Costruzioni con riga e compasso i problemi classici

Costruzioni con riga e compasso : i problemi classici dell’antichità

�Eseguire costruzioni con riga e compasso significa, determinare oggetti geometrici a partire da altri oggetti dati, utilizzando come unici strumenti ”ideali” la riga ed il compasso.

�La RIGA EUCLIDEA è uno strumento che permette solo di determinare la retta per due punti A e B : non si può individuare alcun punto che abbia una distanza fissata da A sulla retta per A e per B.

�Il COMPASSO EUCLIDEO, noto come “molle”, consente invece di segnare il cerchio di fissato centro e passante per un fissato punto. Va pensato come uno strumento la cui apertura va da 0° e all’∞; esso si apre al momento in cui si deve disegnare una circonferenza, per poi richiudersi subito dopo averla tracciata.

�La riga e il compasso consentono le seguenti operazioni: �dati 2 punti, tracciare il segmento o la semiretta o la retta passante per essi; I e II POSTULATO �dato un punto O ed una lunghezza AB, tracciare una circonferenza di centro O e raggio AB; III POSTULATO �determinare il punto di intersezione di: 2 rette, una circonferenza con una retta, 2 circonferenze.

Euclide raccolse nei 13 libri degli “Elementi” tutto il sapere matematico del tempo. I problemi geometrici presentati in questi libri sono affrontati e risolti esclusivamente con l’ausilio della riga e del compasso.

Alcuni di questi problemi affrontati da Euclide sono: �l’asse di un segmento; �Bisettrice di un angolo; �la retta parallela ad una data; �somma e differenza di segmenti; �prodotto tra segmenti; �costruzione di una radice quadrata.

Dal V secolo a. C. sono stati affrontati dei problemi che non si è riusciti a risolvere con la riga e con il compasso. L’impossibilità di risolvere i problemi classici con l’utilizzo della riga e del compasso, è stata superata legando le costruzioni geometriche elementari alle operazioni razionali e irrazionali, o meglio legando la geometria elementare all’algebra.

I più famosi tra questi problemi sono: �la quadratura del cerchio; �la duplicazione del cubo; �la trisezione dell’angolo; � la costruzione di un poligono regolare di n lati.

DUPLICAZIONE DEL CUBO TRA LEGGENDE E CERTEZZE

IL PROBLEMA DI DELO Delo è un’isoletta delle Cicladi, nel mar Egeo, ove esistevano due famosi templi dedicati ad Apollo e Latona, ed era, nell’antichità, famosa per l’oracolo detto appunto di Delo. Nel quinto secolo avanti Cristo una terribile peste eliminò pressoché un quarto della popolazione di Atene, tra i quali, nel 429, il grande Pericle. Proprio l’oracolo richiese di raddoppiare il volume dell’altare di Apollo, mantenendo la rigorosa forma, allo scopo di far cessare l’epidemia, ma la popolazione di Delo, poco esperta di matematica, raddoppiò gli spigoli del cubo e l’epidemia raggiunse i vertici della sua gravità. Il popolo, impressionato, consultò Platone, il quale rispose che Apollo aveva voluto punire la loro ignoranza, perché avevano costruito un altare cubico di volume otto volte il precedente e non doppio.

LEGGENDA DEL RE MINOSSE Secondo una leggenda, il re Minosse aveva costruito una tomba di forma cubica per il figlio Glauco, ma quando venne a sapere che essa misurava solo 100 piedi in ciascuna direzione, pensò che era troppo piccola. Egli disse “deve essere raddoppiata nella sua dimensione (in volume)” ed ordinò ai costruttori di obbedire in fretta al suo ordine raddoppiando i lati della tomba. I matematici si resero conto che era stato commesso un errore, poiché in quel modo la tomba sarebbe diventata otto volte maggiore in volume rispetto a quella progettata. Si misero allora alla ricerca del procedimento per ottenere un volume doppio, ma questo problema si rivelò tutt’altro che semplice. Questo problema venne ricondotto da Ippocrate al problema della costruzione di due segmenti rettilinei. La scoperta di Ippocrate, tuttavia non risolse il problema della duplicazione del cubo. Essa serve unicamente per trasformare il problema originale in uno di differente enunciato ma di uguale difficoltà In effetti, nel cercare di risolvere questo problema i greci fecero ricorso all’uso di altre curve o di altri strumenti diversi dalla riga e dal compasso, trovando diverse soluzioni del problema, la più famosa è la seguente: la soluzione di Menecmo. Si ritiene che Menecmo abbia scoperto la parabola e l’iperbole equilatera e che ne fece uso nella soluzione del problema della duplicazione del cubo

Algebricamente, se a è la misura del lato del cubo dato e x quella del lato del cubo di volume doppio, otterremo la relazione: x 3 = 2 a 3 ovvero un problema algebrico di terzo grado. Per a=1 esso diventa x 3 = 2 , che ammette la soluzione x=3 2.

