Tytu wykadu Wykad 4 Dowiadczenia trjczynnikowe planowanie i

Tytuł wykładu Wykład 4 Doświadczenia trójczynnikowe – planowanie i analiza danych Prof. dr hab. Wiesław Mądry, Dr Dariusz Gozdowski Program unowocześniania kształcenia w SGGW dla zapewnienia konkurencyjności oraz wysokiej kompetencji absolwentów

Doświadczenia trójczynnikowe Planowanie doświadczeń trójczynnikowych i analiza statystyczna wyników są ilościowym rozwinięciem odpowiednich koncepcji opisanych wcześniej dla doświadczeń dwuczynnikowych

Planowanie doświadczeń trójczynnikowych W doświadczeniu trójczynnikowym chcemy zbadać jednoczesny wpływ trzech czynników na zmienną zależną ilościową Y. Czynniki kontrolowane oznaczamy zwykle za pomocą symboli A, B i C, zaś ich badane poziomy za pomocą symboli odpowiednio Ai (i=1, 2, . . , a), Bj (j=1, 2, . . , b) oraz Ck (k=1, 2, . . , c). Tworzymy wszystkie możliwe połączenia poziomów czynnika A, B i C otrzymując abc trójczynnikowych kombinacji doświadczalnych A i B j. Ck

Doświadczenia trójczynnikowe – układy doświadczalne Podobnie, jak w doświadczeniach dwuczynnikowych, w planowaniu doświadczeń trójczynnikowych stosowane są następujące układy doświadczalne: - Układ całkowicie losowy - Układ losowanych bloków - Układy split-plot - Układy strip-plot-split-plot

Doświadczenia trójczynnikowe układ całkowicie losowy Plan doświadczenia trójczynnikowego z a=b=c=2 poziomami każdego z czynników w czterech powtórzeniach (n=4) w układzie całkowicie losowym A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 1 A 1 B 2 C 1 A 2 B 1 C 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 1 A 2 B 1 C 2 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 2 A 1 B 2 C 2 A 2 B 1 C 2 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 1 A 1 B 2 C 1 A 2 B 2 C 2 A 1 B 2 C 2 A 2 B 1 C 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 1 B 2 C 1 A 2 B 1 C 2 A 1 B 1 C 2 A 2 B 1 C 1 A 1 B 2 C 1 A 2 B 1 C 2 A 1 B 2 C 2

Doświadczenia trójczynnikowe układ losowanych bloków Plan doświadczenia trójczynnikowego z a=b=c=2 poziomami każdego z czynników w czterech powtórzeniach (n=4) w układzie losowanych bloków A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 1 B 2 C 2 A 2 B 1 C 2 Blok 1 A 2 B 1 C 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 1 B 2 C 2 A 2 B 1 C 2 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 1 A 1 B 2 C 1 Blok 2 A 1 B 2 C 2 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 1 A 1 B 2 C 1 A 2 B 1 C 2 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 Blok 3 A 2 B 2 C 2 A 2 B 1 C 1 A 1 B 2 C 2 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 1 A 1 B 2 C 1 Blok 4

Doświadczenia trójczynnikowe układy split-plot A-B-C Plan doświadczenia trójczynnikowego z a=b=c=2 poziomami każdego z czynników w czterech powtórzeniach (n=4) w układzie split plot (wariant A B C) B 1 A 2 B 1 C 2 A 2 B 1 C 1 B 2 A 2 B 2 C 1 A 1 B 1 C 2 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 1 A 2 B 1 C 2 A 1 B 2 C 2 A 1 B 1 C 1 A 1 B 2 C 2 A 2 B 2 C 1 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 2 A 2 B 1 C 2 A 1 B 1 C 1 A 1 B 1 C 2 A 1 B 2 C 1 B 1 A 2 B 1 C 1 A 1 B 1 C 1 B 2 A 1 B 2 C 2 A 2 B 1 A 1 B 1 C 2 A 1 B 2 B 1 A 2 B 1 C 1 A 1 B 2 C 1 B 2 A 1 B 2 C 1 A 2 B 2 A 2 B 2 C 2 B 1 A 2 B 1 C 1 A 1 B 2 A 2 B 2 C 1 A 2 B 1 B 2 A 2 B 1 C 2 B 2 A 1 B 2 C 1

