PPTCANMTALA 07002 V 1 MT 21 Clase Operatoria

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Resumen de la clase anterior NÚMEROS Conjuntos numéricos Q número impar Q* II C R IN Definiciones IN 0 Z 9 múltiplos {9, 18, 27, …} divisores {1, 3, 9} Q 2 número par múltiplos {2, 4, 6, …} divisores {1, 2} número primo Orden n– 1 n n+1

Resumen de la clase anterior NÚMEROS Transformaciones Propiedades Elemento neutro aditivo y elemento absorbente multiplicativo en N 0 Inverso aditivo (opuesto) en Z Inverso multiplicativo (recíproco) en Q

Aprendizajes esperados • Aplicar las operaciones básicas y propiedades de los naturales, enteros y racionales. • Resolver problemas que involucren operaciones con números naturales, enteros, decimales y fracciones. • Identificar y aplicar prioridad de las operaciones. (PAPOMUDAS) • Utilizar los números naturales, enteros y racionales en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.

Pregunta oficial PSU El número racional es igual a A) 10 ∙ 0, 7 B) 0, 10 + 0, 7 C) + D) 7 + E) : Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

1. Operatoria en N 2. Operatoria en Z 3. Operatoria en Q

1. Operatoria en N • Adición a + b = c, donde a y b sumandos y c suma. • Sustracción a – b = c, con a > b, donde a minuendo, b sustraendo y c resta o diferencia • Multiplicación a ∙ b = c, donde a y b factores y c producto.

1. Operatoria en N • División Si la división es exacta a: b=c↔b∙c=a , donde a dividendo, b divisor y c cuociente Si la división NO es exacta a: b=c↔b∙c +r=a r , donde a dividendo, b divisor, c cuociente y r resto

2. Operatoria en Z 2. 1 Reglas para operar en Z Al realizar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones en los enteros debemos considerar algunas reglas para poder operar correctamente: a) Al sumar dos enteros de igual signo, se suman los módulos de los números y se mantiene el signo. Ejemplos: 25 + 8 = + 33 – 5 + – 9 = – 14 b) Al sumar dos enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre los módulos de los números y se mantiene el signo del número que tiene módulo mayor. Ejemplos: – 10 + 7 = – 3 75 + – 9 =+ 66

2. Operatoria en Z 2. 1 Reglas para operar en Z c) Al restar dos enteros, se debe sumar al minuendo el inverso aditivo del sustraendo. a–b=a+–b Ejemplo: 5 – 9 = 5 +– 9 = – 4 a – (– b) = a + b Ejemplo: 12 – (– 8) = 12 + 8 = 20 d) Al multiplicar o dividir dos enteros de igual signo, se multiplican (dividen) los módulos y el resultado es positivo. Ejemplos: – 42 ∙ – 8 = + 336 – 28 : – 7 = + 4

2. Operatoria en Z 2. 1 Reglas para operar en Z e) Al multiplicar o dividir dos enteros de distinto signo, se multiplican (dividen) los módulos y el resultado es negativo. Ejemplos: 37 ∙ – 5 = – 185 125 : – 5 = – 25

2. Operatoria en Z 2. 2 Prioridad de las operaciones Para los ejercicios combinados, existe un orden que debemos respetar al realizar las operaciones, para obtener el resultado correcto. Este orden es: 1° Paréntesis 2° Potencias 3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha) 4° Adiciones y sustracciones Ejemplo: – 5 + 15 : 3 – 3 = – 5 + 5 – 3 =0– 3 =– 3

3. Operatoria en Q 3. 1 Operaciones en Q • Adición y sustracción Existen distintas maneras de sumar y/o restar fracciones. Las ejemplificaremos: 1. Si los denominadores son iguales: 4 15 + 7 15 = 11 y 15 4 15 – 7 15 = – 3 15 2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: 2 15 + 7 45 = 2∙ 3 + 7∙ 1 45 = 6+7 45 = 13 45

3. Operatoria en Q 3. 1 Operaciones en Q • Adición y sustracción Existen distintas maneras de sumar y/o restar fracciones. Las ejemplificaremos: 3. Si los denominadores son primos entre si: 4 5 + 7 8 = 4∙ 8 + 5∙ 7 40 = 32 + 35 40 = 67 40 4. Aplicando mínimo común múltiplo (m. c. m. ): 5 12 + 7 18 = 5∙ 3 + 7∙ 2 36 = 15 + 14 36 = 29 36 En este conjunto, para la adición se cumplen las mismas propiedades que en Z.

