CLASE 4 PARTE 1 INTERIOR EXTERIOR FRONTERA Y

CLASE 4 PARTE 1: INTERIOR, EXTERIOR, FRONTERA Y CLAUSURA Bibliografía de la Clase 4 Parte 1: • Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1. 1, parágrafo 07. Ejercicios para la Clase 4 Parte 1: • Práctico 1 del año 2006, ejercicio. S 5 a 10 Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. Udela. R. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Agosto 2006. Derechos reservados.

DEFINICIONES: : Interior de C Exterior de C Frontera de C Clausura o Adherencia de C OBSERVACIONES:

CLASE 4 PARTE 2: ABIERTOS Y CERRADOS Bibliografía de la Clase 4 Parte 2: • Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1. 1, parágrafo 07. Ejercicios para la Clase 4 Parte 2: • Práctico 1 del año 2006, ejercicio. S 5 a 10 Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. Udela. R. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Agosto 2006. Derechos reservados.

DEFINICIONES: C es un conjunto ABIERTO si int. C=C C es un conjunto CERRADO si =C o lo que es lo mismo si el complemento de C es abierto. Importante: Un conjunto puede no ser abierto ni cerrado. ABIERTO: Si y solo si no contiene a ninguno de sus puntos frontera. CERRADO: Si y solo si contiene a todos sus puntos frontera. NI ABIERTO NI CERRADO: Contiene a algunos pero no todos sus puntos frontera. ABIERTO Y CERRADO A LA VEZ: Su frontera es vacía. Solo son el conjunto vacío o todo Rq.

TEOREMA: Sucesiones convergentes en conjuntos cerrados Dem. Por absurdo, si L no perteneciera a C, como C es cerrado L pertenecería al exterior de C. Existe una bola de centro L y radio epsilon >0 que no corta a C. Entonces ningún elemento de pertenece a esa bola. Por lo tanto límite de no es L. Absurdo.

CLASE 4 PARTE 3: UNIONES E INTERSECCIONES DE ABIERTOS Y CERRADOS Bibliografía de la Clase 4 Parte 3: • Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1. 1, parágrafo 07. Ejercicios para la Clase 4 Parte 3: • Práctico 1 del año 2006, ejercicio. S 5 a 10 Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. Udela. R. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Agosto 2006. Derechos reservados.

TEOREMA 1. La unión (finita o infinita) de conjuntos abiertos es abierta. La intersección finita de conjuntos abiertos es abierta. TEOREMA 2. La intersección (finita o infinita) de conjuntos cerrados es cerrada. La unión finita de conjuntos cerrados es cerrada. Observación: La intersección infinita de conjuntos abiertos puede ser o no ser abierta. En el siguiente ejemplo no es abierta: Observación: La unión infinita de conjuntos cerrados puede ser o no ser cerrada. En el siguiente ejemplo no es cerrada:

Dem. Teorema 1. Primera parte: Dem. Teorema 2. Segunda parte: Unión cualquiera de abiertos Intersección finita de abiertos

Dem. Teorema 2. Primera parte: Dem. Teorema 1. Segunda parte: Intersección cualquiera de cerrados Unión finita de cerrados

CLASE 4 PARTE 4: CONJUNTOS COMPACTOS Bibliografía de la Clase 4 Parte 4: • Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1. 1, parágrafo 08. Ejercicios para la Clase 4 Parte 4: • Práctico 1 del año 2006, ejercicio. S 11 Y 12 Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. Udela. R. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Agosto 2006. Derechos reservados.

DEFINICIÓN: Un conjunto de Rq se dice COMPACTO si es CERRADO y ACOTADO. (1) TEOREMA: Sucesiones en compactos de Rq. Toda sucesión de puntos de un compacto contiene alguna subsucesión convergente a un límite que pertenece al compacto. Dem. C compacto C acotado La sucesión tiene una subsucesión convergente a un límite L en Rq. C compacto C cerrado La subsucesión convergente a L es tal que L pertenece a C.

DEFINICIÓN: Un conjunto de Rq se dice COMPACTO si es CERRADO y ACOTADO. (1) TEOREMA: CUBRIMIENTO de C: Cubrimientos de compactos. Colección de abiertos cuya Si K es compacto entonces unión contiene a C. todo cubrimiento de K por SUBCUBRIMIENTO de : Otro cubrimiento de C que se abiertos contiene obtiene tomando algunos pero algún subcubrimiento finito. no necesariamente todos los Dem. abiertos de A probar: Por absurdo, suponemos que