Doświadczenia trójczynnikowe układy split-plot A-BC Plan doświadczenia trójczynnikowego z a=b=c=2 poziomami każdego z czynników w czterech powtórzeniach (n=4) w układzie split plot (wariant A BC) A 2 B 2 C 1 A 2 B 1 C 2 A 2 B 2 C 2 A 1 B 2 C 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 2 B 1 C 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 1 A 1 B 1 C 2 A 2 B 1 C 1 A 1 B 2 C 2 A 1 B 2 C 1 A 2 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 C 2 A 1 B 2 C 1 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 1 A 2 B 1 C 2 A 2 B 2 C 2 A 1 A 1 B 2 C 2 A 1 B 1 C 2 A 1 A 2 B 2 C 1 A 2 B 1 C 2 A 1 B 1 C 1 A 1 B 2 C 2

Doświadczenia trójczynnikowe układy split-plot AB-C Plan doświadczenia trójczynnikowego z a=b=c=2 poziomami każdego z czynników w czterech powtórzeniach (n=4) w układzie split plot (wariant AB C) A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 A 2 B 2 C 1 A 1 B 2 C 2 A 1 B 2 C 1 A 2 B 2 C 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 2 B 1 C 1 A 1 B 2 C 2 A 2 B 1 C 1 A 2 B 1 C 2 A 2 B 2 C 1 A 2 B 1 C 2 A 1 B 1 C 1 A 1 B 2 A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 A 2 B 1 C 2 A 2 B 1 C 1 A 1 B 1 A 2 B 2 A 2 B 1 A 1 B 2 C 1 A 2 B 1 A 1 B 2 C 2 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 A 1 B 1 C 1 A 1 B 2 C 2 A 1 B 2 C 1 A 2 B 2 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 1

Analiza wariancji – modele liniowe Model liniowy analizy wariancji dla wyników z doświadczenia trójczynnikowego zależy od układu w jakim doświadczenie było założone. Poniżej przedstawione są modele liniowe dla poszczególnych układów doświadczalnych: yijkl = m + ai + bj + ck + abij + acik + bcjk + abcijk + eijkl dla układu całkowicie losowego yijkl = m + gl + ai + bj + ck + abij + acik + bcjk + abcijk + eijkl dla układu losowanych bloków Dla poszczególnych wariantów układu split plot: yijkl = m + gl + ai + e(1)il + bj + abij + e(2)ijl +ck + acik + bcjk + abcijk + e(3)ijkl (wariant A B C) yijkl = m + gl + ai + e(1)il + bj + abij +ck + acik + bcjk + abcijk + e(2')ijkl (wariant A BC) yijkl = m + gl + ai + bj + abij + e(1')ijl +ck + acik + bcjk + abcijk + e(2'')ijkl (wariant AB C)

Analiza wariancji – testowane hipotezy W analizie wariancji weryfikujemy siedem następujących hipotez zerowych (H 0) przeciwko odpowiednim hipotezom alternatywnym H 1: H 01: ai=0, i=1. 2, . . . , a H 11: i ai 0 H 02: bj=0, j=1. 2, . . . , b H 12: j bj 0 H 03: ck=0, k=1, 2, . . . , c H 13: k ck 0 H 04: abij = 0, i=1, 2, . . . , a; j=1, 2, . . . , b H 14: ij abij 0 H 05: acik = 0, i=1, 2, . . . , a; k=1, 2, . . . , c H 15: ik acik 0 H 06: bcjk = 0, j=1, 2, . . . , b; k=1, 2, . . . , c H 16: jkbcjk 0 H 07: abcijk = 0, i=1, 2, . . . , a; j=1, 2, . . . , b; k=1, 2, . . . , c H 17: ijk abcijk 0 (. istnieje taki podany indeks np. i, j, k lub (ij), (ik), (jk) oraz (ijk) dla których spełniony jest określony warunek).

