Umlegung und Routenwahl A Horni IVT ETH Zrich

Umlegung und Routenwahl A. Horni IVT ETH Zürich Frühlingssemester 2010

Heute: • Verkehrsmodelle / 4 -Stufen-Modell (Repetition) • Herleitung Nutzergleichgewicht • Weitere Verteilungsgrundsätze • Stochastisches Nutzergleichgewicht • Systemoptimum • Umlegungsverfahren • Incremental Assignment • Method of Successive Averages (MSA) • Kürzeste Wege in Netzen Übungsblätter • Dikstra Algorithmus • Widerstandsfunktionen • BPR, Davidson 2

Verkehrsmodelle → Vier-Stufen-Verfahren Bemessung Wirkung von Massnahmen etc. (Prognose-)Modell für Verkehrsnachfrage 4 -Stufen- {Ansatz | Methode | Verfahren…} = Herz der Verkehrsplanung

Vier-Stufen-Modell Vorlesung (Woche) VL W 8 Übung Modelle z. B. Gravitationsmodell VL W 5 VL W 3 Übung 2 Übung 1 Entscheidungsmodelle: z. B. MNL Umlegungsmodelle: z. B. : MSA

2341 Verkehrserzeugung Verkehrsmittelwahl Verkehrsverteilung Umlegung Verkehrsanziehung (Grav. -Modell) (Routenwahl) 4 1 3 4→? Ziel Quelle Zürich 1 Frauenf 8 Zug 3 S 12 Ff 1 Zug S 4 6 6 4→? 12 5

Nutzergleichgewicht: Herleitung Gleiche fundamentale Mechanismen Homo oeconomicus Entscheider sind informiert durch Beobachtung Kostenminimierung Schalterwahl Kosten Wartezeit = belastungsabhängig Gleichgewicht: Keiner kann durch alleinigen Wechsel gewinnen (Nash) Bei allen Schaltern steht man (etwa) gleich lange an. 6

Nutzergleichgewicht: Routenwahl Entscheider sind informiert durch Vorwissen über die sich wiederholende Situation Homo oeconomicus Kostenminimierung Routenwahl generalisierte Kosten Reisezeit, Reisedistanz, Maut, Komfortkriterien, … Reisezeit = belastungsabhängig Nutzer-Gleichgewicht (Wardrop Gg): Alle Wege, die zwischen einem Quelle-Ziel-Paar benutzt werden, haben dieselben generalisierten Kosten. Alle nicht benutzten Wege zwischen einem Quelle-Ziel-Paar haben höhere generalisierte Kosten. 7

Routenwahl: Von Zürch nach Zug … Keiner kann durch alleinigen Wechsel gewinnen!

Routenwahl – weitere Verteilungsgrundsätze & Dynamik Homo oeconomicus Nutzerkosten Wahrnehmung ohne Fehler Soziale Kosten Dynamik Wahrnehmung mit Fehler Entscheider sind informiert … Kostenminimierung Routenwahl generalisierte Kosten Reisezeit, Reisedistanz, Maut, … Nutzer-Gleichgewicht (Wardrop 1. Prinzip) Stochastisches Nutzergleichgewicht Systemoptimum (Wardrop 2. Prinzip) → hypothetischer Vergleichszustand Z. B. Tropfenzähler, Road pricing etc. 9

Dynamik Statisch: • Modellierung der durchschnittlichen Belastung über längere Zeiträume: • Spitzenstunden (1 h, 2 h oder 4 h) • Tag Dynamisch: • Modellierung der Belastungen in kurzen Intervallen (15 min, 30 min) mit Berücksichtigung der Wechselwirkungen zwischen den Intervallen (Warteschlangen) • Genauer, aber hoher Aufwand → i. d. R. kleinere Untersuchungsgebiete 10

Wardrop‘s Nutzergleichgewicht Alle Wege, die zwischen einem Quelle-Ziel-Paar benutzt werden, haben dieselbe Reisezeit (generalisierten Kosten). Alle nicht benutzten Wege haben eine höhere Reisezeit (generalisierte Kosten) (Bsp. : Zürich → Zug via Genf) 11

Stochastisches Gleichgewicht Der Anteil der Reisenden auf jeder Route zwischen zwei Zonen entspricht der Wahrscheinlichkeit mit der diese Route von den Nutzern als die beste wahrgenommen wird. Die tatsächlichen Reisezeiten auf den Routen müssen demnach nicht gleich sein. 12

Systemoptimum Die Gesamtreisezeit (Summe der generalisierten Kosten) ist minimal. 13

