UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA’ DI ECONOMIA Corso di Corporate Banking a. a. 2010 – 2011 (Professor Eugenio Pavarani) Introduzione al rischio CAPITOLO 9 2

Indice della lezione • Rischio e rendimento per titoli singoli • La Teoria di Portafoglio di Markowitz 3

Incertezza e rischio: sinonimi? • Le imprese assumono decisioni senza conoscere i risultati delle loro azioni (dipendono da circostanze future non note) • Le imprese operano in regime di incertezza • Si parla di incertezza e di rischio: non sono sinonimi • L’incertezza qualifica fenomeni cui non è possibile attribuire probabilità di accadimento in diversi scenari futuri 4

Incertezza e rischio: sinonimi? • Il rischio fa invece riferimento al concetto di volatilità. Si attribuisce una distribuzione di probabilità ai risultati possibili e si misura la distanza media rispetto ad un valore medio atteso • Questa ipotesi di lavoro consente l’adozione di strumenti matematici e statistici per la descrizione della realtà e riconduce il problema delle scelte ad un quadro di razionalità • I modelli di analisi degli investimenti finanziari e la Teoria di Portafoglio costituiscono la base teorica per implementare un processo razionale di scelte aziendali in contesto di incertezza interpretata in chiave di rischio 5

Le Ipotesi della Capital Market Theory 1. gli investitori sono razionali e avversi al rischio 2. valutano le alternative basandosi sul rendimento atteso (media ponderata dei possibili risultati futuri avendo assegnato ad ognuno una probabilità) e sul rischio (volatilità dei risultati previsti intorno al valore atteso) basandosi sull’osservazione del passato 3. tutti gli investitori hanno attese omogenee: stimano nel medesimo modo la distribuzione di probabilità dei tassi di rendimento futuri 4. Gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale per la valutazione 6

Le Ipotesi della Capital Market Theory 5. gli investimenti sono infinitamente divisibili 6. non esistono costi di negoziazione e imposte 7. non vi è inflazione e qualsiasi variazione dei tassi di interesse è anticipata nei prezzi 8. i mercati dei capitali sono in equilibrio 7

Il rendimento di un titolo azionario Prezzo (t) – Prezzo (t-1) + Dividendi (t-1, t) R(t) = Prezzo (t-1) • L’orizzonte temporale oggetto di analisi può essere giornaliero, settimanale, mensile, semestrale, annuale, pluriennale • Esempio: p(t) = 100 ; p(t-1) = 90; div(t-1, t) = 6 R(t) = 100 – 90 + 6 90 = 17, 77% 8

Il rischio di un titolo azionario • viene misurato in termini di volatilità, attraverso un indicatore denominato scarto quadratico medio (SQM) Rendimento medio Rendimento t-esimo Scarto + 0 rendimenti giornalieri • Lo SQM misura lo scarto medio rispetto alla media dei rendimenti 9

Il rendimento medio di un titolo azionario • Maggiori sono gli scarti rispetto al rendimento medio, maggiore è il rischio di un titolo: si ha una maggiore volatilità dei rendimenti • Esempio: il titolo A ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri +4% -10% +8% +5% +2% • Rendimento medio giornaliero: 1, 8% (+4%-10%+8%+5%+2%) / 5 = 1, 8% come si misura il rischio ? 10

Il calcolo dello scarto quadratico medio • La varianza è pari alla media degli scarti elevati al quadrato ( 2) • Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza ( ) • Il titolo A ha avuto un rendimento giornaliero medio pari all’ 1, 8% e uno scarto quadratico medio pari al 6, 21% 11

Il criterio di scelta dei titoli • Gli investitori razionali scelgono gli investimenti considerando il rendimento atteso e la volatilità E(R) Il titolo A è preferibile rispetto a B poiché, a parità di rendimento atteso, è caratterizzato da minor rischio A B 12

Il criterio di scelta dei titoli E(R) Il titolo C è preferibile rispetto a D poiché a parità di rischio, è caratterizzato da maggior rendimento atteso C D 13

Il criterio di scelta dei titoli Non è possibile fare E(R) una scelta tra A e B poiché il primo, a fronte di un minor rendimento atteso, è caratterizzato da minor rischio B A La scelta deriva dal soggettivo grado di avversione al rischio 14

Le curve di indifferenza • Esprimono l’utilità che un soggetto E (R) ottiene realizzando un investimento finanziario • La curva identifica diverse combinazioni rischio-rendimento B A • Nella singola curva, l’utilità derivante dalle diverse combinazioni rischio-rendimento è la medesima (è indifferente assumere una combinazione piuttosto che un’altra lungo la curva) 15