Tabela analizy wariancji – układ całkowicie losowy i losowanych bloków Źródła zmienności Stopnie swobody Sumy kwadrat. odchyleń Średnie kwadraty odchyleñ Femp. Bloki 1 n-1 SSR Czynnik A a-1 SSA s 2 a=SSA/(a-1) Femp. (A)=s 2 a/s 2 e Czynnik B b-1 SSB s 2 b=SSB/(b-1) Femp. (B)=s 2 b/s 2 e Czynnik C c-1 SSC s 2 c=SSC/(c-1) Femp. (C)=s 2 c/s 2 e Współdziałanie A*B (a-1)(b-1) SSA*B s 2 ab=SSA*B/((a-1)(b-1)) Femp(AB)=s 2 ab/s 2 e Współdziałanie A*C (a-1)(c-1) SSA*C s 2 ac=SSA*C/((a-1)(c-1)) Femp(AC)=s 2 ac/s 2 e Współdziałanie B*C (b-1)(c-1) SSB*C s 2 bc=SSB*C/((b-1)(c-1)) Femp(BC)=s 2 bc/s 2 e Współdz. A*B*C (a-1)(b-1)(c-1) SSA*B*C s 2 abc= SSA*B*C/((a-1)(b-1)(c-1)) Femp(ABC)=s 2 abc/s 2 e Błąd Całkowita abc(n-1) 2 (abc-1)(n-1) 3 abcn-1 SSE 2 SSE 3 s 2 e=SSE 2/(abc(n-1)) s 2 e=SSE 3/((abc-1)(n-1)) SST bloki uwzględniane są tylko w analizie wariancji układu losowanych bloków, wzory na liczby stopni swobody i sumy kwadratów odchyleń w układzie całko wicie losowym, 3 wzory na liczby stopni swobody i sumy kwadratów odchyleń w układzie losowanych bloków. 1 2

Tabela analizy wariancji – układ split-plot A-B-C Źródła zmienności Stopnie swobody Sumy kwadrat. odchyleń Średnie kwadraty odchyleń Femp. Bloki n-1 SSR Czynnik A a-1 SSA s 2 a=SSA/(a-1) Femp. (A)=s 2 a/s 2 e 1 (n-1)(a-1) SSE 1 s 2 e 1=SSE 1/((n-1)(a-1)) Czynnik B b-1 SSB s 2 b=SSB/(b-1) Współdziałanie A*B (a-1)(b-1) SSA*B Błąd II a(n-1)(b-1) SSE 2 s 2 e 2=SSE 2/(a(n-1)(b-1)) Czynnik C c-1 SSC s 2 c=SSC/(c-1) Współdziałanie A*C (a-1)(c-1) SSA*C s 2 ac= SSA*C/((a-1)(c-1)) Femp(AC)=s 2 ac/s 2 e 3 Współdziałanie B*C (b-1)(c-1) SSB*C s 2 bc= SSB*C/((b-1)(c-1)) Femp(BC)=s 2 bc/s 2 e 3 (a-1)(b-1)(c-1) SSA*B*C s 2 abc= SSA*B*C/((a-1)(b-1)(c-1)) Femp(ABC)=s 2 abc/s 2 e 3 ab(n-1)(c-1) SSE 3 abcn-1 SST Błąd I Współdz. A*B*C Bład III Całkowita s 2 ab=SSA*B/((a-1)(b-1)) s 2 e 3=SSE 3/(ab(n-1)(c-1)) Femp. (B)=s 2 b/s 2 e 2 Femp(AB)=s 2 ab/s 2 e 2 Femp. (C)=s 2 c/s 2 e 3

