Realni brojevi Prirodni cijeli i racionalni brojevi Rjeavanje

Realni brojevi • Prirodni, cijeli i racionalni brojevi • Rješavanje jednadžbi u skupovima N, Z i Q • Pisanje razlomaka u decimalnom obliku • Iracionalni i realni brojevi • Konstrukcija dužina duljine √ 2 i√ 3

Realni brojevi Koliko napuštenih pasa čeka da ih netko zavoli i da mu oni uzvrate ljubav? Koliko imaš dobrih prijatelja? Koliko ima učenika u tvom razredu? Koliko ljudi živi u tvom mjestu? Koliko imaš vlasi na glavi? Koliko imaš želja? Prirodnim brojevima 1, 2, 3, . . . , mjerimo količinu predmeta u nekom mnoštvu. Brojeći, predmetima pridružujemo brojeve, a broj pridružen zadnjem predmetu mjera je količine predmeta. Da bismo mogli brojiti, moramo imati prvi broj, jedan, i iza svakog broja moramo imati sljedeći (za 1 veći). Skup prirodnih brojeva označavamo sa N. N = {1, 2, 3, . . . } Kinodvorana je podijeljena na dva dijela. U donjem je dijelu 8 redova s po 7 sjedala, a u gornjem 6 redova s po 9 sjedala. Škola je odlučila častiti učenike besplatnom projekcijom jednog filma. Ako je u školi 501 učenik, koliko će biti potrebno kinoprojekcija? U dvorani je 8 ∙ 7 + 6 ∙ 9 = 110 sjedala, pa će toliko učenika biti na jednoj predstavi. Podijelimo li 501 sa 110, dobit ćemo 4 i ostatak 61. To znači da će se morati organizirati 5 predstava (4 će biti dupkom pune, a na petoj će biti 61 učenik i pokoji padobranac).

Realni brojevi Kada se temperatura spusti s 10 °C za 20 °C, kolika je nova temperatura? To ne možemo opisati prirodnim brojevima. Potrebni su nam novi brojevi, cijeli brojevi. Nećeš se isto obući kad termometar pokazuje da je vani +23 °C i kad pokazuje da je – 23 °C. Je li ti jednako drago kad tvoja momčad pobijedi s 2 koša razlike ili kad izgubi s 2 koša razlike? Svi prirodni brojevi (pozitivni cijeli brojevi), broj 0 i svi negativni cijeli brojevi čine skup cijelih brojeva koji označavamo sa Z. Z = {. . . , – 2, – 1, 0, 1, 2, . . . } Tijekom sušnog ljeta vodostaj Drave preko noći se promijenio sa – 125 cm na – 143 cm. Koliko se promijenio vodostaj? Je li se on povećao ili smanjio? Promjenu ćemo izračunati tako da od krajnjeg stanja oduzmemo početno stanje: – 143 – (– 125) = – 143 + 125 = – 18 cm Negativan predznak kaže nam da se vodostaj smanjio.

Realni brojevi Koji dio ukupne jabuke čini svaki komad na slici? Koji dio tvog razreda čine djevojčice, a koji dječaci? Da bismo mjerili jednake dijelove, potrebni su novi brojevi. Ako prirodni broj b kaže koji smo dio uzeli, a cijeli broj a koliko smo ga puta uzeli, tada novi broj koji mjeri a tu količinu bilježimo i zovemo racionalnim brojem. b Skup racionalnih brojeva označavamo sa Q. U tom skupu nalaze se i prirodni i cijeli brojevi te svi brojevi koji se mogu napisati u obliku razlomka.

Realni brojevi Trebala su proći stoljeća, pa i tisućljeća, Rješavanje jednadžbi u skupovima N, Z i Q da bi se prihvatili novi brojevi. Već su stari Grci negodovali protiv nule pitajući se kako je moguće da ništa može biti nešto. Na isti su način i mnogi Europljani još do kraja 17. stoljeća negodovali protiv negativnih brojeva pitajući se kako je moguće da bude nešto je manje od ničega. Zvali su ih čak lažnim i apsurdnim brojevima. Ali jednostavnost i učinkovitost novih brojeva u izražavanju rezultata mjerenja i u računanju i rješavanju jednadžbi na kraju su neizbježno doveli do njihova prihvaćanja. Skup cijelih brojeva proširuje skup prirodnih brojeva tako da je oduzimanje uvijek izvedivo. To omogućuje jednostavnije računanje i rješavanje jednadžbi. Riješimo jednadžbu 2 x− 8=x− 3. Da bismo x prebacili na desnu stranu, trebamo objema stranama oduzeti x: 2 x− 8=x− 3 /−x ⇒ 2 x− 8−x= − 3 U skupu prirodnih brojeva ovo nije moguće učiniti, jer ne možemo od broja x – 3 oduzeti veći broj x pa bismo morali pribjeći nekoj drugoj metodi, recimo prvo dodati 3 objema stranama. Kod cijelih brojeva ne moramo o tome voditi brigu jer je oduzimanje uvijek moguće. Također lako dobijemo da je x − 8= − 3, tj. dodavajući objema stranama 8, da je x = 5.

