Modelowanie i podstawy identyfikacji 20152016 Modelowanie rozmyte podstawy

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Modelowanie i podstawy identyfikacji - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 11 i 12 a - 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie – część I © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Modele rozmyte - podstawy Modele rozmyte są modelami matematycznymi przetwarzającymi informację zapisaną za pomocą zbioru reguł rozmytych „jeżeli – to” Rozmytość jest sposobem reprezentowania i przetwarzania niejednoznaczności (niepewności) określeń lingwistycznych (n. p. wysoka temperatura) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Modele rozmyte - podstawy Czy istnieje jeden rodzaj modeli rozmytych? Nie Wymienimy najczęściej stosowane w sterowaniu i podejmowaniu decyzji: lingwistyczny model rozmyty – model Mamdani’ego Takagi-Sugeno -Kanga model rozmyty (TSK) Tsukamoto model rozmyty Przedstawimy w tym przedmiocie lingwistyczny model Mamdani’ego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Modele rozmyte - podstawy Jak wygląda model rozmyty Mamdani’ego i jak działa? + Mechanizm/system wnioskowania rozmytego y* Baza reguł rozmytych zmienna rozmyta wartość zmiennej rozmytej x* Aktualna wartość wejścia x*, ani Small, ani Medium na pewno nie Large – jaka powinna być odpowiadająca takiej aktualnej wartości wejścia, aktualna wartość wyjścia y * ? © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Modele rozmyte - podstawy W modelach rozmytych zależności pomiędzy zmiennymi modelu są reprezentowane za pomocą reguł rozmytych IF-THEN mających ogólną następującą postać If ascendent proposition then consequent proposition Jeżeli stwierdzenie przesłanki to stwierdzenie konkluzji © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Modele rozmyte - podstawy Stwierdzenie przesłanki ma zawsze postać: Rozmyte stwierdzenie przesłanki Zmienna rozmyta Wartość zmiennej rozmytej Stwierdzenie konkluzji może mieć różną postać w zależności od typu modelu rozmytego W modelach lingwistycznych Mamdani’ego konkluzja ma postać: Zmienna rozmyta © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Wartość zmiennej rozmytej Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Modele rozmyte - podstawy Przykłady reguł nazywanych regułami rozmytymi If the heating power is high then the temperature will increase fast Jeżeli moc cieplna jest duża to temperatura będzie wzrastać szybko If pressure is high then volume is small Jeżeli ciśnienie jest wysokie to objętość jest mała Zmienna rozmyta Definicje: Wartość zmiennej rozmytej Zmienna rozmyta – wielkość o której zdecydowaliśmy, że będziemy ją mierzyć/oceniać korzystając z wartości rozmytych Wartość zmiennej rozmytej – wartość, której rozumienie definiujemy jako zbiór rozmyty posiadający nazwę/etykietę lingwistyczną © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Modele rozmyte - podstawy Rozmyta reguła IF – THEN – spotykana terminologia Inne nazwy: reguła rozmyta (fuzzy rule), rozmyta implikacja (fuzzy implication), rozmyte zdanie warunkowe (fuzzy conditional statement) Forma: gdzie x, y – zmienne rozmyte/lingwistyczne A, B – wartości zmiennych rozmytych/lingwistycznych, odpowiednio x i y, zdefiniowane jako zbiory rozmyte na przestrzeniach rozważań X i Y Określenia: x is A – poprzednik, przesłanka, stwierdzenie przesłanki y is B – następnik, konkluzja, stwierdzenie konkluzji rezultat, © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Wszystkie zbiory, również zbiory rozmyte definiujemy w przestrzeni rozważań Przestrzeń rozważań X – przestrzeń rozważań: zbiór obiektów będących przedmiotem naszego zainteresowania Inne nazwy: obszar rozważań, przestrzeń, zbiór, domena rozważań, domena, zakres podstawowy, zbiór odniesienia Przestrzeń rozważań może być zbiorem dowolnej natury (dziedzina zbioru może być dowolnej natury) – w szczególności może to być dziedzina numeryczna czyli np. liczby rzeczywiste, całkowite W zastosowaniach z dziedziny sterowania – przestrzeń rozważań to najczęściej zbiór liczb rzeczywistych lub jego podzbiór © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Definicja: zbiór zwykły Niech X , dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem zwyklym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par: gdzie: A jest funkcją przynależności zbioru zwykłego A, która każdemu elementowi x X przypisuje dwuwartościowy stopień jego przynależności A(x) do zbioru rozmytego A, przy czym: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Definicja: zbiór rozmyty Niech X , dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem rozmytym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par: gdzie: A jest funkcją przynależności (membership function) zbioru rozmytego A, która każdemu elementowi x X przypisuje stopień jego przynależności (grade of membership) A (x) do zbioru rozmytego A, przy czym: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Przykład: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Funkcja przynależności realizuje odwzorowanie dziedziny rozważań X danej zmiennej do przedziału [0, 1]: Funkcja przynależności przyporządkowuje każdemu elementowi x X