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Étapes de la leçon 1) Les équations du premier degré avec deux inconnues. 2) Résolution d’un système d’ équations à deux inconnues. 1. Méthode de substitution 2. Méthode de combinaison linéaire ou addition 3. Méthode des déterminants Leçon 3(partie 4): Equation du premier degré avec deux inconnues et systèmes Mathématiques Tronc commun littéraire Création : ATMANI NAJIB

Tronc commun littéraire MATHÉMATIQUE Résumé de Cours avec exemples et exercices avec corrections Leçon 3: (partie 4): Les équations et systèmes d’équations du premier degré avec deux inconnues. Méthodes et astuces Remarques et conseils pratiques Création : ATMANI NAJIB

1) Les équations du premier degré avec deux inconnues. a)Définition: Une équation de la forme ax + by +c=0 , où a, b et c sont des coefficients donnés, est une équation à 2 inconnues x et y. Exemples: 3 x + 2 y – 5=0 – 2 x + y = 1 – 2 x+y -1 = 0 y = 2 x 2 x-y +0=0 y = x + 4 etc. x -y + 4=0 2)Solutions d’une équation du premier degré à 2 inconnues a)Exemple: Soit l’équation: Trouver trois solutions de l’équation Solution: v Pour x = – 2 On a: Équivalent à : Le couple (– 2; – 3) est donc une solution de l’équation Équivalent à : v Pour x = – 1 On a: Équivalent à : Le couple (– 1; – 1) est donc une solution de l’équation Équivalent à : v Pour x = 0 On a: Équivalent à : Le couple (0; 1) est donc une solution de l’équation Équivalent à : b)Résultat: Une équation à 2 inconnues admet une infinité de solutions 3 Création : ATMANI NAJIB

c)Résolution d’une équation du premier degré à 2 inconnues Exemple: Résoudre dans l’équations suivant: Solution: Équivalent à : Les solutions de l’équation sont des couples Donc : Exercice: Résoudre dans l’équations suivant: Équivalent à : Solution: Équivalent à : Donc : Exercice: Résoudre dans l’équations suivant: Équivalent à : Solution: Équivalent à : Donc : Création : ATMANI NAJIB

2) Système de deux équations à deux inconnues : vocabulaire. Est un système de deux équations du premier degré a deux inconnues Sont les deux équations Et Si Et On dit que le couple Et Sont les deux inconnues alors Est solution du système Résoudre le système c’est déterminer l’ensemble des couples qui vérifient les deux équation 3)Résolution d’un système Pour Résoudre un système on utilise généralement quatre méthodes : a) Méthode de substitution b) Méthode de combinaison linéaire ou addition c) Méthode des déterminants Création : ATMANI NAJIB

a) Méthode de substitution : Substituer, c'est remplacer par (Mettre à la place de). Exemple: Résoudre dans le système suivant par la méthode de substitution : Solution: Pae exemple on exprime en fonction de dans la première équation On obtient le système équivalent : On remplace ensuite par ce qui donne le système : équivalent : On remplace ensuite équivalent : par dans la première équation on trouve donc : l’ensemble des solutions du système est: REMARQUE: On utilise cette méthode de substitution lorsque l’une des inconnues a pour coefficient « 1 » ou « -1 » . Création : ATMANI NAJIB

b) Méthode de combinaison linéaire ou addition Exemple: Résoudre dans le système suivant par la méthode de combinaison linéaire : Solution: Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l'une des inconnues, en multipliant les équations par des facteurs bien choisis. on multiplie les termes de la première équation par 2 et ceux de la seconde par 3 : on obtient le système: On additionne membre à membre les deux équations on obtient l’équation : équivalent : On remplace ensuite on trouve: Par: 2 ce qui donne: dans une équation par exemple : C’est a dire : ce qui donne: donc : l’ensemble des solutions du système est: Création : ATMANI NAJIB

Exercice: Résoudre dans le système suivant par la méthode de combinaison linéaire : Solution: La combinaison On multiplie la première équation par: 2 On multiplie la deuxième équation par : -5 On obtient le système: On additionne membre à membre les deux équations on obtient l’équation : On élimine ainsi les x et on trouve y : équivalent : ce qui donne: On remplace ensuite par: -4 dans une équation par exemple : on trouve: C’est a dire : ce qui donne: donc : l’ensemble des solutions du système est: Création : ATMANI NAJIB

c) Méthode des déterminants ou de cramer Exemple 1: Résoudre dans le système suivant par la Méthode des déterminants ou de cramer Solution: Le déterminant est : alors le système admet un couple solution unique: donc : l’ensemble des solutions du système est: Règle: Création : ATMANI NAJIB

Exercice: Résoudre dans le système suivant par la Méthode des déterminants ou de cramer Solution: Le déterminant est : Donc : alors le système admet un couple solution unique: donc : l’ensemble des solutions du système est: Création : ATMANI NAJIB

Résolution d’un problème : activité Exemple : Pour les fêtes de fin d'année, un groupe d'amis souhaite emmener leurs enfants assister à un spectacle. Les tarifs sont les suivants : 45 dh par adulte et 30 dh par enfant s'ils réservent en catégorie 1. 27 dh par adulte et 20 dh par enfant s'ils réservent en catégorie 2. Le coût total pour ce groupe d'amis est de 510 dh s'ils réservent en catégorie 1 et 316 dh s'ils réservent en catégorie 2. Déterminer le nombre d'adultes et d'enfants de ce groupe? Solution: 1ère étape : je repère et je nomme les inconnues: On appelle A le nombre d'adultes et E le nombre d'enfants. 2ème étape : je traduis en langage Avec la première catégorie on obtient l'équation: mathématique les phrases de l’énoncé. Avec la seconde catégorie on obtient l'équation: On est donc ramené à résoudre le système 3ème étape : je résous le système obtenue: Nous allons résoudre ce système à l'aide de combinaisons linéaires : Création : ATMANI NAJIB

Nous allons résoudre ce système à l'aide de combinaisons linéaires : Équivalent à : On additionne membre à membre les deux équations on obtient l’équation : ce qui donne: équivalent : On remplace ensuite Par: 8 dans une équation par exemple : on trouve: C’est a dire : ce qui donne: Donc: 4ème étape : On vérifie que le couple est bien solution du système 12 5ème étape : je conclus: le nombre d'adultes est : Et le nombre d'enfants est : Création : ATMANI NAJIB

Résolution d’un problème : activité Exercice 1 : Ahmed a planté un arbre de 135 cm de hauteur près de sa maison. Cet arbre croît au rythme de 15 cm par année. Fatima, sa sœur, a planté un arbre d’une autre espèce qui mesure 75 cm de hauteur, mais qui croît de 20 cm par année. a) Après combien d’années, les arbres seront-ils de la même hauteur ? Méthode 1ère étape : je repère et je nomme les inconnues. Appelons x : le nombre d’années y : la hauteur des arbres 2ème étape : je traduis en langage mathématique les phrases de l’énoncé. Pour Ahmed : On a le système d’équations: Pour Fatima: les arbres seront de la même hauteur si : 3ème étape : je résous l’équation obtenue Équivalent à : 4ème étape : C’est-à-dire : (années) Vérification : On remplace par la valeur trouvée et si on n’obtient pas le résultat alors il y a une erreur dans la résolution. 5ème étape : je conclus Après 12 ans les arbres seront de la même hauteur Après 12 ans la hauteur sera: 13 Création : ATMANI NAJIB

Les équations et systèmes d’équations du premier degré avec deux inconnues. Création : ATMANI NAJIB