Le curve di indifferenza • Esprimono l’utilità che un soggetto E (R) ottiene realizzando un investimento finanziario • La curva identifica diverse combinazioni rischio-rendimento • A parità di rischio o a parità di rendimento la scelta ricade su titoli che giacciono sulla curva più alta 16

Le curve di indifferenza COME SCEGLIERE TRA A e B ? • L’investitore sceglie la combinazione di rischio-rendimento che consente la maggior utilità • Le curve più in alto sono quelle caratterizzate da maggiore utilità per l’investitore E (R) B A 17

Le curve di indifferenza • Più la curva è inclinata, maggiore E (R) è l’avversione al rischio, perché l’investitore, per assumere un’unità addizionale di rischio, vuole un elevato incremento di rendimento atteso X B A • L’investitore X sceglie il titolo A (caratterizzato da basso rendimento e basso rischio) e non B perché gli consente di ottenere una maggiore utilità 18

Le curve di indifferenza • Se la curva è piatta E (R) l’investitore è poco avverso al rischio • L’investitore per ottenere un’unità addizionale di rendimento atteso è disposto ad accettare un elevato incremento del rischio Y B A • La combinazione rischio-rendimento che massimizza l’utilità per Y è B, perché gli consente di raggiungere la curva di indifferenza più elevata, e quindi, maggior utilità. 19

Indice della lezione • Rischio e rendimento per titoli singoli • La Teoria di Portafoglio di Markowitz 20

La costruzione di un portafoglio di titoli • L’investimento dell’intera ricchezza in un singolo titolo è un comportamento non razionale perché assoggetta la ricchezza investita ad un rischio elevato (lo si può intuire) Dall’approccio intuitivo all’approccio razionale: • La teoria di portafoglio indica come si possono costruire portafogli composti da più titoli per ottenere combinazioni rischio-rendimento più convenienti rispetto all’investimento in singoli titoli • Si pone il problema di calcolare il rischio e il rendimento 21 atteso di un portafoglio di titoli

Il rendimento atteso di un portafoglio • Il rendimento atteso E[R(p)] di un portafoglio rendimento formato dai titoli A e B (con pesi a e b) è pari alla media ponderata dei rendimenti dei due titoli E(Rp) = a ∙ E(RA) + b ∙ E(RB) • Il portafoglio P è formato dai titoli A e B assunti con percentuali rispettivamente pari ad (a + b) = 100% • Esempio: a = 40% b= 60% E(RA) = 5 % E(RB) = 7% • E[R(p)] = 40% * 5% + 60% * 7% = 6, 2% 22

Il rischio di un portafoglio • Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli A e B (con rischio pesi a e b) è misurato dalla varianza ²p e dallo SQM p ²p = a²∙ ²A + b²∙ ²B + 2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB ²A : varianza rendimenti del titolo A ²B : varianza rendimenti del titolo B A : sqm rendimenti titolo A B : sqm rendimenti del titolo B A∙ B∙ AB : covarianza tra i rendimenti AB : coefficiente di correlazione tra i rendimenti 23

Il rischio di un portafoglio • Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli A e B (con rischio pesi a e b) è dato dalla varianza ²p covarianza ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB coeffic. te di correlazione la covarianza tra i rendimenti di A e di B ( AB) è data da: N cov. AB = ∑ (xj – Mx) (yj – My) J=1 ________ N cov. AB = A ∙ B ∙ AB il coefficiente di correlazione tra i rendimenti di A e di B è dato da: AB = cov. AB / A ∙ B assume valori compresi tra +1 e -1 24

• Il titolo A ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri (oppure avrà i seguenti valori attesi secondo una distribuzione di probabilità) +4% -10% +8% +5% +2% • Rendimento medio giornaliero: 1, 8% (+4%-10%+8%+5%+2%) / 5 = 1, 8% • Il titolo B ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri (oppure avrà i seguenti valori attesi secondo una distribuzione di probabilità) -2% +12% -6% -3% +0% • Rendimento medio giornaliero: 0, 2% (-2%+12%-6%-3%+0%) / 5 = 0, 2% Costruiamo il portafoglio AB con 50% di A e 50% di B 25

