bulunuz • Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini birim vektörleri kullanarak bulunuz KT 26

Kartezyen Vektörler • Vektör işlemleri, üç boyutlu problemlerin çözümüne uygulanırken vektörler kartezyen vektör formunda ifade edilirse işlem basitleşir. • Sağ El Koordinat Sistemi: – Vektör cebri işlemlerinde sağ el koordinat sistemi kullanılacaktır. KT 27

Bir vektörün kartezyen bileşenleri • Bir A vektörünün x, y, z koordinat eksenlerinde bileşenleri olabilir. Paralelkenar kuralını iki kez arda uygulayarak; KT 28

Kartezyen birim vektörler • Üç boyutlu uzayda, i, j, k kartezyen birim vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. Şekilde verilen vektörler, pozitif birim vektörlerdir. KT 29

Kartezyen vektör gösterimi • Vektörleri kartezyen bileşenler cinsinden yazmak önemli bir avantaj sağlar. Her bileşen vektörün şiddeti ve yönünü belirtir. KT 30

Kartezyen vektörün büyüklüğü • Kartezyen vektör formunda ifade edilen bir A vektörünün şiddetini bulmak için: KT 31

Kartezyen vektörün yönleri • A vektörünün doğrultusu, A’nın başlangıç noktası ve bu noktada yer alan pozitif x, y, z eksenleri arasında ölçülen (alfa), (beta), (gama) doğrultu açıları ile tanımlanır. Bu açılar 0 ile 180 arasındadır. • , ve ’yı belirlemek için A’nın x, y, z eksenleri üzerindeki izdüşümleri kullanılır. KT 32

Yön kosinüsleri KT 33

• A vektörünün doğrultu kosinüslerini elde etmenin kolay bir yolu, A doğrultusunda birim vektör oluşturmaktır. u. A’nın büyüklüğü 1 olduğundan; KT ** Eğer bir vektörün şiddeti ve yön kosinüsleri biliniyorsa, A vektörü kartezyen koordinatlarda ifade edilebilir. 34

Kartezyen vektörlerin toplanması KT 35

Örnek 4 F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz. Fx (+x) yönünde olduğu için 60° olmalı KT 36

Ödev 5 • F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz ve F kuvvetinin yön kosinüslerini bulunuz KT 37

Pozisyon (Konum) Vektörleri • Pozisyon vektörü uzaydaki herhangi iki nokta arasında yönelen bir kartezyen kuvvet vektörünü formüle etmek açısından önemlidir. • r pozisyon vektörü, bir noktanın uzaydaki konumunu diğer bir noktaya göre belirleyen sabit bir vektördür. KT 38

• Daha genel bir halde, pozisyon vektörü uzaydaki A noktasından B noktasına da yönelebilir. Vektör toplamı KT 39

• r konum vektörü, i, j, k bileşenleri, vektörün başlangıcının koordinatları A (x. A, y. A, z. A), ucuna karşı gelen koordinatlardan B (x. B, y. B, z. B) çıkartılarak bulunabilir. • Ayrıca, bu üç bileşenin uç uca eklenmesi r’yi verir. A’dan başlıyarak B’ye ulaşılıyor. KT 40

KT 41

Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü • Üç boyutlu statik problemlerinde, bir kuvvetin doğrultusu genellikle etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir. Şekildeki F kuvveti buna bir örnektir. Doğrultusu A’dan B’ye olan F kuvveti kartezyen vektör şeklinde ifade edilebilir. KT 42

Bir doğru boyunca yönelen veya iki nokta arasında uzanan kuvvet vektörü KT 43

Örnek 5 • Şekilde gösterilen çatı, AB ve AC zincirleriyle taşınmaktadır. A noktasına etki eden bileşke kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin. KT 44

KT 45

Ödev 6 • A noktasına etki eden kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin. KT 46

Nokta (Skaler) Çarpım • Statikte bazen iki doğru arasındaki açının, veya bir kuvvetin bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması gerekir. İki boyutlu problemlerde trigonometri ile çözülebilir, ancak 3 boyutluda çözüm için vektör yöntemleri uygulanmalıdır. • Skaler çarpım, iki vektörün çarpımı için özel bir yöntemdir. • A ve B vektörlerinin skaler çarpımı, A B şeklinde yazılır ve A skaler çarpım B diye okunur. A ve B’nin büyüklükleri ile iki vektör arasındaki açının kosinüsünün çarpımı olarak tanımlanır. KT 47

• Bu çarpıma skaler çarpım veya nokta çarpım da denir. Bu işlemin kuralları : – Değişme özelliği (komütatiflik ) – Skaler ile çarpım – Dağılma kuralı (distributiflik) KT 48

Kartezyen vektör formülasyonu Formülünü kullanarak kartezyen birim vektörlerin çarpımını bulmak için kullanılabilir. Örneğin: KT 49

Uygulamalar • Skaler çarpımın mekanikte iki önemli uygulama alanı vardır: – 1) İki vektör veya kesişen doğrular arasındaki açı KT 50

Uygulamalar • 2) Bir vektörün bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması: Aa: a-a doğrultusundaki A vektörünün bileşeni. A’nın izdüşümü de denir. a-a’nın doğrultusu ua birim vektörüyle belirlenmişse, Aa vektörünün şiddeti skaler çarpımla bulunabilir. KT 51

• A vektörünün dik bileşeni: KT 52

ÖRNEK 6 Şekilde verilen F kuvvetinin AB çubuğuna paralel ve dik bileşenlerini bulunuz. A (0; 0; 0) KT B (2; 6; 3) 53

KT 54