Razonamiento Cuantitativo GEMA 1000 Seccin 23914 23910 Dr

Razonamiento Cuantitativo GEMA 1000 Sección 23914 23910 Dr. Edwin Alfonso Horas de Oficina: Martes 3: 30 -4: 30 PM http: //home. coqui. net/alfonso 234/Notas_de_Clase. htm Dr. Edwin Alfonso Sosa 1

Capacitantes n Capaz de definir los postulados de la geometría euclidiana n Diferenciar entre lo que es una recta, línea, semirrecta y n n segmento de línea. Reconocer los diferentes tipos de ángulos y rectángulos. Capaz de encontrar la medida de un ángulos usando los postulados para rectas paralelas cruzadas por una transversal. Capaz de encontrar la medida de los ángulos interiores y exteriores de un triangulo usando los postulados para triángulos. Identificar lo que es un radio, secante, tangente, semicírculo. Dr. Edwin Alfonso Sosa 2

Geometría Euclidiana n El compendio de Geometría mas antiguo es Los Elementos obra escrita por Euclides alrededor del año 300 a. C. n La obra inicia con definiciones de conceptos básicos, como el punto, la línea y el plano; luego, expone cinco postulados y proporciona el fundamento de todo lo que sigue. Dr. Edwin Alfonso Sosa 3

Los cinco postulados de Euclides Dos puntos determinan una y solo una línea recta. La línea recta es aquella que se extiende de manera indefinida en cualquier dirección Un circulo puede trazarse con cualquier centro y cualquier radio dados. Todos los ángulos rectos son iguales. Dados una recta k y un punto P fuera de la línea, existe una y solo una línea, m, que pasa por P y que es paralela a k. 4 Dr. Edwin Alfonso Sosa

Punto, Línea, Plano n Euclides lo definió como: n Punto: “lo que no se divide en partes”. n Línea: “lo que tiene longitud pero carece de ancho” n Plano: “Una superficie uniformemente distribuida con rectas que se cruzan sobre ella”. Dr. Edwin Alfonso Sosa 5

Líneas, semirrectas, rectas y segmentos Nombre Figura Símbolo Línea AB o línea BA Semirrecta AB Semirrecta BA Recta AB Recta BA Segmento AB o segmento BA Dr. Edwin Alfonso Sosa A B A B A B 6

ángulo n Unión de dos rectas que tienen un punto extremo en común, como se aprecia en la figura 5. n Las rectas que forman un ángulo se llaman lados del ángulo. n El punto en común de las rectas es el vértice. A LADO B Vértice C LADO Dr. Edwin Alfonso Sosa 7

Los ángulos se miden por la cantidad de rotación n Los astrónomos babilonios eligieron el numero 360 para representar la cantidad de rotación de una recta sobre si misma. n 1 grado (1° ≡ 1 / 360) A LADO B C LADO Dr. Edwin Alfonso Sosa 8

Ángulos agudos Dr. Edwin Alfonso Sosa 9

Ángulos rectos Dr. Edwin Alfonso Sosa 10

Ángulos obtusos Dr. Edwin Alfonso Sosa 11

Ángulos opuestos por el vértice tienen medidas iguales (4 x+19)° Dr. Edwin Alfonso Sosa (6 x-5)° 12

Ángulos alternos internos son iguales Línea Transversal Líneas Paralelas 1 2 3 4 6 5 7 Dr. Edwin Alfonso Sosa 8 13

Ángulos alternos externos son iguales 2 1 3 5 7 Dr. Edwin Alfonso Sosa 4 6 8 14

Ángulos correspondientes son iguales 1 3 Dr. Edwin Alfonso Sosa 4 6 5 7 2 8 15

Ángulos interiores en el mismo lado de la transversal suman 180° 1 3 Dr. Edwin Alfonso Sosa 4 6 5 7 2 8 16

