Sistemas de Numerao MAB 124 Sistemas de Numerao

Sistemas de Numeração MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Por que Binário? • Primeiros computadores projetados eram decimais – Mark I e ENIAC • John von Neumann propôs processamento com dados binários (1945) – Simplificava o projeto de computadores – Usado tanto por instruções como por dados • Relação natural entre comutadores on/off e cálculos com lógica Booleana MAB 124 Sistemas de Numeração On Off Verdadeiro Falso Sim Não 1 0 PRC

Contagem e Aritmética • Decimal ou sistema de base 10 – Origem: contando nos dedos – “Dígito” vem do Latim digitus, que significa “dedo” • Base: o número de dígitos diferentes no sistema numérico, incluindo zero • Decimal ou base 10: 10 dígitos, 0 até 9 • Binário ou base 2: 2 dígitos, 0 e 1 – Bit (dígito binário) • Octal ou base 8: 8 dígitos, 0 até 7 • Hexadecimal ou base 16: 16 dígitos, 0 até F – Exemplos: 1010 = A 16; 1110 = B 16 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Considerando os Bits • Bits são normalmente armazenados e manipulados em grupos – 8 bits = 1 byte – 4 bytes = 1 palavra (em sistemas de 32 bits) • Número de bits usados em cálculos – Afetam a precisão dos resultados – Limitam o tamanho dos números manipulados pelo computador MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Números: Representação Física • Diferentes numerais, mesmo número de laranjas – Homem das cavernas: IIIII – Romano: V – Arábico: 5 MAB 124 • Diferentes bases, mesmo número de laranjas Sistemas de Numeração – 510 – 1012 – 123 PRC

Sistemas de Numeração • Romanos: independentes da posição • Moderno: baseado na notação posicional (valor posicional) – Decimal: sistema de notação posicional baseado em potências de 10. – Binário: sistema de notação posicional baseado potências de 2 – Octal : sistema de notação posicional baseado em potências de 8 – Hexadecimal: sistema de notação posicional baseado em potências de 16 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Sistemas Numéricos mais Comuns Sistema Base Símbolos Usado por humanos? Decimal 10 0, 1, … 9 Sim Não Binário 2 0, 1 Não Sim Octal 8 0, 1, … 7 Não Hexadecimal 16 0, 1, … 9, A, B, … F Não MAB 124 Sistemas de Numeração Usado por computadores? PRC

Quantidades / Contagem (1 de 3) Decimal 0 MAB 124 Binário Octal 0 0 Hexadecimal 0 1 2 1 10 1 2 3 4 5 6 7 11 100 101 110 111 3 4 5 6 7 Sistemas de Numeração PRC

Quantidades / Contagem (2 de 3) Hexa. Decimal Binário Octal decimal 8 1000 10 8 MAB 124 9 10 1001 1010 11 12 9 A 11 12 13 14 15 1011 1100 1101 1110 1111 13 14 15 16 17 B C D E F Sistemas de Numeração PRC

Quantidades / Contagem (3 de 3) Hexa. Decimal Binário Octal decimal 16 10000 20 10 MAB 124 17 18 10001 10010 21 22 11 12 19 20 21 22 23 10011 10100 10101 10110 10111 23 24 25 26 27 13 14 15 16 17 Sistemas de Numeração Etc. PRC

Conversão Entre Bases • Possibilidades: MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Exemplo 2510 = 110012 = 318 = 1916 Base MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Decimal para Decimal (só para entender) MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Peso 12510 => 5 x 100 2 x 101 1 x 102 = 5 = 20 = 100 125 Base MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Binário para Decimal MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Binário para Decimal • Técnica – Multiplique cada bit por 2 n, onde n é o “peso” do bit – O peso é a posição do bit, começando em 0 à direita – Adicione os resultados MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo Bit “ 0” 1010112 => 1 1 0 1 x x x 20 21 22 23 24 25 = = = 1 2 0 8 0 32 4310 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Octal para Decimal MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Octal para Decimal • Técnica – Multiplique cada bit por 8 n, onde n é o “peso” do bit – O peso é a posição do bit, começando em 0 à direita – Adicione os resultados MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo 7248 => MAB 124 4 x 80 = 2 x 81 = 7 x 82 = 4 16 448 46810 Sistemas de Numeração PRC

