lgebra Linear Unidade II Determinantes Prof Edson Brito

Álgebra Linear Unidade II: Determinantes Prof. Edson Brito

Tópicos Estudados • UNIDADE II - Determinante e matriz inversa: – Aspectos introdutórios e conceitos preliminares, definição e propriedades. – Desenvolvimento de Laplace, Regra de Cramer. – Procedimento para inversão de matrizes

I. Determinante É o valor real associado a toda matriz quadrada obtido a partir de uma série de operações bem definidas com seus elementos. Representa-se o determinante de uma matriz A por det A, ou por barras simples verticais, contendo todos os elementos da matriz.

II. Cálculo do determinante Matriz de ordem 1: o determinante é igual ao único elemento da matriz. Ex: A = [3] e det A = |3| = 3 Matriz de ordem 2: o determinante é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo:

II. Cálculo do determinante Matriz de ordem 3: o determinante é obtido pela regra de Sarrus. Considere a matriz A = 1. Copiam-se, ao lado suas duas primeiras colunas. da matriz, 2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e também o das outras duas filas paralelas e à sua direita. Somam-se os resultados: 3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária; o mesmo deve ser feito com as duas outras filas paralelas e à sua direita. Ao final, somam-se os resultados:

II. Cálculo do determinante 4. Obtém-se o determinante pela diferença entre a primeira e a segunda soma: det A = (12 + 25 + 24) – (40 + 6 + 30) = 61 – 76 = – 15 Matriz de ordem maior que 3: usa-se o teorema de Laplace, que pode ser utilizado no cálculo do determinante de matrizes cuja ordem seja maior ou igual a 2.

Menor Complemento • Se A é uma matriz, então o determinante menor entrada aij, é denominado por |Aij| e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.

III. Matriz reduzida e cofator Considere a matriz A = Matriz reduzida Aij: é obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. Matriz reduzida A 21: é obtida retirando-se a segunda linha e a primeira coluna da matriz original: O cofator do elemento aij da matriz A é o número Cij dado por: Cij = (-1)i + j. |A ij|, em que |A ij| é o determinante da matriz reduzida A ij.

Exemplo •

IV. Teorema de Laplace • O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos co-fatores.

IV. Teorema de Laplace •

IV. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido multiplicando-se cada elemento de uma das filas (linha ou coluna) da matriz A pelo seu respectivo cofator e adicionando-se os resultados. Exemplo: Escolhemos a 1 a linha para calcular os cofatores.

IV. Teorema de Laplace Exemplo •

IV. Teorema de Laplace • Se A é uma matriz nxn e Cij é o co-fator de aij, então a matriz é chamada matriz de co-fatores de A. A transposta desta matriz é chamada de adjunta de A e denotada por adj(A).

Aplicação de Determinantes • A Regra de Cramer é um teorema que fornece uma fórmula para a solução de certo sistemas de p equações e n incógnitas. Esta formula, conhecida como regra de Cramer, é de interesse marginal para fins computacional, mas é útil para estudar as propriedades matemáticas de uma solução sem precisar resolver o sistema.

Regra de Cramer • Teorema:

Regra de Cramer a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +. . . + a 1 n xn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +. . . + a 2 n xn = b 2. . . an 1 x 1 + an 2 x 2 + an 3 x 3 +. . . + ann xn = bn a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a a a 23 . . . a 2 n det (A) = . . 21 . . 22. . an 1 an 2 an 3 . . . ann

Regra de Cramer det (A 1) = det (A 2) = det (A 3) = b 1 a 12 a 13. . . a 1 n b. 2 a 22. . a. 23. . . a 2 n. . bn an 2 an 3. . . ann a 11 b 1 a 13. . . a 1 n a 21 b 2. . . an 1 bn a 23. . . a 2 n. . . an 3. . . ann a 11 a 12 b 1. . . a 1 n a 21 a 22 b 2. . . a 2 n. . . . an 1 an 2 bn. . . ann

Regra de Cramer a 11 a 12 a 13. . . b 1 a a 22 a 23. . . b. 2 det (An) =. 21. . . . an 1 an 2 an 3. . . bn Se det (A) 0 temos: det(A, 1) det(A 2) det (A 3) , . . . , x 1 = det(A) , x 2 = det(A) , x 3 = det(A) det(An) xn = det(A)

Exemplo: Regra de Cramer 3 x + 2 y = 8 x – y = 1 det(A)= 3 2 = – 3 – 2 = – 5 1 -1 det(A 1) = 8 2 = – 8 – 2 = – 10 1 -1 det(A 2) = 3 8 = 3 – 8 = – 5 1 1 det(A 1) – 10 x = det(A) = – 5 = 2 det(A 2) – 5 y = det(A) = – 5 S = {(x, y)} S = {(2, 1)} = 1

Determinação da Inversa de uma Matriz • Algoritmo para achar a matriz inversa: • Passo 1: Calcular o determinante da matriz. • Passo 2: Calcular o cofator de cada elemento da matriz. • Passo 3: Formar a matriz dos cofatores com os seus valores calculados anteriormente. • Passo 4: Transpor a matriz dos cofatores para obter a sua matriz adjunta. • Passo 5: Divida cada elemento da matriz adjunta Adj pelo o determinada da matriz calculado no passo 1.