VEKTOR Tri Rahajoeningroem MT T Elektro UNIKOM Tujuan

VEKTOR Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM

Tujuan Pembelajaran Mahasiswa dapat memahami besaran vektor Mahasiswa dapat memahami dan dapat mengoperasikan besaran vektor Mahasiswa mampu menggunakan besaran vektor untuk memecahkan permasalahan dalam bidang medan elektromagnetik

Outline Definisi besaran vektor dan skalar Cara menuliskan besaran vektor Operasi matematik vektor (penjumlahan dan perkalian) Sifat-sifat perkalian vektor Vektor satuan Analisa vektor

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : § Skalar § Vektor Ø Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu, suhu, volume, laju, energi Catatan : skalar tidak tergantung sistem koordinat Ø Besaran Vektor z Besaran yang dicirikan oleh besar dan arah. Contoh : kecepatan, percepatan, gaya Catatan : vektor tergantung sistem koordinat y x

PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI) VEKTOR Gambar : P Q Titik P : Titik pangkal vektor Titik Q : Ujung vektor Tanda panah : Arah vektor Panjang PQ = |PQ| : Besarnya (panjang) vektor Notasi Vektor A Huruf tebal Besar vektor A = A= |A| (pakai tanda mutlak) Pakai tanda panah di atas A Huruf miring Catatan : • Untuk selanjutnya pada handout ini notasi vektor yang digunakan huruf tebal • Untuk penulisan dalam tugas dan ujian pakai tanda panah di atas

a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama A B b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika A=B : 1. Besar sama, arah berbeda A B A B 2. Besar tidak sama, arah sama A B 3. Besar dan arahnya berbeda A B

OPERASI MATEMATIK VEKTOR 1. Operasi jumlah dan selisih vektor 2. Operasi kali JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR 1. Jajaran Genjang 2. Segitiga 3. Poligon 4. Uraian Metode : 1. Jajaran Genjang B B A +B A R= = A S + = B A- -B Besarnya vektor R = | R | = Besarnya vektor S = |S| = R = A+ B S = A- B

§ Jika vektor A dan B searah θ = 0 o : R = A + B § Jika vektor A dan B berlawanan arah θ = 180 o : R = A - B § Jika vektor A dan B Saling tegak lurus θ = 90 o : R = √(A 2+B 2) Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik 2. Segitiga B B A+ = + A 3. Poligon (Segi Banyak) D B C A + + + D = C A+B+C+D A B

4. Uraian Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y) Y Ay A = Ax. i + Ay. j ; B = Bx. i + By. j A B By Ax Bx Ax = A cos θ ; Bx = B cos θ Ay = A sin θ ; By = B sin θ X Besar vektor A + B = |A+B| = |R| Rx = A x + B x |R| = |A + B| = Arah Vektor R (terhadap sb. x positif) = tg θ = arc tg Ry = A y + B y

PERKALIAN VEKTOR 1. Perkalian Skalar dengan Vektor 2. Perkalian vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product) b. Perkalian Silang (Cross Product) 1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor k : Skalar A : Vektor C=k. A Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A Catatan : § Jika k positif arah C searah dengan A § Jika k negatif arah C berlawanan dengan A k = 3, A C = 3 A

2. Perkalian Vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product) A B os c B θ =C Hasilnya skalar C = skalar Besarnya : C = |A||B| Cos θ A = |A| = besar vektor A B = |B| = besar vektor B Θ = sudut antara vektor A dan B A θ B A cos θ

1. Komutatif : A B = B A 2. Distributif : A (B+C) = (A B) + (A C) Catatan : 1. Jika A dan B saling tegak lurus A B = 0 2. Jika A dan B searah A B = IA I IBI 3. Jika A dan B berlawanan arah A B = - IA I I BI

b. Perkalian Silang (Cross Product) Hasilnya vektor C=Ax. B B θ A C=Bx. A Catatan : Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan Besarnya vektor ICI = IA x BI = IAI. IBI sin θ Sifat-sifat : 1. Tidak komutatif A x B= B x A 2. Jika A dan B searah atau berlawan arah A x B = 0