Radice quadrata della varianza gg 1 2 3 4 5 rend. medio titolo A 4% -10% 8% 5% 2% 1, 8% Somma degli scarti al quadrato diviso n titolo B portaf. AB (Aj - MA) (Bj - MB) -2% 12% -6% -3% 0% 0, 2% (Aj - MA)2 (Bj - MB)2 (Aj - MA) (Bj - MB) 1% 2, 2% 1% -11, 8% 1% 6, 2% 1% 3, 2% 1% 0, 2% 1, 0% -2, 2% 0, 0484% -0, 0484% 11, 8% 1, 3924% -1, 3924% -6, 2% 0, 3844% -0, 3844% -3, 2% 0, 1024% -0, 2% 0, 0004% -0, 0004% varianza 0, 3856% Somma dei sqm 6, 2097% prodotti degli -0, 3856% covarianza AB scarti diviso n 0, 3856% sqm. A * sqm. B -1 peso di A peso di B ρAB Covarianza diviso 0, 5 0, 0000% varianza portaf. AB portafoglio AB il prodotto degli 0, 0000% sqm portaf. AB sqm 1, 0% rend. portaf. AB il portafoglio AB ha rischio nullo e rendimento 1% 26

Perché il portafoglio AB ha rischio zero ? Rendimento giornaliero = 1% Scostamenti giornalieri dalla media =0 27

Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli A e B? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze AB BA AA BB PORTAFOGLIO AB Quanto rischio c’è nel portafoglio AB ? Dipende da quanto mettiamo di A e quanto di B (pesi) Dipende dale covarianze tra le combinazioni AB BA AA BB

Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli A e B? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze AB BA AA BB PORTAFOGLIO AB A Quanto rischio c’è nel portafoglio AB ? Dipende da quanto mettiamo di A e quanto di B (pesi) Dipende dale covarianze tra le combinazioni AB BA AA BB B A COV AB B COV BA COV BB Il rischio del portafoglio AB è dato dalla somma delle quattro caselle

Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli ? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze AB BA AA BB A B covarianza A B a∙a∙ A∙ A∙ AA a∙b∙ A∙ B∙ AB b∙b∙ B∙ B∙ BB coefficiente di correlazione = cov. AB / A ∙ B ²p = a²∙ ²A + b²∙ ²B + 2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB assume valori compresi tra 1 e -1 30

Il rischio di un portafoglio • Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli A e B (con rischio pesi a e b) è dato dalla varianza ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB • Il rendimento di un portafoglio è sempre pari alla media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli • Solo in un caso particolare lo SQM di un portafoglio è pari alla media ponderata degli SQM dei singoli titoli • Ciò si verifica quando il coefficiente di correlazione è uguale ad 1 31

Il coefficiente di correlazione • Il coefficiente di correlazione esprime il grado in cui due titoli si muovono congiuntamente • Esprime valori compresi tra -1 e 1 • Il coefficiente di correlazione è pari ad 1 quando se un titolo aumenta, anche l’altro titolo aumenta • Il coefficiente di correlazione è pari a -1 quando se un titolo aumenta l’altro diminuisce • Il coefficiente di correlazione è pari a zero quando i due titoli non hanno nessun legame (ad aumenti dell’uno possono corrispondere sia incrementi, sia decrementi dell’altro) 32

La covarianza ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB • Dipende dal coefficiente di correlazione e dalle volatilità dei due titoli • E’ la componente di volatilità del portafoglio dovuta al movimento congiunto dei due titoli • Se il coefficiente di correlazione è pari ad uno: ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ 1 = (a∙ A+b∙ B)2 p = a∙ A+ b∙ B allora lo SQM è pari alla media ponderata delle rispettive volatilità 33

La covarianza ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB • Dipende dal coefficiente di correlazione e dalle volatilità dei due titoli • E’ la componente di volatilità del portafoglio dovuta al movimento congiunto dei due titoli • Se il coefficiente di correlazione è inferiore ad uno: ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB es. = 0 il terzo addendo assume valore zero es. = -1 il terzo addendo assume valore negativo allora lo SQM è inferiore alla media ponderata delle rispettive volatilità 34

E’ possibile costruire infiniti portafogli combinando i due titoli • Se la correlazione tra i titoli A e B è E (R) perfetta (pari ad 1) i portafogli si dispongono su una retta • Il rendimento del portafoglio è la media ponderata dei rendimenti • Il sigma del portafoglio è la media ponderata dei sigma dei due titoli Molto titolo B, poco titolo A Molto titolo A, poco titolo B B Solo titolo B A 50%titolo A, 50% titolo B Solo titolo A 35

Con la costruzione di portafogli investitori aumentano la propria utilità • L’investitore X, molto E (R) avverso al rischio, non sceglie più un portafoglio composto dal solo titolo A, ma uno nel quale è compresa una quota del titolo B B X A • Coerentemente con la propria avversione al rischio sceglie un • Questa scelta gli consente di ottenere una portafoglio composto maggior utilità (può raggiungere una curva soprattutto da A (titolo di indifferenza posta più in alto) poco rischioso) 36

