Podstawy automatyki 20152016 Zera bieguny stabilno II Podstawy

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy automatyki I - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 10 - 11 - 2015/2016 Zera, bieguny – stabilność (systemy liniowe stacjonarne) - część II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Kryterium Nyquista Harry Nyquist (ur. 7 lutego 1889 r. , Nilsby, Szwecja, zm. 4 kwietnia 1976 r. Harlingen, Teksas), elektrotechnik amerykański pochodzenia szwedzkiego. Wieloletni pracownik Bell Telephone Laboratories. Twórca kryterium do badania stabilności układów sterowania. Prowadził prace z automatyki. /Wikipedia/ Cecha charakterystyczna kryterium Nyquist’a Analiza stabilności systemu zamkniętego z ujemnym sprzężeniem zwrotnym wyjścia prowadzona jest w oparciu charakterystyki częstotliwościowe (wykres Nyquista, wykresy Bode’a) transmitancji systemu otwartego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Układ otwarty – układ zamknięty Transmitancja układu otwartego Transmitancja układu zamkniętego Równanie charakterystyczne układu otwartego Równanie charakterystyczne układu zamkniętego stabilność układu otwartego stabilność układu zamkniętego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Układ otwarty – układ zamknięty W oparciu o wyniki przedstawione na poprzednim wykładzie możemy twierdzić: 1. Zera układu zamkniętego Gz(s) są takie same jak zera układu otwartego Go(s) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Układ otwarty – układ zamknięty 2. Bieguny 1 + Go(s) są też biegunami transmitancji układu otwartego Go(s), © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Układ otwarty – układ zamknięty 3. Zera 1 + Go(s) są biegunami transmitancji układu zamkniętego Gz(s), a zatem pierwiastkami równania charakterystycznego układu zamkniętego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Kryterium Nyquist’a opiera się na zasadzie argumentu Cauchy’ego związanej z odwzorowaniami zespolonymi Transmitancje są odwzorowaniami zespolonymi Odwzorowanie punktów pomiędzy dwoma płaszczyznami zespolonymi © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Skupimy uwagę na odwzorowaniach postaci i prześledźmy zagadnienie: Odwzorowanie konturów (krzywej zamkniętej) pomiędzy dwoma płaszczyznami zespolonymi © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Odwzorowanie konturu wskazanego na s-płaszczyźnie może odbywać się przy przemieszczaniu się po nim punktu s na nim: 1. w prawo - zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara – ujemna zmiana kąta wektora wodzącego, albo 2. w lewo - przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara – dodatnia zmiana kąta wektora wodzącego Przyjmiemy konwencję W PRAWO © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Ponieważ kryterium Nyquist’a jest metodą graficzną należy ustalić rozumienie pewnych używanych w nim i związanych z nim pojęć graficznych Punkt obejmowany i okrążany przez kontur Obejmowany – Będziemy mówili, że punkt jest obejmowany przez kontur (krzywą zamkniętą), jeżeli znajduje się on wewnątrz tego konturu Punkt A jest obejmowany przez kontur Γ, ponieważ A znajduje się wewnątrz konturu Γ Punkt B nie jest obejmowany przez konturΓ, ponieważ B znajduje się na zewnątrz konturu Γ © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Okrążany – Będziemy mówili, że punkt lub obszar jest okrążany przez kontur, jeżeli leży on po prawej stronie konturu przy jego przechodzeniu w przypisanym kierunku Punkt A jest okrążany przez konturem © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Kiedy punkt jest okrążany przez kontur , przypisujemy liczbę N liczbie tych okrążeń Okrążeniu zgodnemu z ruchem wskazówek zegara przypisuje się wartość -1 Okrążeniu przeciwnemu do ruchu wskazówek zegara przypisuje się wartość 1 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Praktyczny sposób określania liczby okrążeń – na przykładzie początku układu współrzędnych Gpłaszczyzny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Pytania - przy obieganiu przez s konturu Γs na s-płaszczyźnie w prawo w jakim kierunku będzie obiegał G(s) kontur ΓG na G-płaszczyźnie? - jak będzie umiejscowiony kontur ΓG na G-płaszczyźnie w zależności od tego, czy kontur Γs na s-płaszczyźnie obejmuje na niej, czy też nie obejmuje jakieś zera lub bieguny odwzorowania G(s)? © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Zachodzi: 1. Kontur ΓG okrąża początek układu współrzędnych G-płaszczyzny wtedy, i tylko wtedy, gdy kontur Γs na s-płaszczyźnie obejmuje na tej płaszczyźnie jakiekolwiek zero lub jakikolwiek biegun odwzorowania G 2 a. Jeżeli kontur Γs okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara biegun (P=1) odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur ΓG okrąża raz początek układu współrzędnych G-płaszczyzny w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (N=1), a zatem zmiana fazy odwzorowania G(s) wynosi 2π 2 b. Jeżeli kontur Γs okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara zero (Z=1) odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur ΓG okrąża raz początek układu współrzędnych G-płaszczyzny w kierunku zgodnym do ruchu wskazówek zegara (N=-1), a zatem zmiana fazy odwzorowania G(s) wynosi -2π © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Ilustracja do zasad poprzedniego slajdy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. z Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Ilustracja do zasad poprzedniego slajdy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. z Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Uogólnienie: Jeżeli kontur Γs okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara Z zer i P biegunów odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur ΓG okrąża początek układu współrzędnych G-płaszczyzny N=P-Z razy, przy czym jeżeli N>0 to w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a jeżeli N<0 to w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara Zasada argumentu Cauchy’ego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Kryterium Nyquista bazuje na zasadzie argumentu Cauchy’ego (analiza zespolona) Niech G(s) będzie funkcją zmiennej zespolonej s, analityczną (różniczkowalną względem zmiennej zespolonej) w pewnym obszarze spłaszczyzny, co najwyżej z wyjątkiem skończonej liczby punktów. Załóżmy, że pewien kontur Γs został wybrany na s-płaszczyźnie w taki sposób, że wszystkie jego punkty są analityczne. Kontur ΓG uzyskany na G-płaszczyźnie z odwzorowania konturu Γs funkcją G(s), będzie okrążał początek układu współrzędnych G-płaszczyzny tyle razy, ile wynosi różnica liczby biegunów i liczby zer funkcji G(s), które są obejmowane przez kontur Γs N =P-Z gdzie Z jest liczbą zer G(s) obejmowanych przez Γs , P jest liczba biegunów G(s) obejmowanych przez Γs , a N jest liczbą okrążeń przez ΓG początku układu współrzędnych G-płaszczyzny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Konstrukcja kryterium Nyquist’a Jak określić kontur Γs jeżeli interesuje nas badanie stabilności? Kontur Γs powinien obejmować całą prawą półpłaszczyznę płaszczyzny zmiennej zespolonej s wraz z osią urojoną z wyłączeniem co najwyżej skończonej liczby jej punktów – kontur ten będziemy nazywali konturem Nyquist’a lub D-konturem © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Konstrukcja kryterium Nyquist’a Przypadek kiedy bieguny lub zera układu leżą w początku układu współrzędnych płaszczyzny s lub na osi urojonej Sposób postępowania (jeden z możliwych) Modyfikujemy kontur Nyquist’a tak, aby obejść biegun lub zero jako położony w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s – obchodzimy go półokręgiem o nieskończenie małym promieniu położonym w prawej półpłaszczyźnie © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Konstrukcja kryterium Nyquist’a Kryterium Nyquista bazuje na odwzorowaniu konturu Nyquista w wykres Nyquista układu otwartego Wykres Cauchy’e go Kontur Nyquista Punktem krytycznym staje się punkt (-1, j 0) zamiast punktu (0, j 0) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Wykres Nyquista (wykreślanie wykresu transmitancji układu otwartego dla określenia stabilności układu zamkniętego) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Problem stabilności – kryterium Nyquist’a 1. Czy układ zamknięty posiada bieguny w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s? Wiemy: (patrz początek materiału) Bieguny transmitancji układu zamkniętego Gz(s) są zerami M(s)=1+Go(s) 2. Czy M(s)=1+Go(s) posiada zera w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s? Korzystając z zasady argumentu możemy twierdzić, że liczba tych zer wynosi: Z=P-N 3. Aby układ zamknięty był stabilny: Z=0 lub P=N © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Problem stabilności – kryterium Nyquist’a Przypomnijmy co reprezentują w tym ujęciu Z, P oraz N? Z – liczba zer M(s)=1+Go(s) w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, równa liczbie biegunów układu zamkniętego w prawej półpłaszczyźnie tejże płaszczyzny. Dla stabilnego układu zamkniętego Z musi być równe zero P – liczba biegunów M(s)=1+Go(s) w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, równa liczbie biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyźnie tejże płaszczyzny. P może być określone wprost lub z kryterium Routh’a N – liczba okrążeń charakterystyki Nyquista układu otwartego punktu (1, j 0). Okrążenia przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara są dodatnie, zgodne w kierunkiem ruchu wskazówek zegara są ujemne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Problem stabilności – kryterium Nyquist’a Kryterium Nyquista można sformułować następująco Aby układ zamknięty był stabilny, wykres Nyquist’a układu otwartego Go(s)=G(s)H(s) powinien okrążać punkt (-1, j 0) tyle razy ile biegunów układu otwartego leży w prawej półpłaszczyźnie zespolonej s; okrążenia wykresu Nyquist’a punktu (-1, j 0), jeżeli istnieją powinny być w kierunku przeciwnym do kierunku konturu Nyquist’a Kryterium Nyquista dla bardzo częstego przypadku kiedy P=0 - liczba biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej wynosi zero, tzn. kiedy układ otwarty jest stabilny Jeżeli układ otwarty jest stabilny, P=0, to aby układ zamknięty był stabilny, wykres Nyquist’a układu otwartego Go(s)=G(s)H(s) nie powinien obejmować punktu (-1, j 0) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Problem stabilności – kryterium Nyquist’a Podsumowanie - kryterium Nyquista Problem: Czy funkcja wymierna 1 + Go(s) ma, czy też nie ma zer w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s? Rozwiązanie: Wykorzystanie zasady argumentu Cachy’ego Podstawienie Ułatwienie: Wykorzystanie charakterystyki układu otwartego i punktu (-1, j 0) jako punktu krytycznego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady Przykład 1 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady K=1 -2. 7100 -0. 1450 + 1. 4809 i -0. 1450 - 1. 4809 i K=10 -. 6840 0. 8420 + 3. 1905 i 0. 8420 - 3. 1905 i P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=-2; Z=P-N=2 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady Przykład 2 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady K=1 -1. 0000 + 2. 2361 i -1. 0000 - 2. 2361 i K=5 -1. 0000 + 5. 0000 i -1. 0000 - 5. 0000 i K=10 -1. 0000 + 7. 0711 i -1. 0000 - 7. 0711 i P=0, N=0; Z=P-N=0 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady Przykład 3 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady K=1 -5. 2737 -0. 8631 + 1. 0729 i -0. 8631 - 1. 0729 i K=10 -6. 5964 -0. 2018 + 2. 8805 i -0. 2018 - 2. 8805 i K=20 -7. 4235 0. 2118 + 3. 7549 i 0. 2118 - 3. 7549 i © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=-2; Z=P-N=2 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady Przykład 4 K=1 -0. 5000 + 2. 1794 i -0. 5000 - 2. 1794 i K=2 -0. 5000 + 3. 1225 i -0. 5000 - 3. 1225 i K=5 -0. 5000+ 4. 9749 i -0. 5000 - 4. 9749 i © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. P=0, N=0; Z=P-N=0 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady Przykład 5 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady K=0. 5 -2. 0929 0. 0465 + 1. 0919 i 0. 0465 - 1. 0919 i K=2 -2. 8675 0. 4337 + 1. 8164 i 0. 4337 - 1. 8164 i K=3 -3. 1739 0. 5870 + 2. 0932 i 0. 5870 - 2. 0932 i K=5 -3. 6258 0. 8129 + 2. 4968 i 0. 8129 - 2. 4968 i © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Dla wszystkich przypadków: P=0, N=-2; Z=P-N=2 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady Przykład 6 P =0, N = 0; Z=P-N=0 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady Przykład 7 P =1, N = -1; Z=P-N=2 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady K=1 -5. 0329 0. 7773 0. 2556 K=5 -5. 1574 0. 5787 + 0. 7966 i 0. 5787 - 0. 7966 i K=10 -5. 2995 0. 6498 + 1. 2103 i 0. 6498 - 1. 2103 i © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady Przykład 8 P =1, N = 1; Z=P-N=0 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady -0. 5000 + 0. 8660 i -0. 5000 - 0. 8660 i © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Przykłady © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Zapas stabilności Istnieje potrzeba określania w jakim stopniu układ jest stabilny – jak daleko znajduje się od punktu w którym stanie się niestabilny Użyteczne idee zapas modułu (wzmocnienia) – gm (2 -6) zapas fazy – m (45 o – 60 o) Obydwie miary określają bliskość wykresu Nyquist’a krytycznego (-1, j 0) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. od punktu Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Zapas stabilności Zapas modułu (wzmocnienia) – gm © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Jeżeli moduł transmitancji układu otwartego, stabilnego układu zamkniętego w punkcie odpowiadającym przesunięciu fazowemu – 180 o wynosi to zapas modułu (wzmocnienia) wynosi gm= 1/ Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Zapas stabilności Zapas fazy – m Jeżeli przesuniecie fazowe transmitancji układu otwartego stabilnego układu zamkniętego w punkcie odpowiadającym modułowi o wartości 1 wynosi to zapas fazy wynosi m = © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51