Hexadecimal para Decimal MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Hexadecimal para Decimal • Técnica – Multiplique cada bit por 16 n, onde n é o “peso” do bit – O peso é a posição do bit, começando de 0 à direita – Adicione os resultados MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo ABC 16 => C x 160 = 12 x 1 = 12 B x 161 = 11 x 16 = 176 A x 162 = 10 x 256 = 2560 274810 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Decimal para Binário MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Decimal para Binário • Técnica – Divida por dois, guardando os restos – Primeiro resto é o bit 0 (bit menos significativo) – Segundo resto é o bit 1 – Etc. MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo 12510 = ? 2 2 125 2 62 2 31 2 15 7 2 3 2 1 2 0 1 1 1 12510 = 11111012 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Octal para Binário MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Octal para Binário • Técnica – Converta cada dígito octal para uma representação binária equivalente de 3 bits MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo 7058 = ? 2 7 0 5 111 000 101 7058 = 1110001012 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Hexadecimal para Binário MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Hexadecimal para Binário • Técnica – Converta cada dígito hexadecimal para uma representação binária equivalente de 4 bits. MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo 10 AF 16 = ? 2 1 0 A F 0001 0000 1010 1111 10 AF 16 = 000101011112 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Decimal para Octal MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Decimal para Octal • Técnica – Divida por 8 – Guarde os restos MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo 123410 = ? 8 8 8 1234 154 19 2 0 2 2 3 2 123410 = 23228 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Decimal para Hexadecimal MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Decimal para Hexadecimal • Técnica – Divida por 16 – Guarde os restos MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo 123410 = ? 16 16 1234 77 2 4 13 = D 0 4 123410 = 4 D 216 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Binário para Octal MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Binário para Octal • Técnica – Divida os bits em grupos de três, começando à direita – Converta para dígitos octais MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo 10110101112 = ? 8 1 010 111 1 3 2 7 10110101112 = 13278 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Binário para Hexadecimal MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Binário para Hexadecimal • Técnica – Divida os bits em grupos de quatro, começando à direita – Converta para dígitos hexadecimais MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo 1010112 = ? 16 10 1011 2 B B 1010112 = 2 BB 16 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Octal para Hexadecimal MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Octal para Hexadecimal • Técnica – Use Binário como uma representação intermediária MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo 10768 = ? 16 1 0 7 6 001 000 111 110 2 3 E 10768 = 23 E 16 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Hexadecimal para Octal MAB 124 Decimal Octal Binário Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC

Hexadecimal para Octal • Técnica – Use Binário como uma representação intermediária MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo 1 F 0 C 16 = ? 8 1 0001 1 F 0 1111 7 C 0000 4 1100 1 4 1 F 0 C 16 = 174148 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exercício – Converta. . . Decimal 33 Binário Octal Hexadecimal 1110101 703 1 AF Não use calculadora! Pule a resposta MAB 124 Sistemas de Numeração Resposta PRC

Exercício – Converta … Resposta MAB 124 Decimal 33 117 Binário 100001 1110101 Octal 41 165 451 431 111000011 110101111 703 657 Sistemas de Numeração Hexadecimal 21 75 1 C 3 1 AF PRC

Potências mais Comuns (1 de 2) • Base 10 MAB 124 Potência Prefixo Símbolo Valor 10 -12 pico p . 0000001 10 -9 nano n . 00001 10 -6 micro . 000001 10 -3 mili m . 001 103 kilo k 1000 106 mega M 1000000 109 giga G 100000 1012 tera T 1000000 Sistemas de Numeração PRC

Potências mais Comuns (2 de 2) • Base 2 Potência Prefixo Símbolo Valor 210 kilo k 1024 220 mega M 1048576 230 Giga G 1073741824 • O que são os valores de “k”, “M”, e “G”? • Em computação, em particular com memórias, a interpretação de base-2 geralmente se aplica MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exemplo No laboratório… 1. Clique duplo em Meu Computador 2. Clique com o botão direito em C: 3. Clique em Propriedades / 230 = MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Exercício – Espaço Livre • Determine o “espaço livre” de todos os drives de um computador do laboratório Espaço Livre Drive Bytes GB A: C: D: E: etc. MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Revisão – multiplicando potências • Para bases comuns, adicione os expoentes ab ac = ab+c 26 210 = 216 = 65, 536 ou … 26 210 = 64 k MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Adição Binária (1 de 2) • Dois valores de 1 -bit A 0 0 1 1 MAB 124 B 0 1 A+B 0 1 1 10 Sistemas de Numeração “dois” PRC

Adição Binária (2 de 2) • Dois valores de n-bits – Adicione os bits individualmente – Propague as sobras – E. g. , 1 1 10101 + 11001 101110 MAB 124 21 + 25 46 Sistemas de Numeração PRC

Multiplicação (1 de 3) • Decimal (só para entender) 35 x 105 175 000 35 3675 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Multiplicação (2 de 3) • Binário, dois valores de 1 -bit A 0 0 1 1 MAB 124 B 0 1 A B 0 0 0 1 Sistemas de Numeração PRC

Multiplicação (3 de 3) • Binário, dois valores de n-bits – Como no caso de valores decimais – E. g. , 1110 x 1011 1110 0000 1110 10011010 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC

Frações • Decimal para decimal (só para entender) 3. 14 => MAB 124 4 x 10 -2 = 0. 04 1 x 10 -1 = 0. 1 3 x 100 = 3 3. 14 Sistemas de Numeração PRC

Frações • Binário para decimal 10. 1011 => MAB 124 1 1 0 1 x x x 2 -4 2 -3 2 -2 2 -1 20 21 = = = Sistemas de Numeração 0. 0625 0. 125 0. 0 0. 5 0. 0 2. 6875 PRC

Frações • Decimal para Binário 3. 14579 11. 001001. . . MAB 124 . 14579 x 2 0. 29158 x 2 0. 58316 x 2 1. 16632 x 2 0. 33264 x 2 0. 66528 x 2 1. 33056 etc. Sistemas de Numeração PRC

Exercício – Converta. . . Decimal 29. 8 Binário Octal Hexadecimal 101. 1101 3. 07 C. 82 Não use calculadora! Pule a resposta MAB 124 Sistemas de Numeração Resposta PRC

Exercício – Converta … Resposta Decimal 29. 8 5. 8125 3. 109375 12. 5078125 MAB 124 Binário Octal 11101. 110011… 35. 63… 101. 1101 5. 64 11. 000111 1100. 10000010 3. 07 14. 404 Sistemas de Numeração Hexadecimal 1 D. CC… 5. D 3. 1 C C. 82 PRC