Beispiel: Zwei Strecken – UE / SO Belastung auf Route 2 Systemoptimum SO Nutzergleichgewicht UE mittlere Fahrzeit Route 2 Route 1 Belastung auf Route 1 14

Zusammenfassung Kosten Nutzerkoste n Wahrnehmun g Ohne Fehler Konsistente Lösung Nutzergleichgewicht (UE) 1. Prinzip Wardrop Soziale Kosten Systemoptimum (SO) 2. Prinzip Wardrop Nutzerkoste n Stochastisches Nutzergleichgewicht (SUE) Mit Fehler Gewichtung der einzelnen Kostenelemente (z. B. Zeit, Distanz, Benzinverbrauch etc. ) : • für UE und SO meist homogen (da sonst ausserordentlich kompliziert) • für SUE häufig personenspezifisch. 15

Beispiel: UE 16

Umlegungsverfahren: Berechnung des Gleichgewichtspunktes • Riesige Anzahl von Netzwerkkanten, welche Einfluss aufeinander haben. • Nichtlineares System x → Nicht analytisch (oder graphisch) lösbar → Numerisches Verfahren wird benötigt Wie könnte das aussehen?

Berechnungsverfahren: Herleitung Unterschiedliche Schalen • → unterschiedliche Strassenparameter: z. B. Kapazität • → unterschiedlich effiziente Kassiererinnen

Umlegungsverfahren: • Verschiedene Umlegungsverfahren • Zwei zentrale Verfahren: Nicht iterativ: → Incremental assignment Iterativ: → Method of Successive Averages

Verfahren: „Incremental Assignment“ Nicht iterativ: Lege sukzessive kleine Portionen auf die jeweils leichtere Schale bis Mehl komplett auf der Waage. → Ortuzar S. 340 20

Verfahren: „Method of Successive Averages (MSA)“ Iterativ: Verschiebe solange Mehl von der schwereren Schale zur leichteren bis beide gleich* schwer sind. → Ortuzar S. 342 * Konvergenzkriterium hochgradig prüfungs- und übungsrelevant!

MSA – 2 Routen Iterativ: Anteil f von der langsameren auf die schnellere Route Belastung: x t: 50 min Anteil f von x A Belastung: y t: 40 min → min B

MSA – 3 Routen Iterativ: Anteil f von allen langsameren auf die schnellste Route Belastung: x t: 50 min Anteil f von x A B Belastung: y t: 40 min → min Anteil f von z Belastung: z t: 60 min

MSA → Ortuzar (Hilfsflüsse Fa) → Übung • Initialisierung: Zuordnen der Verkehrströme auf kürzeste Wege bei unbelastetem Netz • Iteration: • Berechnen der kürzesten Wege • Hilfsflüsse Fa : = alle Verkehrströme auf kürzesten Wegen • Zuordnung der neuen Verkehrsströme mit: • Fneu : = (1 -f) * Falt + f * Hilfsflüsse • Berechnen der neuen Reisezeiten t = f ( Fneu ) f: F: Parameter: 0<F<1 zu berechnender Verkehrsstrom auf Strecke 24

MSA → Ortuzar (Hilfsflüsse Fa) Salopp formuliert: => Anteil f von allen langsameren auf die schnellste Route Hilfsflussformulierung: Fneu : = (1 -f) * Falt + f * Fa → Fa = x + y + z (komplette Nachfrage auf günstigste Route) 1: (1 -f) * x Belastung: x t: 50 min 2: y + f * (x + z) A Fa 1 Anteil f von x 2 Belastung: y t: 40 min → min 1: (1 -f) * x + f * 0 B 2: (1 -f) * y + f * Fa = (1 -f) * y + f * (x+y+z) = y + f * (x + z) Anteil f von z 3: (1 -f) * z Belastung: z t: 60 min 3 3: (1 -f) * z + f * 0 iterativ bis GG erreicht

Für mehrere Quell-Zielbeziehungen analog Andermatt C t = f ( F 1 + F 2 ) Airolo A Quell-Zielbeziehung 1: Airolo-Göschenen Quelle: A Ziel: B (nicht C!) B Quell-Zielbeziehung 2: Andermatt-Göschenen Quelle: C Ziel: B Göschenen

Berechnung „schnellster (günstigster) Wege“ Wird in Umlegung gebraucht Vielzahl von Algorithmen Drei Grundklassen: • Matrixverfahren (Beispiel: Floyd) • Verfahren mit eingeschränkten Kandidatenlisten (Beispiel Dijkstra → prüfungsrelevant) • Verfahren mit offenen Kandidatenlisten (Beispiel Moore) Unterschiede in Speicherplatz, Rechenzeit, Komplexität des Kodes 27

Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] • Startknoten als Arbeitsknoten und als definitiv markieren • Restliche Knoten als unerreichbar markieren (d=∞) A I: C • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger. II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht. III: Verfolge die Route beginnend beim Zielknoten zurück B D E F Vorgänger. Knoten definitiv 0: Initialisierung

Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] • Startknoten als Arbeitsknoten und als definitiv markieren • Restliche Knoten als unerreichbar markieren (d=∞) Vorgänger. Knoten A 0 - B ∞ - C ∞ - D ∞ - E ∞ - F ∞ - definitiv 0: Initialisierung x

I: • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger. Knoten A 0 - B 4 A C ∞ - D ∞ - E 7 A F ∞ - definitiv Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] x

II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht. Vorgänger. Knoten definitiv Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] A 0 - x B 4 A x C ∞ - D ∞ - E 7 A F ∞ -

I: • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger. Knoten definitiv Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] A 0 - x B 4 A x C 13 B D ∞ - E 6 B F ∞ -

II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht. Vorgänger. Knoten definitiv Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] A 0 - x B 4 A x C 13 B D ∞ - E 6 B F ∞ - x

I: • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger. Knoten definitiv Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] A 0 - x B 4 A x C 13 B D 14 E E 6 B F 8 E x

II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht. Vorgänger. Knoten definitiv Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] A 0 - x B 4 A x C 13 B D 14 E E 6 B x F 8 E x

I: • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger. Knoten definitiv Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] A 0 - x B 4 A x C 11 F D 14 E E 6 B x F 8 E x

II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht. Vorgänger. Knoten definitiv Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] A 0 - x B 4 A x C 11 F x D 14 E E 6 B x F 8 E x

I: • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger. Knoten definitiv Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] A 0 - x B 4 A x C 11 F x D 13 C E 6 B x F 8 E x

II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht. Vorgänger. Knoten definitiv Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min] A 0 - x B 4 A x C 11 F x D 13 C x E 6 B x F 8 E x

Vorgänger. Knoten A 0 - x B 4 A x C 11 F x D 13 C x E 6 B x F 8 E x A→ B→ E→ F→ C→ D : 13 III: Verfolge die Route beginnend beim Zielknoten zurück definitiv Aktuelle Reisezeit zum Startknoten [min]

Widerstandsfunktionen: Reisezeit = f ( Belastung ) Mit weicher Abbildung der Leistungsfähigkeitsgrenze, Mit harter Abbildung der Leistungsfähigkeitsgrenze, z. B. Bureau of Public Roads (BPR-Funktion) z. B. Davidson: i: qi: t 0 i: Li: J, , : Strecke i Belastung auf Strecke i Fahrtzeit bei unbelasteter Strecke Leistungsfähigkeit Parameter Formeln für Widerstandsfunktionen stehen in Prüfungsformelsammlung → muss man „nur“ anwenden können. 41

Widerstandsfunktionen 42

Zum Schluss: MSA - Rechenbeispiel Hirzel-Route t 0, Hirzel = t 0, Sihltal = 35 min B A Hirzel = Sihltal = 0. 25 Sihltal-Route Hirzel= Sihltal = 2 Nachfrage 3000 Fzg. /h LHirzel = LSihltal =2000 Fzg. /h Sihltal f konstant 0. 2 Hirzel It q Fzg/h t (min) 0 3000 55 0 35 20 1 2400 48 600 36 12 0. 2 * 3000 Fzg. /h → 600 Fzg. /h 2 1920 43 1080 38 5 0. 2 * 2400 Fzg. /h → 480 Fzg. /h 3 1536 40. 2 1464 39. 7 0. 5 4 1229 38. 3 1771 41. 9 3. 6 0. 2 * 1920 Fzg. /h → 384 Fzg. /h 0. 2 * 1536 Fzg. /h → 307 Fzg. /h (iterativ 20% von der langsameren auf die schnellere Route)

Literaturhinweis: • Schnabel / Lohse: Kapitel 10. 8. 7. 2 • Ortúzar / Willumsen: Kapitel 10. 1 – 10. 5, 11 • Vrtic, M. (2005) Verkehrsverteilungsmodelle, Materialien zur Vorlesung Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich • Vrtic, M. (2005) Best-Wege-Suche, Materialien zur Vorlesung Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich 44

Definitionen: Umlegung - Routenwahl ist die Modellierung der Wahl der Reisenden zwischen den möglichen Routen zwischen zwei Orten. Umlegung ist die Verteilung der Nachfrage zwischen zwei Orten auf die möglichen Routen unter Einhaltung bestimmter Randbedingungen 45