Vektor Product (Cross Product) Dalam bentuk komponen vektor v b a n 14 Utk mengingat rumus di atas (ingat rumus determinan matrik)

Ø Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan i i = j j = k k = 1 i j = j k = k i = 0 Ø Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan ixi jxj = kxk ixj = k jxk = i kxi = j = = 0 k i j

VEKTOR SATUAN q Vektor satuan adalah sebuah vektor yang didefinisikan sebagai satuan vektor. q Jika digunakan sistem koordinat Cartesian (koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x dan sumbu y dan sumbu z. q Vektor satuan pada sumbu x adalah i, vektor satuan pada sumbu y adalah j dan pada sumbu z adalah k. q Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnya adalah satuan

VEKTOR SATUAN Vektor yang besarnya satuan Besar Vektor Notasi Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak) Z k A j i X Arah sumbu x : Arah sumbu y : Arah sumbu z : Y

PROYEKSI VEKTOR Tentukan Proj. B on A

Gradien, Divergensi & Curl Operator del n Gradien

Divergensi n Curl

Contoh Soal 1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut : y C Besar dan arah vektor pada gambar di samping : B A D Vektor Besar (m) Arah (o) A 19 0 B 15 45 C 16 135 D 11 207 E 22 270 x E Hitung : Besar dan arah vektor resultan. Jawab : Vektor Besar (m) Arah(0) Komponen X(m) Komponen Y (m) A B C D E 19 15 16 11 22 0 45 135 207 270 19 10. 6 -11. 3 -9. 8 0 0 10. 6 11. 3 -5 -22 RX = 8. 5 RY = -5. 1 R Besar vektor R : R 2+= Ry 2 8. 52+ ( - 5. 1)2 X = Arah vektor R terhadap sumbu x positif : - 5. 1 tg = = - 0, 6 8. 5 = 9, 91 = 329. 030 (terhadap x berlawanan arah jarum jam ) = -30. 9° (searah jarum jam)

2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya ? Jawab : Vektor A = 2 i – 3 j + 4 k A = 2 2 2 + (-3) + 4 2 = 29 satuan 3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini, lalu tentukan sudut yang dibentuk antara keduanya : A = 2 i – 2 j + 4 k B = i – 3 j + 2 k Jawab : Perkalian titik : A. B = 2. 1 + (-2)(-3) + 4. 2 = 16 Perkalian silang : Ax. B = i 2 1 j - 2 - 3 k 4 2 = { (-2). 2 – 4. (-3)} i – {2. 2 – 4. 1} j + {2. (-3) – (-2). 1} k = (-4+12) i + (4 -4) j + (-6+2) k = 8 i + 0 j – 4 j = 8 i – 4 k

Soal Latihan Tiga titik A(2, -3, 1); B(-4, -2, 6); C(1, 5, -3) Cari : 1. Vektor dari A ke C Vektor satuan dari B ke A Jarak dari B ke C Sebuah medan vektor dinyatakan oleh W=4 x 2 y ax – (7 x+2 z) ay + (4 xy+2 z 2) az -ax+8 ay-4 az Cari : 0, 762 ax-0, 127 a y-0, 635 az Besar medan di P(2, -3, 4) 12, 45 Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P 2. 23 Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan

Diketahui F = 2 ax -5 ay-4 az ; G = 3 ax +5 ay+2 az Cari : 3. F. G Sudut antara F dan G Panjang proyeksi F pada G Proyeksi vektor F pada G 4. Diketahui F = -45 ax +70 ay+25 az ; G = 4 ax -3 ay+2 az Cari : 24 -27, 0 Fx. G 130, 8 ax (ay xo F) -4, 38 (ay x ax ) x F Vektorx-3, 55 a satuan yyang tegak lurus F pada G -2, 13 a -1, 42 a z

5. Jika A = 2 ax+2 ay-3 az, B = ax-2 ay+az dan C = -ax+ay 4 az. Tentukan : a. A. (Bx. C) b. C. (Ax. B) c. Ax(Bx. C) d. Cx(Ax. B) 6. Jika vektor A = 3 x 2 y ax + yz 2 ay – xz az, Tentukan : a. ▼A b. ▼. A c. ▼x. A