Sistem Persamaan Linear Gema Parasti Mindara Persamaan linear

Sistem Persamaan Linear Gema Parasti Mindara

Persamaan linear • Persamaan linear yaitu persamaan dimana nilai pangkat tertinggi dari variabelnya bernilai satu. • Persamaan linear dengan n buah variabel x 1, x 2, x 3, …, xn dimana persamaannya dapat dinyatakan dalam bentuk: a 1. x 1 + a 2. x 2 + a 3. x 3 + …+ an. xn = b • Dimana a 1, a 2, a 3, …, an adalah konstanta real

• Secara umum, sistem persamaan linear dengan n variabel dan m persamaan dapat disajikan dalam bentuk: a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 nxn = b 2 … am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn = bm • Dapat disajikan dalam notasi matriks Ax = b

• Berdasarkan bentuk matriks koefisien A, sistem persamaan linear diatas dikelompokkan kedalam 3 kelas, yaitu: – m < n: sistem persamaan under-determined, yaitu banyaknya variabel (n), lebih dari banyaknya persamaan (m). Dalam hal ini, terdapat tak hingga banyaknya penyelesaian dengan derajat kebebasan (degree of freedom) n – m = n: sistem persamaan bujur sangkar, dimana banyaknya variabel sama dengan banyaknya persamaan. Solusi akan ada dan unik bila matriks nonsingular atau memiliki invers – m > n: sistem persamaan over-determined atau sering juga disebut persoalan kuadrat terkecil. Dalam hal ini umumnya tidak ada solusi.

• Solusi Banyak (Tak hingga) • Solusi Unik • Tidak ada solusi

• Contoh 1 : • Perhatikan sistem persamaan linear berikut: 2 x 1 + 3 x 2 – 5 x 3 = -8 - x 1 – x 2 + 15 x 3 = 42 5 x 1 – 2 x 2 + x 3 = 11 • Berapakah nilai dari masing-masing variabel x 1, x 2 dan x 3? • Jawaban : • x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 3 Bagaimana cara menyelesaikan solusinya?

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear • Untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan linear, terdapat beberapa metode yang dapat digunakan: – Metode Eliminasi Gauss-Jordan – Metode Matriks balikan – Metode Dekomposisi LU – Metode Lelaran Jacobi – Metode Lelaran Gauss-Seidel

Sistem Linear Segitiga Atas • Sistem persamaan linear Ax = b, dengan matriks koefisien A berupa matriks segitiga atas, dapat ditulis dalam bentuk: a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 nxn = b 1 a 22 x 2 + … + a 2 nxn = b …………. …… ……. …. . …… am-1, n-1 xn-1 + am-1, nxn = bn-1 amnxn = bn • Dengan asumsi, elemen-elemen diagonal tak sama dengan nol akk 0, untuk k = 1, 2, …, n, maka terdapat suatu solusi tunggal untuk sistem linear tersebut. jika tidak, maka akan tidak terdapat solusi atau solusinya berjumlah tak hingga.

Eliminasi Gauss & Pivoting •

• Dua sistem persamaan linear berukuran nxn dikatakan setara apabila himpunan solusinya sama. Teorema-teorema dari aljabar linear memperhatikan bahwa bilamana transformasi tertentu diterapkan pada suatu sistem yang diketahui, maka himpunan solusinya tidak berubah. • Untuk dapat merubah sistem persamaan linear kedalam bentuk matriks segitiga atas maka dapat dilakukan dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer) pada matriks [A, b]. • Peubah-peubah xk adalah pemegang posisi untuk koefisien-koefisien dapat dihilangkan sampai akhir perhitungan.

• Operasi-operasi berikut, bila diterapkan pada matriks lengkap akan menghasilkan sistem yang setara: – Pertukaran: urutan dua baris dapat ditukar – Penskalaan: perkalian sebuah baris dengan konstanta tidak nol – Penggantian: sebuah baris dapat diganti oleh jumlah baris itu dengan suatu kelipatan sembarang baris lainnya. • Contoh 3: 2 x 1 + 3 x 2 – 5 x 3 = -8 - x 1 – x 2 + 15 x 3 = 42 5 x 1 – 2 x 2 + x 3 = 11

• Proses eliminasi Gauss harus dimodifikasi sehingga dapat dipakai dalam keadaan apapun. Kelemahan Eliminasi Gauss • Jika pivot akk = 0, maka baris ke-p tidak dapat digunakan untuk mengeliminasi elemen pada kolom k, karena terjadinya pembagian dengan nol. Oleh karena itu, pivot yang bernilai nol harus dihindari dengan strategy pivoting. • Metode Eliminasi Gauss dengan strategy pivoting disebut metode Eliminasi Gauss yang diperbaiki (Modified Gaussian Elimination)

• Karena pada elemen a 22 =0, maka dilakukan pertukaran (*) antara baris 2 dan 3.

• Latihan: • Selesaikan dengan menggunakan Metode Gauss

Eliminasi Gauss-Jordan • Metode Eliminasi Gauss-Jordan merupakan variasi dari eliminasi Gauss. • Metode ini memiliki keuntungan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear pada komputer. • Yaitu dengan cara melakukan perhitungan tambahan yang mereduksi matriks menjadi matriks identitas sebagai pengganti matriks segitiga.

• Oleh karena itu, untuk mencari nilai-nilai variabelnya tidak diperlukan lagi metode penyulihan mundur untuk memperoleh solusi SPL. Solusinya langsung diperoleh dari vektor kolom b hasil proses eliminasi. • Ax = b Ix = b’ • Seperti pada metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan tidak menerapkan pivoting dalam proses eliminasi.

• Penyelesaian SPL dengan menggunakan metode Gauss-Jordan membutuhkan jumlah komputasi yang lebih banyak daripada metode eliminasi Gauss. • Karena alasan itulah, penyelesaian SPL dengan menggunakan Eliminasi Gauss sudah cukup memuaskan. • Namun, metode Eliminasi Gauss Jordan merupakan dasar dari pembentukkan matriks invers.

• Latihan: • Selesaikan dengan menggunakan Metode Gauss-Jordan

Metode Matriks Balikan (Invers Matrix)