S Vi Pham cac Gia Thiet cua Mo

Söï Vi Phaïm caùc Giaû Thieát cuûa Moâ Hình (Assumptions) Chöông 5 Hieän töôïng Phöông Sai Khoâng Ñoàng Ñeàu (Heteroscedasticity)

1. XAÙC ÑÒNH VAÁN ÑEÀ Hieän töôïng phöông sai khoâng ñoàng ñeàu laø hieän töôïng maø caùc phöông sai cuûa ñöôøng hoài qui cuûa toång theå öùng vôùi caùc gía trò cuûa caùc bieán ñoäc laäp laø khaùc nhau (phöông sai khoâng laø moät haèng soá). Var( t) 2 Vôùi t=1, 2, …N, vôùi N: soá maãu quan saùt Heteroscedasticity 2

1. XAÙC ÑÒNH VAÁN ÑEÀ Ñieàu naøy thöôøng xaûy ra ñoái vôùi caùc soá lieäu ñöôïc thu thaäp theo khoâng gian (cross-sectional data) vaø hieám khi xaûy ra ñoái vôùi soá lieäu thôøi gian (time-series data). Ví duï: Ta muoán nghieân cöùu moái quan heä giöõa möùc löông haøng naêm cuûa caùc Giaùo sö ôû baûy tröôøng Ñaïi hoïc ôû California, HK vôùi thaâm nieân coâng taùc cuûa hoï. Ta thieát laäp moät moâ hình hoài qui coù daïng: Heteroscedasticity 3

1. XAÙC ÑÒNH VAÁN ÑEÀ Salaryt = 0 + 1 Yearst + et (5. 2. 1) Trong ñoù: n n n Salary: möùc löông haøng naêm cuûa caùc giaùo sö (1000 USD/naêm) Years: soá naêm laøm vieäc keå töø khi toát nghieäp Ph. D. (naêm) Data Source: R. Ramanathan, Data 3 -11 Heteroscedasticity 4

Bieåu ñoà phaân boá raõi Salary vs. Years Heteroscedasticity 5

Phöông trình hoài qui Salaryt = 0 + 1 Yearst + et Heteroscedasticity 6

2. HAÄU QUÛA Ø ihat laø tuyeán tính, khoâng thieân leäch, vaø nhaát quaùn Ø ihat khoâng coøn laø toát nhaát (NOT BEST) (khoâng coù phöông sai beù nhaát) xi 2 · Var( 2 hat) = (heteroscedasticity) ( xi 2)2 thay vì: Heteroscedasticity 7

2. HAÄU QUÛA 2 Var( 2 hat) = (homoscedasticity) xi 2 Khi i 2 = 2 hai coâng thöùc treân laø moät. Ø Caùc öôùc löôïng cuûa phöông sai cuûa caùc heä soá (s ihat) laø thieân leäch (biased), vì vaäy, Ø Caùc kieåm gæa thieát laø deã daãn tôùi sai laàm Heteroscedasticity 8

3. PHAÙT HIEÄN ØBaèng tröïc gíac vaø kinh nghieäm—laøm vieäc thöôøng xuyeân vôùi soá lieäu, ta seõ coù moät “caûm giaùc” toát hôn vôùi soá lieäu, thoâng thöôøng vôùi cross-sectional data, raát coù khaû naêng ta coù hieän töôïng phöông sai khoâng ñoàng ñeàu. Ø Phaân tích baèng Bieåu ñoà (graphical analysis) : Scatter diagram Resid vs Xi t Heteroscedasticity 9

Scatter Diagram: Resid vs. Years Heteroscedasticity 10

Ø · Caùc kieåm ñònh chính thöùc (Tests) Kieåm ñònh Goldfeld-Quant (GQ test) (aùp duïng ñoái vôùi haøm coù moät bieán ñoäc laäp) · Kieåm ñònh White (White test) (aùp duïng toång quaùt ñoái vôùi haøm ña bieán) Heteroscedasticity 11

Kieåm ñònh Goldfeld-Quant (GQ test) v Phaùt bieåu gæa thieát: H 0: 12 = 22 H 1: 12 < 22 v Caùc böôùc thöïc hieän: 1. Xaép xeáp thöù töï caùc maãu quan saùt theo thöù töï taêng daàn theo gía trò cuûa bieán Xt (INCt). 2. Boû bôùt d maãu quan saùt naèm giöõa daõy soá, vaäy ta chia maãu ra thaønh 2 nhoùm, moãi nhoùm coù (N-d)/2 maãu quan saùt. Heteroscedasticity 12

