3 1 DTERMINANTS SUITE Cours 6 Au dernier

3. 1 DÉTERMINANTS (SUITE) Cours 6

Au dernier cours, nous avons vu ✓ La définition axiomatique du déterminant. ✓ Le calcul d’aire à l’aide du déterminant. ✓ La façon de résoudre un système d’équations linéaires à deux équations et à deux inconnues à l’aide de la règle de Cramer. 2

Aujourd’hui, nous allons voir ✓ Le déterminant en dimension 3. ✓ Le calcul d’un volume à l’aide du déterminant. ✓ La façon de résoudre un système d’équations linéaires à trois équations et à trois inconnues à l’aide de la règle de Cramer. 3

Volumes Ça serait bien si on pouvait faire quelque chose de semblable pour les volumes! Regardons si les propriétés du déterminant correspondent aux propriétés des volumes orientés. 4

Dans l’espace Volume positif Volume négatif 5

Définition: Le déterminant de trois vecteurs dans l’espace est un nombre Si on a les coordonnées des vecteurs on peut aussi noter le déterminant) tel que les six propriétés suivantes sont respectées. 6

D 1. D 2. D 3.

D 4. 8

D 5. 9

D 6.

D 1. 11

D 2. Hum. . . pas de volume! 12

D 3. 13

D 4. 14

D 5. 15

D 6. 16

Calculons le volume. 17

On refait çaavec eux. 18

19

Exemple: Trouver le volume du parallélépipède suivant Mais ça, c’est le volume orienté. Pour obtenir le volume, il suffit de prendre la valeur absolue. 20

Faites les exercices suivants p. 98 # 10 à 12 21

Théorème: Règle de Cramer La preuve est semblable à celle pour un système à deux équations et à deux inconnues. 22

Volume d’un tétraèdre volume du parallélépipède 23

Le déterminant peut servir à établir si trois vecteurs sont dans un même plan. Car s’ils sont dans un même plan, ils n’auront pas de volume. 24

Faites les exercices suivants p. 102 #13 à 17 25

Aujourd’hui, nous avons vu ✓ Le déterminant en dimension 3 ✓ Le calcul d’un volume à l’aide du déterminant. ✓ La façon de résoudre un système d’équations linéaires à trois équations et à trois inconnues à l’aide de la règle de Cramer. 26

Devoir: p. 101, #1 à 28 27