Regra de Cramer Resolver o sistema pela regra

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Regra de Cramer Resolver o sistema pela regra de Cramer 1 2 -1 A)

Regra de Cramer Resolver o sistema pela regra de Cramer 1 2 -1 A) D = 2 -1 1 1 3 -1 1 6 1 1 2 x – y + z = 3 x+y+z=6 = -7 2 2 -1 B) Dx = x + 2 y – z =2 = -7

1 2 -1 x + 2 y – z =2 D= 2 x –

1 2 -1 x + 2 y – z =2 D= 2 x – y + z = 3 x+y+z=6 C) Dy = 1 2 -1 2 3 1 1 6 1 2 -1 1 1 = -14 1 2 2 D) Dz = 6 -1 1 3 = -21 1 6 S ={ 1 , 2 , 3} = -7

Discussão de um Sistema linear S. P. D S. P. I Dx = Dy

Discussão de um Sistema linear S. P. D S. P. I Dx = Dy = Dz =0 S. I

Em relação aos sistemas lineares, assinale o que for correto

Em relação aos sistemas lineares, assinale o que for correto

Sistema homogêneo 2 x + 3 y + 4 z = 0 Resolva o

Sistema homogêneo 2 x + 3 y + 4 z = 0 Resolva o sistema 3 x – y + z = 0 5 x + 2 y + 8 z = 0 a) 2 3 4 3 -1 1 5 8 2 Portanto S. P. D. b) A única solução do sistema é a trivial (0 , 0 ) O sistema homogêneo nunca é impossível

Uma antiga história conta que um sertanejo e um velho burro subiam uma ladeira,

Uma antiga história conta que um sertanejo e um velho burro subiam uma ladeira, ambos com uma carga de espigas de milho sobre as costas. Por causa do cansaço e do calor, o velho burro começa a ofegar. Então o sertanejo lhe diz: “Por que está ofegando tanto? Saiba que se eu tirar 8 espigas de seu lombo e colocar sobre as minhas costas, minha carga será o dobro da sua. Por outro lado, ainda que eu tire 8 espigas das minhas costas e coloque sobre as suas, a sua carga ficará igual à minha”. Pergunta-se: Juntando-se as cargas do burro e do sertanejo, qual era o total de espigas.

Saiba que se eu tirar 8 espigas de seu lombo e colocar sobre as

Saiba que se eu tirar 8 espigas de seu lombo e colocar sobre as minhas costas, minha carga será o dobro da sua. Por outro lado, ainda que eu tire 8 espigas das minhas costas e coloque sobre as suas, a sua carga ficará igual à minha”. Pergunta-se: Juntando-se as cargas do burro e do sertanejo, qual era o total de espigas.

PA E PG

PA E PG

Progressões Aritméticas Termo geral: Soma de PA :

Progressões Aritméticas Termo geral: Soma de PA :

Progressões Aritméticas Três termos consecutivos em PA : x- r , x + r

Progressões Aritméticas Três termos consecutivos em PA : x- r , x + r Lados de um triângulo retângulo em PA : 3 r, 4 r, 5 r ( r a razão)

Progressões Geométricas Termo geral: Soma de PG finita: Limite da soma de PG infinita:

Progressões Geométricas Termo geral: Soma de PG finita: Limite da soma de PG infinita:

Progressões Geométricas Três termos em PG: x/q , x. q O limite da soma

Progressões Geométricas Três termos em PG: x/q , x. q O limite da soma de PG infinita é usada para PG decrescente

Progressões Geométricas Se uma população cresce a uma taxa anual de 5 %, PG

Progressões Geométricas Se uma população cresce a uma taxa anual de 5 %, PG de razão igual a 1, 05. Se uma população decresce a uma taxa anual de 5 %, PG de razão igual a 0, 95.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Raiz de uma equação algébrica Dada a equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes

Raiz de uma equação algébrica Dada a equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes reais, o número é denominado de raiz ou solução da equação se, e somente se, P(x) = 0. é raiz de P(x) = 0 P( ) = 0 Exemplo: Se x = 1 é raiz da equação x 3 – x 2 + x – 1 = 0 então P(1) = 13 – 12 + 1 – 1 = 0

Teorema Fundamental da Álgebra “Toda equação algébrica de grau n (n > 1) possui

Teorema Fundamental da Álgebra “Toda equação algébrica de grau n (n > 1) possui pelo menos uma raiz complexa” Exemplo: A equação 2 x 4 – 6 x 3 + 7 x + 5 = 0 possui, conforme o “T. F. A. ”, pelo menos uma raiz complexa.

Teorema da decomposição “Toda equação algébrica de grau n (n > 1) pode ser

Teorema da decomposição “Toda equação algébrica de grau n (n > 1) pode ser decomposta em fatores do 1º grau. ” Se considerar x 1, x 2, x 3. . . xn raízes da equação, então: y = a 0(x – x 1)(x – x 2)(x – x 3). . .