Ejercicio 66 n Demostración de que los ángulos alternos externos tienen la misma medida: a) La medida del ángulo 2 = medida del ángulo ______, ya 3 que son ángulos opuestos por el vértice. La medida del ángulo 3 = 6 medida del ángulo _______, ya que son ángulos alternos internos. La medida del ángulo 6 = medida del ángulo ______, ya 7 que son ángulos opuestos por el vértice. Por los resultados de las partes (a), (b), y (c), la medida del ángulo 2 debe ser igual a la medida del ángulo ______, con 7 lo que se demuestra que los externos ángulos alternos ____ tienen la misma medida. b) c) d) Dr. Edwin Alfonso Sosa 1 2 3 4 5 7 6 8 17

Tarea n Pág. 498 n 67, 68, 69, 70, 77 Dr. Edwin Alfonso Sosa 18

Curvas, polígonos y círculos n Curva simple: No pasa dos veces por el mismo punto n Curva cerrada: Tiene sus puntos inicial y final localizados en el mismo lugar (puntos extremos coinciden. Simple; no cerrada Dr. Edwin Alfonso Sosa Simple cerrada 19

Figura convexa Segmento de línea AB tiene que estar completamente dentro de la figura. A B A Convexa Dr. Edwin Alfonso Sosa B No convexa 20

Polígonos n Los tipos de curvas mas comunes en las matemáticas están las que son simples y cerradas, y quizás las mas importantes de estas sean los polígonos. n Un polígono es una curva cerrada y simple constituida solamente por segmentos de línea recta. Los segmentos se llaman lados, y los puntos donde se encuentran los extremos se conocen como vértices. Dr. Edwin Alfonso Sosa 21

Clasificación de polígonos de acuerdo al numero de lados. Numero de Lados Nombre 3 4 5 6 7 8 9 10 Triangulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono Dr. Edwin Alfonso Sosa 22

Polígonos regulares n Tienen lados iguales y ángulos iguales. Dr. Edwin Alfonso Sosa 23

Triángulos Todos Agudos Ángulos Triangulo acutángulo Todos lados iguales Lados Un ángulo recto Un ángulo obtuso Triangulo rectángulo Triangulo obtusángulo Dos lados iguales No tiene lados iguales Dr. Edwin Alfonso Sosa Triangulo equilátero Triangulo escaleno Triangulo isósceles 24

Cuadriláteros El trapecio es un cuadrilátero con un par de lados paralelos El paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos El rectángulo es un paralelogramo con un ángulo recto (y por consiguiente cuatro ángulos rectos) El cuadrado es un rectángulo con todos sus lados de la misma longitud. El rombo es un paralelogramo con todos sus lados de la misma longitud. Dr. Edwin Alfonso Sosa 25

Suma de ángulos de un triangulo n La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triangulo es de 180°. (X+20)° x° Dr. Edwin Alfonso Sosa (210 -3 x)° 26

Medida de ángulo exterior n La medida del ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores opuestos. 5 1 2 3 6 4 Dr. Edwin Alfonso Sosa 27

Ejemplo La suma de los ángulos interiores A y B debe ser igual a la medida del ángulo BCD. B (X+20)° A x° (3 x-40)° C Dr. Edwin Alfonso Sosa D 28

Círculos n Se llama círculo a un conjunto de puntos en un plano, cada uno de los cuales esta a la misma distancia con respecto a un punto fijo (O, centro). P Radio del circulo cuerda O Q semicírculo R Dr. Edwin Alfonso Sosa T Secante del circulo Tangente del circulo 29

Ángulo inscrito en un semicírculo n Para estar inscrito en un semicírculo, el vértice del ángulo tiene que estar en el circulo con los lados del ángulo dirigidos a los puntos extremos del diámetro en la base del semicírculo. 90° Dr. Edwin Alfonso Sosa 30

Tarea n Pág. 505 n Ejercicios: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 43, 45, 49, 51, 54 Dr. Edwin Alfonso Sosa 31