UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLAS DE HIDALGO INSTITUTO

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLAS DE HIDALGO INSTITUTO DE FISICA Y MATEMATICAS FERMIONES EN CAMPOS MAGNÉTICOS Ma. De Jesús Anguiano Adnan Bashir Alfredo Raya XXI REUNION ANUAL DE LA DIVISION DE PARTICULA S Y CAMPOS JUNIO 2007

CONTENIDO • • • MOTIVACIÓN ECUACION DE DIRAC EN (3+1) DIMENSIONES PECULIARIDADES EN EL PLANO ECUACION DE DIRAC EN (2+1) DIMENSIONES REPRESENTACION IRREDUCIBLE REPRESENTACION REDUCIBLE ECUACION τ-DIRAC CONDENSADO EN (3+1) DIMENSIONES CONDENSADO EN (2+1) DIMENSIONES CONDENSADO τ-DIRAC RESUMEN

MOTIVACION ¿Por qué el Plano? ¿Por qué Fermiones? ¿Por qué en Campos Magnéticos? ¿Por qué el Condensado?

¿Por qué el Plano ? 1. Tiene más riqueza que el espacio 3+1 2. El plano es un laboratorio simple para estudiar QED. 3. Teorías en d-dim. son el límite de las teorías en d+1 dimensiones a altas temperaturas 4. Tiene aplicaciones en materia condensada: superconductividad, efecto Hall Cuántico

¿Por qué Fermiones ? Entender la generación de masa para fermiones no es del todo satisfactorio en el modelo estándar y es no trivial en QCD En el plano, la simetría quiral y su rompimiento es de gran interés para física de partículas y materia

¿Por qué Campos Magnéticos ? 1. Los campos magnéticos catalizan la generación dinámica de masa para fermiones en QED 4 para cualquier valor de acoplamiento 2. Los campos magnéticos pueden ser importantes en la transición de fase electrodébil. 3. Pueden ser relevantes en materia condensada en la transición superconductora de antiferromagneto en algunos cupratos y el

¿Por qué el Condensado ? 1. -En QCD, el condensado quiral de quarks es responsable de dar masa “constituyente” a los quarks 2. -El condensado de Higgs escalar en el ME es responsable de dar masa a todas las partículas 3. - Un comportamiento similar se observa en presencia de campos magnéticos.

Ecuación de Dirac en (3+1) Dimensio Ecuación de Dirac en campo externo Usamos la siguiente representación Con el potencial

Ecuación de Dirac en (3+1) Dimensio

Ecuación de Dirac en (3+1) Dimensio

Ecuación de Dirac en (3+1) Dimensio donde

Ecuación de Dirac en (3+1) Dimensio En el nivel más bajo de Landau tenemos

Ecuación de Dirac en (3+1) Dimensio 1. - Partículas y anti-partículas de espín en la dirección opuesta a la dirección de su momentum no se encuentran en el nivel más bajo de Landau 2. - Partículas y anti-partículas de espín a lo largo de su momentum si se encuentran en el nivel más bajo de Landau

Peculiaridades en el Plano PARIDAD EN (3+1) DIMENSIONES En (3+1) dimensiones tenemos que la transformación de paridad se logra a través de: por lo que

Peculiaridades en el Plano PARIDAD EN (3+1) DIMENSIONES

Peculiaridades en el Plano PARIDAD EN (3+1) DIMENSIONES Estas soluciones bajo paridad se transforman como Con

Peculiaridades en el Plano ¿ Es lo mismo en (2+1) dimensiones? En el plano , la definición convencional de paridad no funciona pues esta se vuelve una rotación en un ángulo de π, perdiendo su carácter de simetría discre La definición de paridad que vamos a usar es

Peculiaridades en el Plano

Ecuación de Dirac en (2+1) dimensiones Representación irreducible Las representaciones inequivalentes que usaremos son

Ecuación de Dirac en (2+1) Primera Representación dimensiones

Ecuación de Dirac en (2+1) dimensiones Niveles de Landau n=0 En el nivel más bajo de Landau sólo encontramos al fermión

Ecuación de Dirac en (2+1) Segunda Representación dimensiones

Ecuación de Dirac en (2+1) dimensiones Niveles de Landau n=0 En el nivel más bajo de Landau sólo encontramos al anti-fermión

Ecuación de Dirac en (2+1) dimensiones Representación reducible Esta es la misma representación que usamos en el caso (3+1) dimensional

Ecuación de Dirac en (2+1) dimensiones

Ecuación de Dirac en (2+1) dimensiones

Ecuación de Dirac en (2+1) dimensiones Niveles de Landau n=0 Los estados son no degenerados Para n≠ 0 los estados son doblemente degenerados En el nivel más bajo de Landau tenemos solución de fermión y de anti-fermión

Ecuación de τ- Dirac Si tenemos Podemos definir En el Lagrangiano este me permite def Un término de masa mτ que viola parid

Ecuación de τ- Dirac Sin campo magnético Donde ahora al espinor lo podemos escribir como

Ecuación de τ- Dirac

Ecuación de τ- Dirac Con Campo Magnético

Ecuación de τ- Dirac Con Campo Magnético

Condensado (3+1) dimensiones Haciendo la segunda cuantización sobre las soluciones obtenidas Usando las relaciones de los operadores de creación y aniquilación El único término no cero es

Condensado (3+1) dimensiones n=0

Condensado (2+1) dimensiones con la representación Irreducible

Condensado Con la representación Reducible

Condensado y Si Definimos con Tenemos que

Resumen Para definir el lagrangiano más general posible en QED 3 debemos de redefinir a la paridad Cuando trabajamos con la representación irreducible de matrices γ obtenemos que en el nivel más bajo de Landau en una de ellas encontramos fermiones y en la o solo anti-fermiones. En los demás niveles de Landau si encontramos fermiones y antifermiones

Resumen Usando la representación irreducible obtenemos un condensado no físico. Usando la representación reducible este adquiere una realidad física Resolviendo la ecuación τ-Dirac obtenemos que su ma efectiva varia según su signo Tenemos dos condensados asociados a mt por la presencia de dos operadores bilineales.

Por el momento es todo ¡¡¡ GRACIAS!!!