Realni brojevi Skup racionalnih brojeva proširuje skup cijelih brojeva tako da je uvijek izvedivo dijeljenje brojem različitim od nule. To omogućuje još jednostavnije računanje i rješavanje jednadžbi. Trećina je štapa u zemlji, polovina u vodi, a 2 metra vire izvan vode. Kolika je duljina štapa? Neka je štap duljine x. Postavimo jednadžbu: Lako ćemo je riješiti pomnoživši sa 6 obje strane: 2 x + 3 x + 12 = 6 x 5 x – 6 x = – 12 –x = – 12 x = 12 Duljina štapa iznosi 12 metara.

Realni brojevi Pisanje razlomaka u decimalnom obliku U upravljanju zrakoplovom pilot se uvelike oslanja na mjerne instrumente s kojih očitava visinu zrakoplova, brzinu, tlak zraka itd. Kazaljke na mjernim instrumentima rijetko pokazuju cijelu jedinicu, već njezin deseti ili stoti dio, ovisno o preciznosti instrumenta. Pilot tako ne očitava samo cijele jedinice nego i desetinke i stotinke tih jedinica. Ako je očitao da kazaljka pokazuje 3 cijele jedinice, 2 desetinke jedinice i još 7 stotinki, on je očitao broj , koji kraće pišemo u decimalnom zapisu 3. 27. Pretvorimo decimalni zapis 14. 203 u zapis razlomka. Pretvorimo razlomke u decimalni zapis. Razlomak možemo pretvoriti u decimalni zapis tako da ga prikažemo s dekadskom vrijednošću (10, 100, 1 000, . . . ) u nazivniku. To možemo postići proširivanjem brojnika i nazivnika s

Realni brojevi Broj prikaži u decimalnom obliku. Pošto su ostaci dijeljenja uvijek manji od djelitelja, oni se moraju početi ponavljati. Tako će se i rezultati dijeljenja početi ponavljati. Na nekom mjestu pojavit će se jedna skupina znamenaka koja će se stalno ponavljati. Ovdje je to skupina 18. Beskonačan niz 10. 181818. . . koji nam daje postupak dijeljenja kraće zapisujemo tako da stavimo točkice nad prvim i zadnjim članom skupine: 10. 18. Takav zapis zovemo beskonačno periodičnim decimalnim prikazom. Znamenku ili skupinu znamenaka koje se ponavljaju u decimalnom prikazu nazivamo period tog broja. Broj iz prethodnog primjera te broj iz ovog primjera nazivamo čisto periodični decimalni brojevi. Broj prikaži u decimalnom obliku. Uočavamo da se nakon prve znamenke u decimalnom dijelu broja počinje ponavljati skupina znamenaka (period). Početne znamenke u decimalnom dijelu broja koje se ne ponavljaju čine pretperiod broja. Takav zapis nazivamo mješovito periodičnim decimalnim prikazom. Zapisujemo:

Realni brojevi Svaki racionalni broj ima konačan decimalni zapis ili beskonačno periodični decimalni prikaz. Ako beskonačno periodični prikaz pored nula ima samo skupinu znamenaka koja se ponavlja (npr. 0. 213), tada govorimo o čisto periodičnom decimalnom prikazu. U protivnom (npr. 4. 6213) govorimo o mješovito periodičnom decimalnom prikazu. Broj znamenaka u skupini koja se ponavlja zovemo duljinom perioda (npr. kod 4. 6 213 duljina perioda je 3).

Realni brojevi Iracionalni i realni brojevi Postoje vrlo precizni instrumenti za mjerenje dužina. Ali nijedan od njih ne može preciznije izmjeriti od nekog decimalnog mjesta. Stvaran postupak mjerenja moramo jednom prekinuti i dobit ćemo općenito tek približnu vrijednost duljine. Dosad smo upoznali skupove prirodnih, cijelih i racionalnih brojeva. Promotri! Zamislimo idealan slučaj kad uvijek možemo nastaviti mjeriti deset puta manjom jedinicom. Primjerice mjerimo neku dužinu. U nju su stala 3 cm, ali ne i 4 cm. Nastavljamo mjeriti milimetrima. Recimo da je stalo 5 mm, ali ne i 6 mm. Nastavljamo mjeriti deset puta manjim jedinicama itd. Može se desiti sljedeće: – u jednom koraku postupak će stati jer će manja jedinica točno cijeli broj puta stati u preostali dio dužine. Rezultat je tada konačni decimalni zapis, npr. 3. 52 cm. To je racionalni broj.