GQ test 3. Öôùc löôïng hai ñöôøng hoài qui cho hai nhoùm soá lieäu vöøa ñöôïc taùch ra. Thu thaäp gía trò cuûa ESS (Sum of Squared Error) cuûa töøng ñöôøng hoài qui cuûa hai phöông trình hoài qui treân, goïi laø ESS 1 vaø ESS 2 theo thöù töï phöông trình 1 (nhoùm 1) vaø phöông trình 2 (nhoùm 2). [LÖU YÙ: Trong baûng “Estimation output cuûa Eviews, giaù trò naøy laø “ Sum of Squared Resid”] Heteroscedasticity 13

GQ test Moãi ESS coù baäc töï do: df 1 = (N-d)/2 – k 1 vaø df 2 = (N-d)/2 –k 2. Trong tröôøng hôïp haøm ñôn bieán, ta coù k 1=K 1 + 1 =k 2 = K 2 + 1 =2. Trong ñoù kj laø soá thoâng soá ñöôïc öôùc löôïng trong moãi moâ hình (bao goàm caû haèng soá) Heteroscedasticity 14

GQ test 4. Tính trò thoáng keâ GQStat · GQ(stat) = 22 / 12 F(N 2 -k 2, N 1 -k 1) Vôùi N 1 vaø k 1 laø soá maãu quan saùt vaø soá heä soá öôùc löôïng cuûa phöông trình hoài qui 1 (cho nhoùm 1—coù gía trò cuûa X (years) thaáp. Vaø, N 2 vaø k 2 laø soá maãu quan saùt vaø soá heä soá öôùc löôïng cuûa phöông trình hoài qui 2 (cho nhoùm 2—coù gía trò cuûa X (years) cao. GQstat = (ESS 2/df 2)/(ESS 1/df 1) Heteroscedasticity 15

GQ test Vôiù caùc gæa thieát khaùc ñöôïc thoõa, ta coù GQstat tuaân theo phaân phoái F vôùi ñoä baäc töï do cuûa töû soá laø df 2 vaø cuûa maãu soá laø df 1. Vaø caû hai ñeàu baèng (Nj-d)/2 – kj. 5. Keát luaän: Vôùi möùc cho tröôùc, baùc boû H 0 neáu GQstat > F , df 2 (töû soá), df 1 (maãu soá). Vaø chaáp nhaän gæa thieát H 1 töùc laø coù hieän töôïng phöông sai khoâng ñoàng ñeàu ( 22 > 12). Heteroscedasticity 16

Example: GQ test Regression 1: Sample 1 -75, ESS 1= 4872. 869 Heteroscedasticity 17

GQ test Regression 2, Sample: 148 -222, ESS 2 = 29178. 60 Heteroscedasticity 18

GQ test: Tính trò thoáng keâ GQ GQstat = (ESS 2/df 2)/(ESS 1/df 1) = [29178/(75 -2)]/[4872/(75 -2)] = 399. 706/66. 739 = 5. 98 > F 73, 73(α=0. 05) =1. 47 5. Keát luaän: Baùc boû H 0 ôû möùc yù nghóa =0. 05, vaø chaáp nhaän H 1 töùc coù hieän töôïng phöông sai khoâng ñoàng ñeàu trong moâ hình. Heteroscedasticity 19

Kieåm ñònh White (White test) Haõy xem xeùt moâ hình hoài qui sau: Yt = 1 + 2 X 2 t + 3 t X 3 t+ ut (5. 2. 2) Basic idea: Giaû söû raèng phöông sai soá coù quan heä vôùi moät vaøi hay taát caû caùc bieán soá trong moâ hình hoài qui (bao haøm caû caùc ñaïi löôïng bình phöông (squares), vaø ñaïi löôïng töông taùc (interaction terms). t 2 = 1 + 2 X 2 t + 3 X 3 t + 4 X 2 t 2 + 5 X 3 t 2 + w 6 X 2 t. X 3 t Heteroscedasticity 20

White test: Caùc böôùc thöïc hieän: Phaùt bieåu giaû thuyeát: H 0: 2 = 3 = 4 = 5 = 6 =0 (homoscedasticity) H 1: ít nhaát coù moät i khaùc khoâng (heteroscedasticity) Heteroscedasticity 21

