Progetto lauree scientifiche Unit 1 Riga e compasso

Progetto lauree scientifiche Unità 1 Riga e compasso A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica “F. Enriques” Università degli Studi di Milano

Il più famoso libro di matematica di tutti i tempi !!! • gli “Elementi” di Euclide, scritti verso il 300 a. C. , • sono il modello del modo di ragionare in matematica.

“Caro re, anche tu come tutti, dovrai seguire questa strada. Non esistono vie regie in geometria! “ fu la risposta di Euclide al re Tolomeo, che pretendeva un modo più veloce per imparare la geometria

• Nella geometria di Euclide gli oggetti geometrici, esclusi quelli primitivi, devono essere costruiti seguendo precise regole. • I postulati danno le regole del gioco!

Postulato I di Euclide Che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto. . .

Postulato II di Euclide • E che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta.

Postulato III di Euclide • E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni raggio.

I Postulati di Euclide definiscono gli strumenti con i quali possiamo fare le costruzioni geometriche. • Diciamo che utilizziamo la riga quando applichiamo i Postulati I e II di Euclide: mediante la riga uniamo due punti e prolunghiamo i segmenti. • Diciamo che usiamo il compasso quando applichiamo il Postulato III di Euclide: mediante il compasso possiamo tracciare le circonferenze.

• In geometria non ha dunque molta importanza la precisione del disegno. • Può essere fatto anche a mano libera. • È invece importante fare solo ciò che le regole del nostro gioco permettono! • Così facendo, il nostro disegno, anche se eseguito da mano imprecisa, rappresenta una figura esatta.

Osserva la costruzione fatta a partire dal segmento AB che è qui riportata. A B Qual è l’oggetto geometrico costruito?

Per costruire il triangolo equilatero abbiamo ammesso che esista il punto C comune alle due circonferenze disegnate.

D’ora in avanti ammetteremo sempre che: • se i punti di un arco di circonferenza si trovano sia all’esterno che all’interno di una circonferenza data, allora tale arco ha un punto che appartiene alla circonferenza data. • Analogamente, se i punti di un segmento si trovano sia all’esterno che all’interno di una circonferenza data, allora tale segmento ha un punto che appartiene alla circonferenza data.

Abbiamo così aggiunto una ulteriore regola al nostro gioco, cioè un nuovo postulato cui diamo il nome di Postulato dell’intersezione

Riassumendo: le costruzioni geometriche con riga e compasso si basano sulle seguenti regole: • Postulati I, III di Euclide (Postulati della riga e del compasso) • Postulato dell’intersezione

SCHEDE DI LAVORO

Ed ora … giochiamo!!! Il segmento AB appartiene alla retta r. Con il compasso possiamo “staccare” sulla retta tanti segmenti congruenti al segmento AB, tanti quanti ne vogliamo… r A A B B 1 B 2 B 5 B 6 Il segmento AB è congruente a ciascuno dei segmenti BB 1, B 1 B 2, …. Diciamo che abbiamo trasportato il segmento AB lungo la retta r cui appartiene

Problema: Dato un segmento AB e un punto C, costruire un segmento avente un estremo nel punto C e che sia congruente al segmento AB. B A C Ricordiamoci che possiamo “giocare” solo con le regole stabilite!

Il segmento CF è congruente al segmento AB.

L’asse di un segmento AB La costruzione fatta per il triangolo equilatero a partire dal segmento AB può essere utilizzata per costruire l’asse del segmento AB.

L’asse del segmento AB CC’ è l’asse del segmento AB.

Con la stessa costruzione si ottiene il punto medio del segmento AB:

E per costruire la bisettrice di un angolo?

E per costruire la bisettrice di un angolo? VC è la bisettrice dell’angolo a. Vb

e con qualche accorgimento in più si ottiene anche la parallela per P: Chi garantisce che con un’altra costruzione si ottenga la medesima retta parallela? Nessuno! Infatti Euclide deve introdurre il postulato sull’unicità delle parallele.

Trova il centro del dipinto

Trova il centro del dipinto L’asse di una corda passa per il centro!

Trova il centro del dipinto

Postulati di Euclide I. Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto. II. E che una retta terminata (= segmento) si possa prolungare continuamente in linea retta. III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza (= raggio). IV. E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro. V. E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti (= tali che la loro somma sia minore di due retti), le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti (= la cui somma è minore di due retti).

Son giuste queste coordinate? La circonferenza è tangente agli assi. Le coordinate proposte come centro non giacciono su una delle bisettrici degli assi.

Dov’è l’inganno? Si propone una risoluzione errata. Agli studenti trovare l’errore. Ad esempio: “Tutti i triangoli sono isosceli”

Trova l’intersezione Non chiari gli appunti. Trovare il punto di intersezione sul piano a coordinate razionali. (forse l’esercizio incluso negli approfondimenti esclusi sul postulato dell’intersezione? )