Realni brojevi – ni u jednom koraku postupak neće stati, ali će se početi ponavljati uvijek ista skupina znamenaka. Rezultat je tada beskonačno periodični decimalni zapis, npr 3. 52343434. . . To je racionalni broj. – ni u jednom koraku postupak neće stati i neće doći do ponavljanja uvijek iste skupine znamenaka. Neka npr. dobivamo 3. 5230430004. . . (u svakoj sljedećoj skupini imamo jednu nulu više). Rezultat mjerenja tada nije racionalni broj. Te nove brojeve zovemo iracionalnim brojevima. Dakle, postoje brojevi koji nisu racionalni, tj. koji se ne mogu prikazati u obliku razlomka U sedmom ste razredu upoznali broj π koji također nije racionalan. Broj π, omjer opsega i duljine promjera kruga , primjer je iracionalnog broja¸. Brojevi koji imaju konačan ili beskonačan periodični decimalni prikaz jesu racionalni brojevi. Sve brojeve koji nisu racionalni nazivamo iracionalni brojevi. Oni imaju beskonačan neperiodičandecimalni prikaz. Skup iracionalnih brojevabilježimo I. Skup svih racionalnih brojeva Q i skup svih iracionalnih brojeva I zajedno čine skup realnih brojeva. Skup svih realnih brojeva označavamo R.

Realni brojevi Navedimo jedan racionalni i jedan iracionalni broj, usporedimo ih i zbrojimo. Konačni ili periodični decimalni prikaz daje nam racionalni broj, npr. 2. 3454545. . . Beskonačno neperiodični decimalni prikaz daje nam iracionalni broj, npr. 2. 3454554555. . . (ponavlja se uvijek jedna petica više). Da bismo utvrdili koji je broj veći, idući slijeva nadesno, tražimo prvo mjesto na kojem se razlikuju. To je mjesto milijuntinki. Na tom mjestu iracionalni broj ima veću znamenku pa je veći. Zbrajanje ovih brojeva daje beskonačan decimalni prikaz (postupak u praksi prekinemo na nekom mjestu). Pošto u jednom broju nema ponavljanja znamenaka, nema ga ni u zbroju pa je zbroj iracionalni broj. Zbroj racionalnog i iracionalnog broja jest iracionalni broj, dok zbroj iracionalnih brojeva može biti racionalni broj. Umnožak racionalnog broja različitog od nule i iracionalnog broja jest iracionalni broj, dok umnožak iracionalnih brojeva može biti racionalni broj.

Realni brojevi Neki brojevi koje smo već upoznali, broj π , 2, 3. . . jesu iracionalni brojevi. Primjerice: π = 3. 141592654. . . 2, = 1. 414213562. . . 11 = 3. 31662479. . . Korijen prirodnog broja jest ili prirodni broj ili iracionalni broj. Ako prirodni broj nije potpuni kvadrat, onda je njegov korijen iracionalan broj. Broj π jest iracionalni broj.

Realni brojevi Konstrukcije dužina duljine 2 i 3 Ova strašna priča (a šta si drugo mogla/mogao očekivati od ovakvog naslova lekcije? ) počinje sasvim bezazleno. Na jednom od svojih putovanja brodom, za lijepa vremena osluškujući vjetar i prebirući žice na harfi , Pitagora je otkrio da se harmonički zvuci mogu dobiti baš onda kad se udare žice kojima su duljine omjeri cijelih brojeva. Iz toga je zaključio da brojevi upravljaju svijetom i da se preko brojeva mogu otkriti sve tajne svijeta. A tek kad je otkrio kako se lijepo odnose kvadrati duljina stranica pravokutnog trokuta, njegovu zanosu nije bilo kraja. Osnovao je cijelo društvo pitagorejaca koji su proučavali tajne brojeva i svijeta. Jedan od njih, Hipas, otkrio je postojanje iracionalnih brojeva i to upravo u njima najdražim likovima, trokutu i pravilnom peterokutu. Za pitagorejce broj je bio racionalni broj i postojanje iracionalnih brojeva srušilo bi njihov idiličan pogled na svijet. Čini se da je nekima od njih to bilo teško prihvatiti. Uglavnom, Hipas je netragom nestao, a po grčkim lukama kružile su glasine da su ga pitagorejci noću gurnuli preko palube broda u more. Ma koliko decimala broja računali, i uz pomoć najmoćnijih računala, neće se desiti da se nakon nekog mjesta počinje ponavljati jedna skupina znamenaka, tj. je iracionalni broj. Tu je činjenicu dokazao i Hipas.

Realni brojevi Iako je iracionalni broj, možemo ga konstruirati i geometrijski precizno računati s njim. Korjenska spirala na slici lijevo daje sve korijene prirodnih brojeva. Razmisli zašto je tako (pozovi Pitagorin poučak upomoć). Konstruirajmo dužinu duljine . Koristeći Pitagorin poučak najprije konstruiramo dužinu duljine a zatim tu dužinu prenesemo potreban broj puta. ,

Realni brojevi