Exemplo: As raízes de um polinômio P(x) do 3º grau são 0, 1 e

Exemplo: As raízes de um polinômio P(x) do 3º grau são 0, 1 e 2. Sabendo-se que , então o poli- nômio P(x) é: P(x) = a 0(x – 0)(x – 1)(x – 2) Como: P(x) = a 0. x. (x 2 – 3 x + 2) P(x) = a 0(x 3 – 3 x 2 + 2 x) Então: a 0 = -4 Logo: P(x) = -4(x 3 – 3 x 2 + 2 x) ou P(x) = -4 x 3 + 12 x 2 – 8 x

Multiplicidade de raiz É o número de vezes que uma raiz se repete na

Multiplicidade de raiz É o número de vezes que uma raiz se repete na equação. Exemplo: Se em x 5 + x 4 – 11 x 3 – x 2 + 8 x – 4 = 0 Então: x = 1 (raiz tripla) ou com grau de multiplicidade 3. x = -2 (raiz dupla) ou com grau de multiplicidade 2.

Raízes nulas Na equação a 0 xn + a 1 xn – 1 +.

Raízes nulas Na equação a 0 xn + a 1 xn – 1 +. . . + an – 1 x + an = 0 Se an = 0, então “ 0” será raiz. O zero se repetirá como raiz conforme seja a menor potência de x. Exemplos: a) x 4 – 7 x 3 + x 2 – 3 x = 0 b) x 4 – 7 x 3 + x 2 =0 0 é raiz uma vez 0 é raiz duas vezes 0

Raízes racionais Atenção: Números racionais = inteiros + frações. Na equação: a 0 x

Raízes racionais Atenção: Números racionais = inteiros + frações. Na equação: a 0 x 4 + a 1 xn – 1 +. . . + an – 1 x + an = 0 Faz-se: p divisores do termo independente (an). q maior grau a 0. Fazendo-se da equação. tem-se as prováveis raízes

Exemplo: 2 x 3 – x 2 – 8 x + 4 = 0

Exemplo: 2 x 3 – x 2 – 8 x + 4 = 0 p = {+1, +2, +4} q = {+1, +2} Prováveis = Por tentativa temos: X X 2 x 2 +3 x – 2 = 0 que aplicando a “Fórmula de Bháskara” temos: x’ = -2 e x” = ½. Então:

Raízes complexas Toda equação que admite uma raiz x 1 = a + bi,

Raízes complexas Toda equação que admite uma raiz x 1 = a + bi, admitirá também como raiz e sua conjugada, x 2 = a – bi.

Relações de Girardi Quando aplicar: 1) Quando o teste solicitar soma e produto de

Relações de Girardi Quando aplicar: 1) Quando o teste solicitar soma e produto de raízes. 2) Quando relacionar raízes com coeficientes. Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = 0

Exemplo: 1) Ache a soma e o produto das raízes da equação. 2 x

Exemplo: 1) Ache a soma e o produto das raízes da equação. 2 x 3 – 6 x 2 + 3 x + 20 = 0 soma = 3 Produto = -10

Relações reais O “Teorema de Bolzano” permite pesquisar a existência de raízes reais em

Relações reais O “Teorema de Bolzano” permite pesquisar a existência de raízes reais em intervalos reais.

 • Teorema de Bolzano Sejam P(x) = 0 uma função polinomial de coeficientes

• Teorema de Bolzano Sejam P(x) = 0 uma função polinomial de coeficientes reais e um intervalo [a; b] R. 1) Se P(a) e P(b) tem sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais [a e b]. y y Uma só raiz real f f(x 2) x 1 r f(x 1) f x 1 r 1 f(x 1) x x 2 Três raízes reais distintas. r 2 x r 3 x 2 P(a). P(b) < 0 y y Uma raiz real dupla e uma simples f(x 2) x 1 x 2 r 1 f(x 1) r 2 Uma raiz real tripla f(x 2) x 1 x f(x 1) r x 2 x

2) Se P(a) e P(b) tem sinais iguais, o teorema não garante a existência

2) Se P(a) e P(b) tem sinais iguais, o teorema não garante a existência de reais, podendo, no entanto existir raízes um número par de raízes ]x 1; x 2[. y Tem duas raízes reais distintas. y f(x 2) Tem quatro raízes reais distintas. x 1 f(x 1) r 2 r 3 r 1 x 1 r 2 x 2 r 4 x f(x 1) x f(x 2) P(a). P(b) > 0 y y Não tem raiz real. Tem uma raiz real dupla e duas raízes reais simples. f(x 2) f(x 1) x 1 x 2 x r 3 x 1 r 1 = r 2 r 4 x 2 x

MATEMÁTICA DETERMINANTES

MATEMÁTICA DETERMINANTES

DETERMINANTES: 1) DEFINIÇÃO SENDO M O CONJUNTO DAS MATRIZES QUADRADAS E R O CONJUNTO

DETERMINANTES: 1) DEFINIÇÃO SENDO M O CONJUNTO DAS MATRIZES QUADRADAS E R O CONJUNTO DOS REAIS, ENTÃO: “DETERMINE A FUNÇÃO det: M R, ONDE Mn det Mn, TAL QUE:

