RELAES Temas a tratar Relaes de ordem parcial

RELAÇÕES

Temas a tratar: Relações de ordem parcial Relações de ordem total Conjuntos parcialmente ordenados e suas propriedades

Definição 1: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A: ü R diz-se reflexiva quando x A, x. Rx; ü R diz-se simétrica quando x, y A (x. Ry y. Rx); ü R diz-se anti-simétrica quando x, y A (x. Ry e y. Rx x=y); ü R diz-se transitiva quando x, y, z A (x. Ry e y. Rz x. Rz); ü R diz-se dicotómica quando x, y A, x. Ry ou y. Rx; ü R diz-se tricotómica quando x, y A, se tem um e um só dos seguintes casos: x. Ry ou y. Rx ou x=y.

Definição 2: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A. R diz-se uma relação de ordem parcial quando é reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Definição 3: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A. R diz-se uma relação de ordem total se for transitiva e tricotómica.

Exercício 1: Prove que se for uma relação de ordem total num conjunto A, então a relação , definida em A por x y ou x=y, é uma relação de ordem parcial.

Definição 4: Quando R é uma relação de ordem parcial num conjunto A, dizemos que (A; R) é um conjunto parcialmente ordenado (abreviadamente, cpo).

Exemplos: Os seguintes pares são cpo’s: 1) (P(A); ) onde A é um conjunto e P(A) representa o conjunto das partes (ou subconjuntos) de A. 2) (IN; ≤), (Z; ≤), (Q; ≤) e (IR; ≤), onde ≤ é a ordem usual. 3) (C; *) onde a relação * é definida, para quaisquer x, y, z, w IR, por (x yi) * (z wi) x z e y w.

Exercício 2: Prove que (IN; ) é um cpo, onde é a relação “é divisor de” em IN, isto é, para n, m IN tem-se n m m=kn, para algum k IN. Note-se no entanto que (Z; ), onde é a relação “é divisor de” em Z, ou seja, está definida para cada n, m Z por n m m=kn para algum k Z, não é um cpo. De facto, não é uma relação anti-simétrica pois 2 -2, -2 2 e, no entanto, 2 -2.

Notação: Habitualmente é usado o símbolo para representar uma ordem parcial num conjunto A. Dados x, y A, escreve-se: • x y e diz-se que “x é menor ou igual a y”; • x y se x y e, diz-se que “x é menor que y”; • x y para negar x y, e diz-se que “x não é menor nem igual a y”;

• x y se y x, e diz-se que “x é maior ou igual a y”; • x<<y se x y e z A tal que x z y e diz-se que “x é coberto por y” ou que “y cobre x”; • x y se x y e y x, e diz-se que "x e y são incomparáveis”. Por exemplo, 4 6 em (IN; ), 6<<7 em (IN; ), e não existem x, y IR tais que x<<y em (IR; ).

Definição 5: Se R é uma relação binária sobre A, a relação binária R-1 sobre A definida, para cada x, y A, por x R-1 y y R x é chamada a relação inversa de R. Se (A; ) é um cpo, então representa a relação inversa (também chamada a relação dual) de e (A; ) é um cpo, chamado o cpo dual de (A; ).

Definição 6: Seja (A; ) um cpo e seja X um subconjunto de A. Por restrição da relação a X obtém-se uma relação de ordem parcial em X (relação induzida pela relação em A). Assim, (X; ) é um cpo para a relação induzida pela relação de (A; ). Definição 7: Seja (A; ) um cpo. Diz-se que (A; ) é um conjunto totalmente ordenado ou uma cadeia, se quaisquer dois elementos estiverem relacionados, isto é, dados x, y A, tem-se x y ou y x. Neste caso, os elementos x e y dizem -se comparáveis.

Exemplos: 1. Os cpo’s (IN; ), (Z; ), (Q; ) e (IR; ) com a operação “ ” usual, são cadeias. 2. Dado um conjunto A, o cpo (P(A); ) não é uma cadeia. Por exemplo, se considerarmos A={1, 2, . . . , 12}, os dois elementos {1} e {2} são incomparáveis, uma vez que {1} {2} e {2} {1}.

Um cpo finito (A; ) pode ser representado graficamente por um diagrama, chamado diagrama de Hasse. Num tal diagrama, um ponto ou pequeno círculo que represente um certo elemento x deve ser desenhado abaixo de qualquer ponto que represente um elemento y tal que x y. Se x e y são elementos tais que x y, então desenha -se um segmento de recta unindo o ponto que representa x ao ponto que representa y.

Por exemplo, considere-se o cpo (P(A); ), com A IN finito. Apresentam-se a seguir, diagramas de Hasse para alguns cpo’s deste tipo: (i) (P({1}); ) {1}

(ii) (P({1, 2}); ) {1, 2} {1} {2} Observação: Tem-se que {1} {2} e {2} {1}, donde {1} {2} e portanto não existe nenhum segmento de recta a ligar os dois elementos.

Exercício 3: No conjunto A={1, 2, 3, 4, . . . , 12} a relação de “divisor” é uma relação de ordem parcial. Recorda-se que, para x, y A, dizer que “x é divisor de y” ou "x divide y" ou "x y" significa que k A, tal que, y = x. k Construa o diagrama de Hasse para o cpo (A; ).

Definição 8: Sejam (A; ) um cpo e X A. Diz-se que: Ø m X é elemento maximal em X se x X (m x m=x); Ø n X é elemento minimal em X se x X (x n x=n); Ø m X é elemento máximo de X se x X, x m; Ø n X é elemento mínimo de X se x X, n x; Ø m A é majorante de X se x X, x m; Ø n A é minorante de X se x X, n x;

Øs A é supremo de X se: - x X, x s; - x X, x m s m; Øt A é ínfimo de X se: - x X, t x; - x X, n x n t.

Notação: Ma X – conjunto dos majorantes de X; Mi X – conjunto dos minorantes de X; X ou sup X – supremo de X; X ou inf X – ínfimo de X; max X – elemento máximo de X; min X – elemento mínimo de X. Observação: A anti-simetria da relação garante que, no caso de existir elemento máximo (elemento mínimo, supremo, ínfimo) de X, este é único.

Exemplo: Consideremos o cpo representado pelo diagrama: g j i h f e c b a d

Se X={b, c, d, e}, tem-se: Mi X = {a, b} Ma X = {g, i, h, f} Sup X = f Inf X = b Min X = b Max X - não existe porque, f X e f é o menor dos majorantes. Maximais em X = {e, c, d} Minimais em X = {b}

Observações: Um subconjunto dum cpo pode admitir mais do que um elemento maximal (resp. minimal); Um subconjunto dum cpo pode não admitir elementos maximais (resp. minimais). Por exemplo, Z com a relação usual “ ”; Se existir elemento máximo (resp. mínimo) de um subconjunto X dum cpo (A; ), ele é elemento maximal em X (resp. minimal)

Exemplo: No diagrama de Hasse seguinte está representado um cpo que tem 3 elementos maximais mas não tem elemento máximo. a b c d e

Exercício 4: Considere-se o cpo (A; ), com A = {1, 2, . . . , 12}. Seja X={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12} tal que X A. Represente por um diagrama de Hasse o cpo (A; ). Indique, caso existam: Ma X, Mi X, Sup X, Inf X, Min X, Max X, elementos maximais e minimais em X.