IMPOSSIBILITÀ DI RISOLUZIONE I problemi di costruzione, e quindi il problema della duplicazione del cubo, sono stati accanitamente studiati per secoli e senza risultati; dopo un lungo tempo di tentativi infruttuosi, ha iniziato ad insinuarsi l'idea, tra i matematici, che tali problemi fossero irrisolvibili. Per arrivare a studiare la risolubilità o meno dei problemi classici fu però necessario aspettare che venissero gettate le fondamenta per l'algebra moderna. Il problema della duplicazione del cubo si riduce, algebricamente, alla costruzione con riga e compasso del numero. Per dimostrare l'impossibilità di tale costruzione occorre formalizzare, in termini algebrici, l'idea intuitiva di “costruzione con riga e compasso”.

Fu un giovane ragazzo, Evariste Galois, a dimostrare che non bisognava pensare a figure costruibili con riga e compasso, ma a numeri costruibili. Identificando i punti di una retta con la loro ascissa, Galois si chiese quali numeri potessero essere l’ascissa di un punto costruibile con riga e compasso a partire da un segmento unitario dato e che forma potessero avere. A questa domanda egli diede una risposta semplice e risolutiva, giungendo al tempo stesso a dimostrare che il numero non ha quella forma. Da qui la seguente definizione: Un numero che è l’ascissa di un punto costruibile con riga e compasso a partire da un segmento unitario dato, è detto numero costruibile.

MENECMO: LA SOLUZIONE Menecmo fu allievo di Eudosso e visse nella metà del IV secolo a. C. ; a lui si devono due diverse soluzioni del problema della duplicazione del cubo. Prima soluzione Utilizzando le notazioni moderne della geometria analitica la soluzione si ottiene facilmente come intersezione di due parabole. Si considerino due parabole, di equazioni e Dalla loro intersezione si ottiene da cui, trascurando la soluzione x = 0, si trova e quindi

Intersecando le due parabole si ottiene dunque un punto la cui ascissa è il lato del cubo di volume doppio del volume del cubo assegnato.

Seconda soluzione: La seconda soluzione si ottiene come intersezione di una parabola e una iperbole. Si consideri la parabola e l’iperbole , rispettivamente di equazioni: Dalla loro intersezione si ottiene:

LA CISSOIDE DI DIOCLE La cissoide di Diocle prende il nome dal geometra, di cui poco si conosce vissuto nel II° secolo a. C. , del quale abbiamo testimonianza grazie a Eutocio di Ascalona, studioso del VI° secolo d. C. , che fa riferimento a tale curva in un commento al II° libro della prima opera di Archimede “ Sulla sfera ed il cilindro”, ed è probabile che sia lo stesso luogo dei punti di cui fanno riferimento Proclo e Pappo con il nome di Cissoide. Nel rinascimento la curva godette di notevole interesse: Fermat e Roberval (1634) costruirono la tangente alla cissoide; Huygens e Wallis (1658) trovarono che l’area compresa tra la curva ed il suo asintoto è di.

Sia γ la circonferenza di centro O e sia AB un suo diametro. Scegliamo su AB un punto C e sia D il suo simmetrico rispetto ad O. Si traccino la perpendicolare ad AB per D, la quale incontra la circonferenza in E ed F, e le secanti AF e AE. La Cissoide è il luogo geometrico delle intersezioni P e Q fra la perpendicolare ad AB per C e le secanti AF e AE , al variare di C su AB.

Questa costruzione, che ovviamente traccia solo i rami contenuti all´interno della circonferenza, spiegherebbe l´origine del nome cissoide (dal greco kissos = edera e oeides = a forma di), poichè la parte delimitata dalla curva, internamente alla circonferenza, e la semicirconferenza di arco ricorda la forma di una foglia di edera (figura a sinistra). Le porzioni di curva che stanno al di fuori della circonferenza sarebbero frutto di successive generalizzazioni.