3. Operatoria en Q 3. 1 Operaciones en Q • Multiplicación Se multiplican numeradores y denominadores entre sí. Los productos pasan a ser el nuevo numerador y el nuevo denominador. Ejemplo: – 4 5 ∙ 7 8 = – 28 40 Propiedades Para la multiplicación se cumplen las mismas propiedades que en Z, solo se agrega la siguiente: Elemento inverso multiplicativo o recíproco: Todo número racional posee un elemento recíproco, que cumpla a ∙ a-1 = a-1 ∙ a Ejemplo: El inverso multiplicativo o recíproco de 2 9 es 9 2

3. Operatoria en Q 3. 1 Operaciones en Q • División Se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Ejemplo: – 4 5 : 7 8 = – 4 5 ∙ 8 7 = – 32 35 Antes de multiplicar las fracciones conviene simplificar lo más posible.

3. Operatoria en Q 3. 2 Amplificación y simplificación • Amplificación Amplificar una fracción significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador, por un mismo número. Ejemplo: Al amplificar la fracción 2∙ 6 3∙ 6 = 2 por 6 resulta: 3 12 18 Al amplificar una fracción formamos una fracción equivalente a la original, es decir, representa lo mismo

3. Operatoria en Q 3. 2 Amplificación y simplificación • Simplificación Simplificar una fracción significa dividir, tanto el numerador como el denominador, por un mismo número. Las fracciones que no se pueden simplificar se llaman fracciones irreductibles. Ejemplo: 27 por 3 resulta: 45 Al simplificar la fracción 27 : 3 45 : 3 = 9 15 Al simplificar una fracción formamos una fracción equivalente a la original, es decir, representa lo mismo

Pregunta oficial PSU El número racional es igual a A) 10 ∙ 0, 7 B) 0, 10 + 0, 7 C) + D) 7 + E) ALTERNATIVA CORRECTA E : Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

Tabla de corrección Ítem Alternativa Unidad temática Habilidad 1 C Conjuntos numéricos 2 A Conjuntos numéricos Aplicación 3 C Conjuntos numéricos Aplicación 4 B Conjuntos numéricos Aplicación 5 C Conjuntos numéricos Comprensión 6 B Conjuntos numéricos Aplicación 7 E Conjuntos numéricos Análisis 8 D Conjuntos numéricos 9 B Conjuntos numéricos Conocimiento Aplicación 10 A Conjuntos numéricos Aplicación 11 E Conjuntos numéricos Aplicación 12 D Conjuntos numéricos Aplicación

Tabla de corrección Ítem Alternativa Unidad temática 13 A Conjuntos numéricos Habilidad Aplicación 14 A Conjuntos numéricos Aplicación 15 B Conjuntos numéricos Aplicación 16 C Conjuntos numéricos 17 C Conjuntos numéricos Comprensión Aplicación 18 D Conjuntos numéricos Aplicación 19 E Conjuntos numéricos Aplicación 20 B Conjuntos numéricos Aplicación 21 C Conjuntos numéricos Aplicación 22 A Conjuntos numéricos Aplicación 23 C Conjuntos numéricos Análisis 24 A Conjuntos numéricos Evaluación 25 B Conjuntos numéricos Evaluación

Síntesis de la clase Conjunto IZ Propiedades y comparación Operatoria Propiedades Conjunto Q Prioridad de las operaciones Simplificación Operatoria Adición Sustracción Amplificación Multiplicación Regla de signos Fracciones equivalentes División

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