Sistemas de Numerao UNIDADE 1 PROF ANTONIO LOPES

Sistemas de Numeração UNIDADE 1 PROF. ANTONIO LOPES DE SOUZA, Ph. D. DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA / UFRJ

Sistemas de Numeração q. O sistema de numeração com o qual estamos mais familiarizados é o decimal, cujo alfabeto (coleção de símbolos) é formado por 10 dígitos acima mostrados. q Um Computador Decimal: se trabalhasse com o sistema decimal um computador precisaria codificar 10 níveis de referência para caracterizar os 10 dígitos do sistema utilizado. Esses níveis de referência poderiam ser valores de tensão (0 V, 1 V, 2 V, etc. ) que precisariam ser definidos e interpretados de maneira clara e precisa pela máquina. q Desvantagem: quanto maior o número de interpretações maior a probabilidade de erro. Para decidir que está lendo o número 5 a máquina precisaria ter certeza de que o que leu não é: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.

Sistemas de Numeração q Conseqüência: O sistema de numeração mais seguro deveria ser aquele com o menor número de símbolos (dígitos). q Conclusão: o melhor sistema de numeração para uma máquina seria o binário com apenas dois dígitos, o zero (0) e o um (1). v Obs. : Não há sistema de numeração com alfabeto de um único dígito. Todo sistema de numeração precisa dos conceitos de presença (1) e ausência (0).

Sistemas de Numeração q Um possível problema no uso de máquinas binárias: o número binário precisa de mais dígitos para ser escrito do que o decimal. (2)10 número de animais representado em decimal (10)2 número de animais representado em binário Quatro em decimal é representado como 4. Sua representação em binário é 100. q Conseqüência: o computador binário seria mais preciso porém muito lento porque a leitura da informação iria requerer mais tempo.

Sistemas de Numeração q Uma solução: o uso de dispositivos eletrônicos baseados na tecnologia dos semicondutores, como os transistores. v O transistor: é um dispositivo usado para controlar o fluxo de corrente. Ele tem duas características importantes: 1 - é capaz de amplificar um sinal elétrico. 2 - é capaz de chavear (comutar) entre ligado e desligado (ou fechado e aberto), deixando corrente passar através dele ou bloqueando-a. Essas condições são também denominadas “saturação” e “corte”, respectivamente. v O transistor pode mudar da condição de saturação para o corte em velocidades acima de um milionésimo de segundo. Ele pode ser usado para caracterizar a presença (ou ausência) de um dígito binário (0 ou 1) e pode tomar decisões desse tipo a uma taxa superior a um milhão de decisões por segundo.

Sistemas de Numeração O primeiro Transistor Um Transistor moderno v. Transistor: inventado nos Laboratórios da Bell Telephone em 12/1947 por John Bardeen, Walter Brattain e William Shockley – Prêmio Nobel de física de 1956. O transistor é capaz de comutar em um milionésimo de segundo entre o corte e a saturação.

Sistemas de Numeração Classificação q Sistemas de Numeração Posicionais q Sistemas de Numeração Não Posicionais

Sistemas Posicionais q Nos sistemas de numeração posicional, o valor do dígito em um número depende da posição que ele ocupa neste mesmo número. 1989 = 1000+900+80+9 1989 = 1 x 103 + 9 x 102 + 8 x 101 + 9 x 100 q Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito. Os pesos crescem para esquerda na parte inteira e decrescem para a direita na parte fracionária 1989, 4= 1 x 103 + 9 x 102 + 8 x 101 + 9 x 100+4 x 10 -1

Sistemas Posicionais A representação posicional fornece uma forma simplificada para a escrita de números e permite a representação de qualquer número com um alfabeto (uma coleção de símbolos) restrito de dígitos. O sistema decimal tem: v Base R=10 v Um alfabeto ordenado e 10 dígitos, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, e qualquer número pode ser representado com o uso deles.

Sistemas Posicionais Outros Exemplos de Sistemas Posicionais q Sistema posicional binário base R = 2 alfabeto {0, 1} q Sistema posicional octal base R = 8 alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} q Sistema posicional hexadecimal base R = 16 alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

Sistemas Não Posicionais q Sistema de Numeração Romano No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso a representação é aditiva, com X representando a quantidade decimal 10, e com a combinação XX associada a 10+10=20. Por outro lado em IX (nove em decimal) a representação é subtrativa. M = 1000 Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor. D = 500 Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes. D – C = 500 – 100 = 400 Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois de M. M + CD = 1000 + 400 = 1400 Sobrava apenas o V. Então: MCDV = 1400 + 5= 1405

Geração de Inteiros q Algoritmo de avanço de dígitos: Avançar um dígito de um alfabeto ordenado consiste em substituí-lo pelo próximo dígito na hierarquia. O dígito de maior valor do conjunto é sempre avançado para o aquele de menor valor na hierarquia. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 q Algoritmo de geração de inteiros: a) o primeiro inteiro é o zero b) o próximo inteiro é obtido do precedente na lista avançando-se seu dígito mais à direita. No caso deste dígito avançar para zero, avança-se, então, o dígito adjacente à esquerda.

Geração de Inteiros Exemplo: Gerar os 26 primeiros inteiros do sistema decimal. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 v Observe que o nove avança para o zero, logo o dígito mais à esquerda (o zero, não mostrado explicitamente no número) é avançado para 1 gerando o próximo número na lista, o 10.