pewną wartość z przedziału [0, 1]: Wartość ta, zwana stopniem przynależności informuje, w jakim stopniu element x X należy do zbioru rozmytego A © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Funkcja przynależności i stopień przynależności - porównanie Zbiór zwykły © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Zbiór rozmyty Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Funkcje przynależności i stopień przynależności elementu przestrzeni rozważań do różnych zbiorów © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Zbiór rozmyty – przestrzeń rozważań, funkcja przynależności, stopień przynależności Definicja zbioru rozmytego jest subiektywna (zależy od osądów autora) i zależna od kontekstu Wysoki w Chinach © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Wysoki w Europie Wysoki w NBA Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Przykłady zbiorów rozmytych Zbiory rozmyte dla sterowania wahadłem odwróconym Obiekt Struktura systemu sterowania Sterownik rozmyty © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Wahadło odwrócone Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Przykłady zbiorów rozmytych Wejścia regulatora: Odchylenie Położenie od położenia pożądane aktualne pożądanego Wyjście regulatora: Siła przyłożona do wózka – u(t) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Zmiana odchylenia od położenia pożądanego Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Przykłady zbiorów rozmytych Zmienne lingwistyczne: „Odchylenie” – e(t) „Zmiana odchylenia” – Pożądane położenie: r(t) = 0 Zależności: „Siła” – u(t) Konwencja: Położenie + Odchylenie - ; Położenie - Odchylenie + Zmiana położenia + Zmiana odchylenia - ; Zmiana położenia - Zmiana odchylenia + Siła + © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Przykłady zbiorów rozmytych Wartości lingwistyczne (dla wszystkich zmiennych): ujemna, duża co do wartości – „neglarge” ujemna, mała co do wartości – „negsmall” zero – „zero” dodatnia, mała co do wartości – „possmall” dodatnia, duża co do wartości – „poslarge” © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Przykłady zbiorów rozmytych Wahadło odwrócone w różnych pozycjach Odchylenie ujemne Położenie pożądane Odchylenie dodatnie i zerowe Siła dodatnia Zmiana odchylenia ujemna © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Zmiana odchylenia dodatnia Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Przykłady zbiorów rozmytych Zdefiniowanie wartości rozmytych dla poszczególnych zmiennych rozmytych © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Formy zapisu funkcji przynależności - wybrane diagram ciągły lub dyskretny Przykłady: Ciągła (a) i dyskretna (b) graficzna forma (diagram) funkcji przynależności liczby rozmytej „około zera” © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Formy zapisu funkcji przynależności - wybrane wektor przynależności Przykład: Dyskretna funkcja przynależności w postaci wektora dla liczby rozmytej „około zera” © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Formy zapisu funkcji przynależności - wybrane suma lub całka Dyskretna funkcja przynależności w postaci sumy Przykład: Dyskretna funkcja przynależności w postaci sumy dla liczby rozmytej „około zera” © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Formy zapisu funkcji przynależności - wybrane Ciągła funkcja przynależności w postaci całki Przykład: Ciągła funkcja przynależności w postaci całki dla liczby rozmytej „około zera” © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Charakterystyczne zbiory rozmyte Pusty zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość zero dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem pustym i oznaczany jest symbolem : Uniwersalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość jeden dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem uniwersalnym i oznaczany jest symbolem U: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Charakterystyczne zbiory rozmyte Normalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) przyjmuje wartości pomiędzy 0 a 1, łącznie z 1, nazywany jest zbiorem normalnym rozmytym © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Charakterystyczne zbiory rozmyte Liczba rozmyta: Liczba rozmyta jest określana zbiór rozmyty normalny i wypukły na przestrzeni rozważań R Uwaga: Zbiór rozmyty wypukły – każdy jego przekrój na dowolnej wysokości jest pojedynczym odcinkiem Singleton (jednoelementowy zbiór rozmyty): Singleton jest to taki zbiór rozmyty A, którego nośnik S(A) zawiera tylko jeden element o stopniu przynależności różnym od zera © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Popularne funkcje przynależności - złożone z odcinków Trójkątna funkcja przynależności: Przykład: triangle(x; 20, 60, 80) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Popularne funkcje przynależności - złożone z odcinków Trapezowa funkcja przynależności: Przykład: trapezoid(x; 10, 20, 60, 95) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Popularne funkcje przynależności - gładkie Gaussowska funkcja przynależności: Przykład: gaussian(x; 50, 20) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Popularne funkcje przynależności - gładkie Dzwonowa funkcja przynależności: Przykład: bell(x; 20, 4, 50) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych Operacje (logiczne, mnogościowe) na zbiorach rozmytych Główne operatory logiczne: 1. Operacja przecięcia (intersection) zbiorów rozmytych 2. Operacja połączenia (union) zbiorów rozmytych 3. Operacja negacji (complement) zbioru rozmytego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych Definicja: Zawieranie (containment) lub podzbiór Zbiór rozmyty A jest zawarty w zbiorze rozmytym B (lub, równoważnie, A jest podzbiorem B, lub A jest mniejszy lub równy B) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x Przykład: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych Definicja klasyczna: Przecięcie (intersection) zbiorów rozmytych Przecięcie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C, co zapisuje się jako C = A B lub C = A AND B, którego funkcja przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością: Przykład: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych Operator min nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji przecięcia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji przecięcia Najczęściej stosowanymi operatorami przecięcia zbiorów rozmytych A B są tak zwane T-normy (triangular norm) Definicja uogólniona : Przecięcie (intersection) zbiorów rozmytych Przecięcie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest określane przez funkcję T: [0, 1]x[0, 1], która agreguje dwa stopnie przynależności spełniając aksjomaty operacji przecięcia i oznaczana jest w następujący sposób: gdzie jest operatorem binarnym określonym dla funkcji T. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych Niektóre operatory T – normy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych Definicja klasyczna: Połączenie (union) zbiorów rozmytych Połączenie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C, co zapisuje się jako C = A B lub C = A OR B, którego funkcja przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością: Przykład: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych Operator max nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji połączenia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji połączenia Najczęściej stosowanymi operatorami połączenia zbiorów rozmytych A B są tak zwane S-normy Definicja uogólniona : Połączenie (union) zbiorów rozmytych Połączenie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest określane przez funkcję S: [0, 1]x[0, 1], która agreguje dwa stopnie przynależności spełniając aksjomaty operacji połączenia i oznaczana jest w następujący sposób: gdzie jest operatorem binarnym określonym dla funkcji S. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych Niektóre operatory S – normy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych Operacja negacji (complement, negation) zbioru rozmytego W logice nierozmytej: Definicja: Negacja (complement) zbioru rozmytego Negacja zbioru rozmytego A jest zbiorem rozmytym A, określonym zależnością: Przykład: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych Inne operacje negacji 1. Negacje Sugeno (parametryzowane) gdzie 2. Negacje Yager’a (parametryzowane) gdzie © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych Dla wyróżnienia operatory: przecięcie połączenie negacja są nazywane klasycznymi lub standardowymi operatorami rozmytymi © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja Operacje na zbiorach możemy przeprowadzać zdefiniowanych w jednej przestrzeni rozważań na zbiorach Jak realizować operacje na zbiorach rozmytych zdefiniowanych w różnych przestrzeniach rozważań? Rozszerzenie cylindryczne zbioru rozmytego Każdy n-wymiarowy zbiór rozmyty może być rozszerzony do wymiaru n+1 za pomocą rozszerzenie cylindrycznego Projekcja zbioru rozmytego Każdy n+1 - wymiarowy zbiór rozmyty może być ścieśniony do wymiaru n za pomocą projekcji © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja Definicja: Rozszerzenie cylindryczne Jeżeli X 1 i X 2 są przestrzeniami rozważań, a zbiór rozmyty A zdefiniowany jest na X 1 to rozszerzeniem cylindrycznym zbioru A na przestrzeń rozważań X = X 1 x X 2 nazywamy odwzorowanie określone wzorem dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i dla przestrzeni ciągłej dla wszystkich dwójek x=(x 1, x 2) X 1 x X 2 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja Przykład: rozszerzenie cylindryczne z R do R 2 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja Definicja: Projekcja Jeżeli X 1 i X 2 są dziedzinami rozważań, a zbiór rozmyty A zdefiniowany jest na przestrzeni iloczynowej X=X 1 x. X 2 to projekcją tego zbioru na dziedzinę X 1 jest odwzorowanie: określone zależnością: dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i dla przestrzeni ciągłej © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja Przykład: projekcja z R 2 do R © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja Przykład: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Operacje na zbiorach rozmytych – rozszerzenie cylindryczne, projekcja Przykład: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie I Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52