Tabela analizy wariancji – układ split-plot A-BC Źródła zmienności Stopnie swobody Sumy kwadrat. odchyleń Średnie kwadraty odchyleń Femp. Bloki n-1 SSR Czynnik A a-1 SSA s 2 a=SSA/(a-1) Femp. (A)=s 2 a/s 2 e 1 (a-1)(n-1) SSE 1 s 2 e 1=SSE 1/((a-1)(n-1)) Czynnik B b-1 SSB s 2 b=SSB/(b-1) Współdziałanie A*B (a-1)(b-1) SSA*B Czynnik C c-1 SSC Współdziałanie A*C (a-1)(c-1) SSA*C s 2 ac= SSA*C/((a-1)(c-1)) Femp(AC)=s 2 ac/s 2 e 2' Współdziałanie B*C (b-1)(c-1) SSB*C s 2 bc=SSB*C/((b-1)(c-1)) Femp(BC)=s 2 bc/s 2 e 2' (a-1)(b-1)(c-1) SSA*B*C s 2 abc= SSA*B*C/((a-1)(b-1)(c-1)) Femp(ABC)=s 2 abc/s 2 e 2' a(n-1)(bc-1) SSE 2' abcn-1 SST Błąd I Współdz. A*B*C Błąd II Całkowita s 2 ab=SSA*B/((a-1)(b-1)) s 2 c=SSC/(c-1) s 2 e 2'=SSE 2'/(a(n-1)(bc-1)) Femp. (B)=s 2 b/s 2 e 2' Femp(AB)=s 2 ab/s 2 e 2' Femp. (C)=s 2 c/s 2 e 2'

Tabela analizy wariancji – układ split-plot AB-C Źródła zmienności Stopnie swobody Sumy kwadrat. odchyleń Średnie kwadraty odchyleń Femp. Bloki n-1 SSR Czynnik A a-1 SSA s 2 a=SSA/(a-1) Femp. (A)=s 2 a/s 2 e 1’ Czynnik B b-1 SSB s 2 b=SSB/((b-1)) Femp. (B)=s 2 b/s 2 e 1' Współdziałanie A*B (a-1)(b-1) SSA*B (n-1) (ab-1) SSE 1’ s 2 e 1=SSE 1’/((n-1)(ab-1)) Czynnik C c-1 SSC s 2 c=SSC/(c-1) Współdziałanie A*C (a-1)(c-1) SSA*C s 2 ac= SSA*C/((a-1)(c-1)) Femp(AC)=s 2 ac/s 2 e 2’' Współdziałanie B*C (b-1)(c-1) SSB*C s 2 bc=SSB*C/((b-1)(c-1)) Femp(BC)=s 2 bc/s 2 e 2’' (a-1)(b-1)(c-1) SSA*B*C s 2 abc= SSA*B*C/((a-1)(b-1)(c-1)) Femp(ABC)=s 2 abc/s 2 e 2’' ab(n-1)(c-1) SSE 2” abcn-1 SST Błąd I Współdz. A*B*C Błąd II Całkowita s 2 ab=SSA*B/((a-1)(b-1)) S 2 e 2’’=SSE 2’’/(ab(n-1)(c-1)) Femp(AB)=s 2 ab/s 2 e 1' Femp. (C)=s 2 c/s 2 e 2’'

Porównania wielokrotne Podobnie jak w doświadczeniach jednoczynnikowym i dwuczynnikowym, w przypadku gdy przeciętny wpływ czynnika A, B lub C jest istotny, przystępujemy do badania istotności wzajemnych różnic tych efektów albo odpowiednich średnich brzegowych z próby dla poziomów danego czynnika za pomocą poznanych już wcześniej procedur porównań wielokrotnych. W przypadku, kiedy współdziałania pierwszego rzędu (A*B, A*C, B*C) lub drugiego rzędu (A*B*C) są istotne, przystępujemy do szczegółowej analizy porównawczej średnich z próby dla kombinacji par czynników (przeciętnie poprzez poziomy trzeciego czynnika) lub średnich z próby dla kombinacji trzech czynników Ai. Bj. Ck