Transformações de Base q Passagem de uma base R para a base 10 v converte-se a base e cada dígito do número para o equivalente decimal. v decompõe-se o número de acordo com a estrutura posicional e, usando aritmética decimal, efetuam-se as operações de produtos e somas. Notação: (. . . )R ler como o número do parêntesis expresso na base R. (1101)2=1 x 23+1 x 22+0 x 21+1 x 20=8+4+0+1=13 (2 B 0)16=2 x 162+(11)x 161+0 x 160= 512+176+0=688

Transformações de Base q Passagem de uma base 10 para a base R v Parte inteira: Algoritmo da divisão repetida Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R até que se obtenha um quociente inteiro igual a zero. Os restos das divisões sucessivas, lidos do último para o primeiro, constituem o número transformado para a base R. (341) 10 = (2331) 5

Transformações de Base q Passagem de uma base 10 para a base R v Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida A parte fracionária é multiplicada por R. A parte inteira desse produto é guardada e a parte fracionária é novamente multiplicada por R. O processo é repetido até que se obtenha um número com parte fracionária nula ou até que se considere a aproximação suficiente. As partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da primeira para a última, formam a parte fracionária do número transformado.

Transformações de Base q Passagem de uma base 10 para a base R Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida. Exemplo: Então (0, 4375)10 = (0, 0111)2

Transformações de Base q Mudança de base entre base binária e base de potência de 2 v A base para a qual se quer a transformação é expressa no formato 2 n. Se essa base for R=8, por exemplo, o valor de “n” é 3 porque 8 = 23. Formam-se grupos, a partir da direita do número binário, contendo uma quantidade de dígitos igual ao número “n”. Esses grupos de “n” dígitos são lidos e representados como os dígitos do sistema para o qual se quer a transformação para a base hexadecimal.

Transformações de Base Exemplos: (25)10 = (011|001)2 = (31)8, grupos de 3 dígitos (8=23) a partir da direita do número binário para transformação para a base octal. (25)10 = (0001|1001)2 = (19)16, grupos de 4 (16=24)

Operações Aritméticas q Soma na base 10, Soma na base 2, Soma na base R (explicar com exemplos no quadro) q Complemento de 1: O complemento de 1 de um número binário é obtido trocando-se cada dígito 1 por 0 e vice-versa. A notação C 1 (. . . ) é usada para designar o complemento de um do número entre parêntesis. q Complemento de 2: O complemento de 2 de um número binário é obtido trocando-se inicialmente todos os 0 s por 1 s e viceversa. Após isso adiciona-se 1 ao número obtido. Notação C 2(. . . )

Operações Aritméticas q Subtração por complemento de 1: Soma-se o minuendo ao complemento de 1 do subtraendo. O bit que se propaga após a última coluna da adição é somado de volta ao bit menos significativo do resultado. (resolver exemplo no quadro) q Subtração por complemento de 2: Soma-se o minuendo ao complemento de 2 do subtraendo. O bit que se propaga após a ultima coluna da adição é desprezado. (resolver exemplo no quadro)

Álgebra de Boole George Simon Boole (1815 -1864) O criador da álgebra dos circuitos digitais

Álgebra de Boole 1 - A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de estudo da filosofia. 2 - Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles (384322 AC), que publicou um tratado sobre o tema denominado "De Interpretatione". 3 - Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise Matemática da Lógica” 4 - Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de mestrado no MIT) que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".

Álgebra de Boole q Definição da Álgebra de Boole: 1 - A álgebra de Boole é um sistema matemático composto por operadores, regras, postulados e teoremas. 2 - A álgebra booleana usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que podem assumir apenas um dentre dois valores, zero (0) ou um (1). 3 - A álgebra booleana trabalha com dois operadores, o operador AND, simbolizado por (. ) e o operador OR, simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR é conhecido como soma lógica. Os mesmos correspondem, respectivamente, às operações de interseção e união da teoria dos conjuntos.

Álgebra de Boole q Operadores da Álgebra Booleana As variáveis booleanas serão representadas por letras maiúsculas, A, B, C, . . . e as funções pela notação f(A, B, C, D, . . . )

Álgebra de Boole q Operadores Booleanos Fundamentais Operador AND (interseção) 1 - Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. 2 - Símbolo 3 - Tabela Lógico Verdade

Álgebra de Boole q Operadores Booleanos Fundamentais Operador OR (união) 1 - Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1. 2 - Símbolo Lógico 3 - Tabela Verdade

Álgebra de Boole q Operadores Booleanos Fundamentais Operador NOT (inversor) 1 - Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valar lógico da referida variável. 2 - Símbolo Lógico 3 - Tabela Verdade

Álgebra de Boole q Operadores Booleanos Secundários Operador NAND 1 - Definição: A operação lógica NAND entre duas ou mais 2 - Símbolo Lógico 3 - Tabela Verdade

Álgebra de Boole q Operadores Booleanos Secundários Operador NOR 1 - Definição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 0. 2 - Símbolo Lógico 3 - Tabela Verdade

Álgebra de Boole q Operadores Booleanos Secundários Operador EXOR (OU exclusivo) 1 - Definição: A operação lógica EXOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes). 2 - Símbolo Lógico 3 - Tabela Verdade

Álgebra de Boole q Operadores Booleanos Secundários Operador EXNOR (negativo de OU exclusivo) 1 - Definição: A operação lógica EXNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico. 2 - Símbolo Lógico 3 - Tabela Verdade

Álgebra de Boole Postulados da Álgebra de Boole O significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a associação com a teoria dos conjuntos

Álgebra de Boole Teoremas da Álgebra de Boole

FIM