1. Vôùi soá lieäu cho tröôùc ta öôùc löôïng phöông trình 5. 2. 2 2. Thu thaäp ñaïi löôïng sai soá (residuals) cuûa phöông trình hoài qui goác 3. Öôùc löôïng phöông trình hoài qui nhaân taïo (artificial regression) sau ñaây: ( that)2 = 1 + 2 X 2 t + 3 X 3 t + 4 X 2 t 2 + 5 X 3 t 2 + 6 X 2 t. X 3 t Goïi heä soá xaùc ñònh cuûa moâ hình hoài qui nhaân taïo naøy: R 2 arti Heteroscedasticity 22

4. Tính trò thoáng keâWhite Statistics: Wstat = N. R 2 arti 2 df=K Vôùi K=soá bieán ñoäc laäp trong phöông trình hoài qui nhaân taïo. 5. Vôùi möùc cho tröôùc, neáu, Wstat > 2 , df=K, ta coù theå baùc boû H 0. Vaø chaáp nhaän H 1, töùc moâ hình coù hieän töôïng phöông sai khoâng ñoàng ñeàu. Example: White test, artificial regression Heteroscedasticity 23

1. Öôùc löôïng moâ hình 5. 2. 2 Ta muoán öôùc löôïng moâ hình Yt = 1 + 2 X 2 t + 3 t X 3 t+ ut (5. 2. 2) Trong ñoù: Yt : Salary X 2 t : Years X 3 t: (Years)2 Keát quaû öôùc löôïng nhö sau: Heteroscedasticity 24

Model 5. 2. 2 (Orginal Model-OLS) Heteroscedasticity 25

White test (Artificial Regression) : Eview: Trong màn hình estimation output ViewResidual testWhite Heteroscedasticity (Cross terms) Heteroscedasticity 26

White test 4. Tính trò thoáng keâ White: Wstat = N*R 2 arti = 222*0. 1138=25. 2636 5. Keát luaän: Wstat =25. 2636 > 2 df=K = 24 = 3. 35669 Vaäy baùc boû H 0 vaø chaáp nhaän H 1: töùc coù hieän töôïng Heteroscedasticity 27

4. BIEÄN PHAÙP KHAÉC PHUÏC 1. Öôùc löôïng bình phöông beù nhaát coù troïng soá a. Tröôøng hôïp phöông sai t 2 laø bieát tröôùc Giaû söû ta coù phöông trình: Yt = 1 + 2 Xt + ut (4. 2 -3) Vaø var(ut) 2, neáu ta bieát t 2 Ta chia hai veá cuûa phöông trình (4. 2 -3) cho t 2. Vaø öôùc löôïng moâ hình hoài qui sau: Heteroscedasticity 28

Yt/ t = 1/ t + 2 Xt/ t + ut/ t (4. 2 -4) Hay Yt* = 1*X 0 t* + 2*Xt* + ut* Luùc naøy var(ut*) laø moät haèng soá—why? Heteroscedasticity 29

b. Tröôøng hôïp khoâng bieát t 2 b. 1. Neáu Var(ut) = 2 Xt 2 -> choïn troïng soá laø Xt b. 2. Neáu Var(ut) = 2 Xt -> choïn troïng soá laø SQRT(Xt) b. 3. Neáu Var(ut) = 2 E(Yt)2 -> choïn troïng soá laø E(Yt) Example: Weighted Least Squares-WLS (öôùc löôïng bình phöông beù nhaát coù troïng soá. Heteroscedasticity 30

Model 5. 2. 2 -WLS: Weight=years 2 Eviews: Make equationkhai baùo bieánOptionsWLS/TSLSWeight=years 2 Heteroscedasticity 31

2. Chuyeån ñoåi taát caû soá lieäu sang daïng logs. Khi ta chuyeån soá lieäu sang daïng logs, söï bieán thieân cuûa caùc soá lieäu giaûm xuoáng roõ reät, raát coù nhieàu khaû naêng ta traùnh ñöôïc hieän töôïng heteroscedasticity. Heteroscedasticity 32

Salary vs. years vaø log(salary) vs. log(years) Heteroscedasticity 33

Salary vs. years 2 vaø log(salary) vs. log(years 2) Heteroscedasticity 34

Log-log model Heteroscedasticity 35

Resid (of log-log model) Heteroscedasticity 36

White test for log-log model Heteroscedasticity 37

3. Giöõ nguyeân caùc heä soá öôùc löôïng nhöng tìm kieám caùc öôùc löôïng nhaát quaùn cuûa phöông sai cuûa caùc heä soá (taêng soá maãu quan saùt--tính chaát maãu lôùn). Heteroscedasticity 38