Equazione cartesiana della Cissoide Sia γ la circonferenza di centro O e diametro AB=2 r. Si tracci la semiretta AE e la retta tangente t in B alla circonferenza. Queste si incontrano in un punto T. Si determini su AE un punto S tale che. La Cissoide è il luogo geometrico dei punti S al variare di E su γ. Si consideri il triangolo rettangolo BEA e sia ED l’altezza relativa all’ipotenusa. Posto AM= x, con M proiezione ortogonale di S su AB e ED=K, per il secondo teorema di Euclide si ottiene Ma i triangoli AED e ASM sono simili e quindi: Dal confronto di queste due, eliminando k, si ottiene

La Cissoide fu utilizzata da Diocle per risolvere il problema della duplicazione del cubo. Se AB è il lato del cubo da duplicare, si consideri La Cissoide relativa alla circonferenza di diametro AB= a. Si riporti sulla tangente in A alla circonferenza un segmento AS = 2 a. Congiunto S con B, sia U l’intersezione di SB con la Cissoide. Si unisca U con A e sia T l’intersezione della semiretta UA con la tangente in B alla circonferenza. Dalla similitudine dei triangoli SAB e UHB, posto U (x, y) con si ottiene 1) Tenuto conto dell’equazione della Cissoide, effettuando una sostituzione in essa della 1) si ha 2) Dalla similitudine dei triangoli ATB e AUH e tenuto conto della 2) si ottiene

Generazione di cubiche……………… Metodo di Suardi Lo strumento è costituito da: una squadra ROZ che ha il vertice O imperniato su un piano e il lato OR scorrevole entro un cursore R, vincolato (dall'asta MR) a una circonferenza passante per O (diametro OP, centro M). una seconda squadra RVK, collocata nel medesimo piano della prima, avente il vertice V vincolato a percorrere una scanalatura s passante per O (s perpendicolare a PO) e il lato VR scorrevole entro il cursore R. Quando R percorre la circonferenza di centro M e passante per O il punto Z, intersezione degli altri due lati delle squadre, descrive una Cissoide.

La Concoide di Nicomede ( 250 a. C. – 180 a. C. ) costruì una curva di quarto grado, da lui chiamata concoide per la somiglianza con una conchiglia, che gli permise di risolvere alcuni problemi tra cui quelli generati dal problema della duplicazione del cubo.

Per generare la concoide, si prenda una retta r ed un punto P esterno ad essa ( retta e punto si chiamano , rispettivamente, base e polo della concoide) e sia a la distanza tra il polo e la base; condotta per il polo una retta qualunque s, siano AC e AB due segmenti congruenti ad un segmento dato di lunghezza b chiamata intervallo, situati da parte opposte rispetto alla base; al variare di A su r, il punto C descrive la concoide.

Soluzione di Nicomede……. . Si costruisca il rettangolo ABCD con AB = 2 a e AD = 2 b, essendo AD > AB. Sia E il punto medio di Ad, si unisca questo con C; si prolunghi CE fino ad incontrare in F il prolungamento di AB. Da G, punto medio di AB, si tracci la perpendicolare ad AB e con centro in B e raggio uguale a b ( metà di AD) si tagli con un arco di circonferenza la detta perpendicolare nel punto H, dalla parte di AB in cui non è situato il rettangolo ABCD. Si unisca H con F e da B si conduca la parallela BI ad HF. Si tracci allora la Concoide avente H come polo, BI come base e un intervallo uguale a b. La concoide così descritta incontra la retta AB in un punto K e le due rette AB e BI individuano un su HK un segmento MK = b. Indicato con L il punto d’incontro della retta CK con la retta AD, posto BK = x e DL = y, dalla similitudine dei triangoli BMK e FHK e da quella dei triangoli LDC e BCK, riducendo, sostituendo, trasportando ed elevando al cubo, si ottiene ( posto 2 a= l )

In un piano è praticata una fenditura rettilinea r e fissato un perno C (polo) a distanza a da r. Nel piano individuato dalla retta r (curva base) e dal punto C si fa muovere un’asta s (realizzata in legno o metallo) in modo che essa sia costantemente vincolata a passare per C mentre un cursore D, fissato a un punto di s, scorre all’interno della scanalatura. Si collocano poi su s, a distanza b (intervallo) da D (e da parti opposte rispetto a D) due tracciatori G e H, che durante il movimento dell’asta disegnano la concoide. E’ una curva (caratterizzata da base, polo e intervallo) costituita da due rami, separati dalla retta r: l’aspetto del ramo che giace dalla parte in cui si trova C dipende dalla relazione tra l’intervallo b e la distanza a. Precisamente, tale ramo presenta un nodo se b > a, una cuspide se b = a, un punto isolato se b < a. La curva è celebre soprattutto per due ragioni: il meccanismo tracciatore, oltre ad essere semplice, è di elevata precisione; serve inoltre a risolvere problemi (duplicazione del cubo, trisezione dell’angolo) non affrontabili con riga e compasso