DETERMINANTES: a) Se n = 1 det Mn = a 11 b) Se n

DETERMINANTES: a) Se n = 1 det Mn = a 11 b) Se n = 2 det Mn = a 11 a 12 a 21 a 22 c) Se n = 3 det Mn = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

DETERMINANTES: 2) Regras Práticas § Determinante de 2ª ordem a 11 a 12 a

DETERMINANTES: 2) Regras Práticas § Determinante de 2ª ordem a 11 a 12 a 21 a 22 D. S. - D. P. +

DETERMINANTES: § DETERMINANTE DE 3ª ORDEM (REGRA DE SARRUS) - a 11 a 12

DETERMINANTES: § DETERMINANTE DE 3ª ORDEM (REGRA DE SARRUS) - a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 D. S. - + + D. P. +

DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO a) UMA FILA NULA 1 0 -1

DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO a) UMA FILA NULA 1 0 -1 4 0 9 = 0 OU 3 0 5 5 1 2 9 3 2 =0 0

DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO b) DUAS FILAS PARALELAS IGUAIS 1 1

DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO b) DUAS FILAS PARALELAS IGUAIS 1 1 5 4 4 7 =0 3 3 2 C 1 = C 2 OU 1 4 3 6 7 2 =0 1 4 3 L 1 = L 3

DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO c) DUAS FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS 1 3

DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO c) DUAS FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS 1 3 1 4 12 5 = 0 3 9 2 C 2 = 3 C 1 0 2 -1 OU 6 4 2 = 0 0 4 -2 L 1 = 2 L 3

DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO d) UMA FILA É COMBINAÇÃO LINEAR DE

DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO d) UMA FILA É COMBINAÇÃO LINEAR DE DUAS FILAS PARALELAS 1 4 3 2 4 5 =0 -1 0 -2 L 1 = L 2 + L 3 4 0 4 OU -1 2 -3 = 0 3 9 -6 C 3 = C 1 – C 2

DETERMINANTES: ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE a) TROCANDO A POSIÇÃO DE DUAS FILAS PARALELAS , O

DETERMINANTES: ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE a) TROCANDO A POSIÇÃO DE DUAS FILAS PARALELAS , O DETERMINANTE TROCA DE SINAL 2 0 1 -2 2 1 = -6 1 4 3 0 2 1 2 -2 1 = 6 4 1 3

DETERMINANTES: ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE b) MULTIPLICANDO UMA FILA POR , O DETERMINANTE FICA MULTIPLICADO

DETERMINANTES: ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE b) MULTIPLICANDO UMA FILA POR , O DETERMINANTE FICA MULTIPLICADO POR . 2 0 1 -2 2 1 1 4 3 (x 2) = -6 4 0 1 -4 2 1 2 4 3 = 2. (-6)= -12

DETERMINANTES: c) UM DETERMINANTE FICA MULTIPLICADO POR , QUANDO TODO OS ELEMENTOS DO DETERMINANTE

DETERMINANTES: c) UM DETERMINANTE FICA MULTIPLICADO POR , QUANDO TODO OS ELEMENTOS DO DETERMINANTE FOREM MULTIPLICADOS POR Ex: 1) . 1 3 2 0 -2 1 = 5 2 1 4 SE MULTIPLICARMOS TODOS OS ELEMENTOS POR 2 2 6 4 0 -4 2 , então seu resultado será 3. (5) = 40 2 4 2 8 2) Se M é matriz de 3ª ordem e det(m) = 8, então det(3 m) = 33. det(m) = 27. 8 = 216

DETERMINANTES: DETERMINANTE NÃO SE ALTERA a) SE TROCAR EM ORDEM LINHAS POR COLUNAS 2

DETERMINANTES: DETERMINANTE NÃO SE ALTERA a) SE TROCAR EM ORDEM LINHAS POR COLUNAS 2 1 4 0 9 3 6 7 8 = 2 0 6 1 9 7 4 3 8 b) SE SOMARMOS A UMA FILA UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE OUTRAS FILAS PARALELAS (TEOREMA DE JACOBI) 2 1 3 6 4 2 7 0 7 = 2 1 0 6 4 8 7 0 0 C 3 = C 1 + C 2 – C 3

DETERMINANTES: TEOREMA DE BINET SE A E B SÃO MATRIZES QUADRADOS DE MESMA ORDEM,

DETERMINANTES: TEOREMA DE BINET SE A E B SÃO MATRIZES QUADRADOS DE MESMA ORDEM, ENTÃO : det (A. B) = det(A). det(B) Ex: 1 2 4 det -1 5 3 0 1 2 . 1 -1 0 2 0 1 4 3 1 = det 1 2 4 1 -1 0 -1 5 3. det 2 0 1 2 4 3 1