Con la costruzione di portafogli investitori aumentano la propria utilità • Anche Y, poco avverso al rischio, E (R) sceglie un portafoglio B composto sia dal Y titolo A, sia dal titolo B • Coerentemente con la propria minor A avversione, il portafoglio è composto soprattutto da B • Questa scelta gli consente di ottenere una (titolo più rischioso maggior utilità (consente di raggiungere una ma con maggior curva di indifferenza posta più in alto) 37 rendimento atteso)

Se la correlazione è inferiore ad uno ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB • Si riduce la covarianza – es. se il coeff. = 0, 5 il terzo addendo si dimezza – es. se il coeff. = 0 il terzo addendo si annulla – es. se il coeff. = - 0, 5 il terzo addendo si sottrae • Il rischio del portafoglio non è più pari alla media ponderata delle volatilità dei singoli titoli, ma è inferiore • Si realizza l’effetto diversificazione di portafoglio • La costruzione di un portafoglio di titoli con rendimenti non perfettamente correlati consente di ridurre il rischio complessivo rispetto alla media ponderata dei rischi 38

Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto diversificazione • L’insieme dei a parità di rendimento portafogli per i il rischio si riduce E (R) <1 quali non si può AB n o c fare una scelta secondo il criterio B media-varianza (ma 1 = si deve ricorrere AB on c alle curve di indifferenza) è detto frontiera A efficiente dei portafogli possibili ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB con AB < 1 39

Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto diversificazione • Per ogni singolo portafoglio E (R) costruibile con i titoli A e B si riduce il rischio a parità di rendimento • L’insieme dei portafogli possibili si sposta verso sinistra (a parità di rendimento atteso, minor rischio) B A ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB con AB < 1 40

Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto diversificazione • La semi-curva diventa la nuova E (R) frontiera efficiente B D • A nord non esistono portafogli; a sud esistono portafogli dominati F E C D domina C F domina E A ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB con AB < 1 41

Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto diversificazione • La semi-curva diventa la nuova E (R) frontiera efficiente B D F A 42

Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto diversificazione • Per l’investitore X cambia la scelta del portafoglio che E (R) consente di massimizzare l’utilità • Coerentemente con la propria avversione, sceglie un portafoglio che consente la riduzione del rischio e l’aumento del rendimento B X’ X A ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB con AB < 1 43

Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto diversificazione • Anche per l’investitore Y E (R) cambia la scelta del Y’ portafoglio che consente di B massimizzare Y l’utilità • Y sceglie un portafoglio che consente la A riduzione del rischio e l’incremento del rendimento atteso ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B+2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB con AB < 1 44

Se i titoli hanno correlazione nulla o inferiore a zero l’effetto di diversificazione è molto forte • Quando il coefficiente E (R) di correlazione diventa nullo o negativo si riduce fortemente il rischio a parità di rendimento: quando un titolo va male, l’altro va bene • L’effetto della covarianza sul rischio da incrementativo diventa decrementativo Frontiera Efficiente A n o c B <0 B A ²p = a²∙ ²A+b²∙ ²B - 2∙a∙b∙ A∙ B∙ AB con AB < 0 45

La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli Ipotesi : tre titoli A, B, C AB: Frontiera efficiente titoli A e B. BC: Frontiera efficiente titoli B e C. 46

La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli A C B Consideriamo ora il portafoglio D costituito dai titoli A e B 47

La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli A D C B Consideriamo ora il portafoglio D costituito dai titoli A e B 48

La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli • Se si considera il portafoglio D del tratto AB, è possibile costruire un’altra frontiera efficiente DC tra il titolo C e il portafoglio D. 49

La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli D C B A 50

La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli • Gli archi di curva costruiti in base a tutte le possibili combinazioni di titoli e portafogli danno vita alla frontiera AC relativa ai tre titoli. 51

La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli D C B A 52

La composizione di portafogli efficienti con N titoli Iterando il precedente processo di costruzione N volte, si ottiene la frontiera efficiente della regione delle opportunità ad N titoli, i cui punti hanno coordinate ( , ²) individuate dalle seguenti formule E(Rp) = i E(Ri) ∙ Xi ²p= i Xi²∙ ²(Ri)+ i j Xi∙Xj∙ (Ri)∙ (Rj)∙ i, j con i, j=1, 2, …. . n 53

La composizione di portafogli efficienti con N titoli Rendimento maggiore è il numero di titoli, maggiore è il vantaggio della diversificazione: si riduce la varianza dei portafogli poiché le correlazioni non perfette fra i titoli riducono le covarianze 0 Rischio ( ) 54