Podstawy automatyki 20152016 Transmitancja obiektu dynamicznego Podstawy automatyki

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Podstawy automatyki I - studia stacjonarne Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 5 - 2015/2016 Transmitancja operatorowa obiektu dynamicznego Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Rozważaliśmy w dziedzinie czasu zachowanie się obiektu dynamicznego w przedziale czasu od t 0 do t opisywanego równaniem różniczkowym (1 a) (1 b) u(t) Obiekt y(t) Dla dowolnego wejścia u(t) określonego w przedziale [t 0, t] uzyskaliśmy opis pełnej odpowiedzi obiektu Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Dokonamy przejścia do dziedziny zmiennej zespolonej s Załóżmy, że zarówno funkcja (reprezentacja matematyczna sygnału) u(t) – wejście, jak i y(t) – wyjście, spełnia warunki pozwalające poddać je przekształceniu Laplace’a Poddając transformacji Laplace’a obydwie strony (1 a) i uwzględniając znajomość (1 b) otrzymamy (2) Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Rozwiązując (2) ze względu na Y(s) Składowa swobodna odpowiedzi Składowa wymuszona odpowiedzi Składowa swobodna: Składowa wymuszona: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Transformata Laplace’a składowej wymuszonej: gdzie, - transmitancja obiektu dynamicznego I definicja transmitancji obiektu dynamicznego Transmitancją obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego) nazywamy stosunek transformaty Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi tego obiektu na wymuszenie do transformaty Laplace’a tego wymuszenia lub inaczej: Transmitancją obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego) nazywamy stosunek transformaty Laplace’a odpowiedzi tego obiektu na wymuszenie uzyskanej przy zerowym warunku początkowym, do transformaty Laplace’a tego wymuszenia Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego – na przykładzie obiektu rzędu pierwszego, np. czwórnika RC, dwójnika RL Właściwości: (i) G(s) – wzmocnienie dynamiczne obiektu w dziedzinie s (ii) G(s) – nie ma stałej wartości, lecz jest funkcją zmiennej s (iii) G(s) – nie zależy od sygnału wejściowego – jest zatem charakterystyką obiektu Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Transmitancja obiektu opisuje dynamikę obiektu w dziedzinie zmiennej zespolonej s Odpowiedź impulsowa obiektu opisuje dynamikę obiektu w dziedzinie czasu t Związek pomiędzy nimi? Transformata Laplace’a impulsu jednostkowego: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Podstawy automatyki 2015/2016 Otrzymaliśmy: Transmitancja obiektu dynamicznego lub Składowa wymuszona odpowiedzi na impuls jednostkowy Transmitancja obiektu dynamicznego II definicja transmitancji obiektu dynamicznego Transmitancją obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego) nazywamy transformatę Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi tego obiektu na wymuszenie impulsem jednostkowym Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Terminologia: - wielomiany zmiennej zespolonej s Rozwiązania (pierwiastki) równania: nazywane są zerami transmitancji Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego W rozważanym przykładzie – obiekt pierwszego rzędu - odpowiedź dla i intensywności S Dla t 0 = 0 i S = 1: Otrzymamy: (porównać z wynikami z poprzednich slajdów) Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Przykład 1 – czwórnik RC Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Przykład 2 – dwójnik RL Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Odpowiedź wymuszona na sygnał skokowy o amplitudzie dla t 0 =0: Odpowiedź wymuszona w dziedzinie s: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Odpowiedź wymuszona w dziedzinie t: Zastosujemy dla znalezienia L-1 metodę rozkładu na ułamki proste: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Stąd: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Parametry transmitancji obiektu rzędu pierwszego inercyjnego dla rozważanego przykładu Wielkość nazywamy statycznym współczynnikiem wzmocnienia Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Podstawy automatyki 2015/2016 Przykład 1 – czwórnik RC Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Transmitancja obiektu dynamicznego Przykład 2 – dwójnik RL Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Określanie wzmocnienia statycznego – wykorzystanie transmitancji - wzmocnienie statyczne Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Transmitancja pozwala łatwo wyznaczyć K Odpowiedź operatorowa obiektu Dla wymuszenia skokowego o amplitudzie A: Skorzystamy z twierdzenia o wartości granicznej w dziedzinie czasu Zatem: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego oraz Przykład 3 Wyznaczyć wzmocnienie statyczne obiektu o transmitancji W dziedzinie czasu opis równaniem różniczkowym: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego W dziedzinie czasu należałoby teraz rozwiązać równanie różniczkowe dla wymuszenia Mając y(t) należałoby obliczyć i ostatecznie wyznaczyć K Korzystając z transmitancji: Dla np. A = 3 odpowiedź ustalona: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Przedstawmy odpowiedź wymuszoną: dla rozważanego przykładu Wielkość - nazywamy stałą czasowąbezwładności (inercji) Policzmy: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Podsumowanie: W automatyce wyróżniamy pewne tzw. człony elementarne liniowe i stacjonarne, stanowiące części obiektu sterowanego lub układu sterującego charakteryzujące się określoną transmitancją operatorową Poznaliśmy już jeden z takich członów: Przykład 1 – czwórnik RC Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykład 2 – dwójnik RL Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Standardowa postać transmitancji tych układów: Parametry: - współczynnik wzmocnienia statycznego - stała czasowa bezwładności Nazwa członu: Człon inercyjny pierwszego rzędu Inne człony poznamy w dalszej części wykładu i podczas ćwiczeń ! Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja obiektu dynamicznego Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25