Przykład – doświadczenie trójczynnikowe w układzie split-plot A-B-C Cel doświadczenia: ocena wpływu trzech czynników: terminu siewu, udziału wiosennej dawki azotu w całej dawce tego pierwiastka, oraz stosowania retardantu na plonowanie pszenżyta ozimego odmiany Presto. Czynnik A: - terminy siewu (A 1 -10. IX, A 2 -20. IX, A 3 -30. IX) Czynnik B: - udział wiosennej dawki azotu w całej dawce tego pierwiastka (B 1 - 40% całej dawki N, B 2 -60% całej dawki N, B 3 - 100% całej dawki N), Czynnik C: - stosowanie retardantu [C 1 - bez retardantu (-), C 2 -zasosowanie retardantu (+)]. Liczba powtórzeń: 4 Zmienna zależna: plon ziarna (t/ha)

Przykład – doświadczenie trójczynnikowe w układzie split-plot A-B-C Pozyskane doświadczalne Terminy siewu (A) 10. IX 20. IX 30. IX Udział wiosennej dawki azotu w całej dawce tego pierwiastka (B) 40% 60% 100% Stosowanie retardantu (C) - + - + - + 7. 04 7. 34 7. 51 7. 42 7. 88 7. 74 6. 75 6. 32 6. 9 6. 67 6. 96 7. 28 7. 03 6. 93 7. 44 6. 64 7. 33 7. 36 6. 57 7. 88 8. 2 8. 12 8. 46 8. 42 6. 44 6. 26 6. 77 6. 61 6. 85 7. 7 7. 31 6. 79 7. 77 7. 31 8. 09 7. 73 7. 45 7. 6 6. 92 7. 4 6. 87 7. 45 5. 98 6. 96 6. 83 7. 15 6. 94 6. 49 7. 29 7. 61 7. 54 7. 27 6. 31 6. 11 7. 13 7. 15 6. 22 8. 01 6. 12 5. 97 6. 53 6. 63 6. 72 7. 37 6. 5 6. 24 6. 75 6. 82 7. 01 6. 86

Przykład – doświadczenie trójczynnikowe w układzie split-plot A-B-C Tabela analizy wariancji Źródło zmienności Stopnie swobody Sumy kwadratów odchyleń Średnie kwadraty odchyleń Femp Bloki 3 4. 6767 1. 5589 6. 59* Terminy siewu (A) 2 5. 3072 2. 6536 11. 22** Błąd I 6 1. 4296 0. 2366 Udział wiosennej dawki N (B) 2 5. 2894 2. 6447 20. 75** Współdziałanie A*B 4 0. 1404 0. 0351 0. 28 Błąd II 18 2. 2950 0. 1275 Retardant (C) 1 0. 1422 1. 23 Współdziałanie A*C 2 1. 0926 0. 5463 4. 71* Współdziałanie B*C 2 0. 4290 0. 2145 1. 85 Współdziałanie A*B*C 4 0. 2288 0. 0572 0. 49 Błąd III 27 3. 1320 0. 1160

Przykład – doświadczenie trójczynnikowe w układzie split-plot A-B-C Porównania wielokrotne – czynnik A

Przykład – doświadczenie trójczynnikowe w układzie split-plot A-B-C Porównania wielokrotne – czynnik B

Przykład – doświadczenie trójczynnikowe w układzie split-plot A-B-C Porównania wielokrotne – kombinacje czynników AC

Pakiety statystyczne do generowania zrandomizowanych planów dla różnych układów doświadczalnych i analizy danych: The SAS system for Windows. SAS Institute, Cary, NC, 2011 (plany dośw. i analiza danych) Design Resources Server. Indian Agricultural Statistics Research Institute (ICAR), New Delhi, India. http: //www. iasri. res. in/design/, 2007 (plany dośw. i analiza danych) The guide to Gen. Stat release 16. Part 2: Statistics. VSN International, Hemel Hempstead, UK, 2013 (plany dośw. i analiza danych) R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, R Development Core Team, Vienna, Austria, 2009 (analiza danych)

Zakończenie KONIEC WYKŁADU