Podstawy automatyki 20152016 Zera bieguny stabilno I Podstawy

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Podstawy automatyki I - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 8 - 9 - 2015/2016 Zera, bieguny – stabilność (systemy liniowe stacjonarne) - część I © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Transmitancja operatorowa - forma zapisu dynamiki liniowego stacjonarnego systemu dynamicznego rozpoczynającego ruch przy zerowych warunkach początkowych Rozważamy przypadki: Fakt matematyczny Każdą funkcję można przedstawić w postaci gdzie, © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. są pierwiastkami równania Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Inna postać zapisu transmitancji operatorowej gdzie, Postać ta nazywamy postacią zera - bieguny Możemy napisać są pierwiastkami równania i nazywane są zerami transmitancji są pierwiastkami równania i nazywane są biegunami transmitancji © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Równanie charakterystyczne Równanie pozwalające znaleźć bieguny transmitancji nazywamy równaniem charakterystycznym © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Moduł T(s) Bieguny – zera a wartości transmitancji operatorowej Urojona część s Rzeczywista część s © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Bieguny – zera a wartości odpowiedzi w czasie – stabilność układu sterowania System sterowania Będziemy rozważali stabilność systemu sterowania liniowego stacjonarnego o strukturze wprowadzonej na poprzednich wykładach – systemu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym GUS(s) – transmitancja układu sterującego GOS(s) – transmitancja obiektu sterowanego H(s) – transmitancja sprzężenia zwrotnego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego Wprowadzimy następujące pojęcia - transmitancja układu otwartego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego - transmitancja układu otwartego do wyjścia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego - transmitancja układu zamkniętego do wyjścia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego Czasem wygodniej pracować ze schematem uproszczonym I wówczas - transmitancja układu otwartego do wyjścia - transmitancja układu zamkniętego do wyjścia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego Mamy system z jednym wejściem i jednym wyjściem, określany skrótem SISO (Single Input - Single Output) Odpowiedź systemu zamkniętego Y(s) na wymuszenie YREF(s) wyrazi się znanym już wzorem © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego W przedstawianych uprzednio przykładach występowały zakłócenia – jak uwzględnić je w strukturze systemu sterowania? Fakt: system jest liniowy Jakim wzorem wyrazi się odpowiedź systemu na jednoczesne działanie wymuszeń YREF(s) oraz Z(s)? © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego Mamy system z dwoma wejściami i jednym wejściem, określany skrótem MISO (Multiple Input - Single Output) Skorzystamy z zasady superpozycji - składowa odpowiedzi Y(s) wynikająca z wymuszenia YREF(s) - składowa odpowiedzi Y(s) wynikająca z wymuszenia Z(s) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego Odpowiedź systemu Y(s) na działanie wymuszeń YREF(s) oraz Z(s) wyrazi się wzorem Takie same mianowniki transmitancji Stabilność systemu liniowego stacjonarnego determinują bieguny jego transmitancji układu zamkniętego – pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Równanie charakterystyczne systemu zamkniętego Rozważamy zamknięty system sterowania z ujemnym sprzężeniem zwrotnym Równanie charakterystyczne układu zamkniętego w dziedzinie s – mianownik transmitancji układu zamkniętego przyrównany do zera Pierwsza postać: (1) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Równanie charakterystyczne systemu zamkniętego Równanie charakterystyczne układu zamkniętego – inaczej (2) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Nieformalne wprowadzenie do stabilności Widomy objaw niestabilności – amplituda wielkości wyjściowej systemu zdąża do nieskończoności (przy ograniczonej amplitudzie wielkości wejściowej) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Pytania: Czy musimy przebadać reakcje systemu na wszystkie możliwe wymuszenia, wszystkie możliwe warunki początkowe, aby wydać sąd o jego stabilności? Czy możliwość wystąpienia nieograniczonej amplitudy reakcji systemu związana jest z cechami bodźca (sygnału wymuszającego, warunku początkowego), czy też związana jest z cechami systemu? © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Dla systemów liniowych stacjonarnych stabilność jest cechą systemu Jeżeli system liniowy stacjonarny jest stabilny, wówczas żadne warunki początkowe, ani żadne ograniczone wymuszenie spowoduje nieograniczonego wzrostu wyjścia systemu Trzy wymagania formułowane w odniesieniu do systemu sterowania: stabilność zachowanie systemu w stanach przejściowych błąd sterowania w stanach ustalonych Najważniejsza – STABILNOŚĆ © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Definicje: (odwołujące się do wymuszenia impulsowego) System liniowy stacjonarny jest asymptotycznie stabilny, jeżeli jego odpowiedź impulsowa zdąża do zera przy czasie zdążającym do nieskończoności System liniowy stacjonarny jest (krytycznie) stabilny, jeżeli jego odpowiedź impulsowa ani nie zanika, ani nie wzrasta, lecz pozostaje stała lub oscyluje ze stałą amplitudą przy czasie zdążającym do nieskończoności System liniowy stacjonarny jest niestabilny, jeżeli jego odpowiedź impulsowa zdąża do nieskończoności przy czasie zdążającym do nieskończoności © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Definicje: (odwołujące się do dowolnego wymuszenia – stabilność BIBO (Bounded Input – Bounded Output)BIBO ) System jest BIBO stabilny, jeżeli każde wymuszenie o ograniczonej amplitudzie pojawiające się w chwili t 0, wywołuje reakcję o ograniczonej amplitudzie w przedziale czasu [t 0, ∞) System jest BIBO niestabilny, jeżeli jakiekolwiek wymuszenie o ograniczonej amplitudzie pojawiające się w chwili t 0, wywołuje reakcję o nieograniczonej amplitudzie w przedziale czasu [t 0, ∞) y y Ograniczone wejście © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Stabilny Niestabilny Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Systemy krytycznie stabilne oznaczają kategorię systemów, które dla pewnych ograniczonych wymuszeń będą dawały odpowiedzi ograniczone (będą stabilne) a dla innych będą dawały odpowiedzi nieograniczone (będą niestabilne) Przykład: Element idealnego całkowania: wymuszenie impulsowe i wymuszenie skokowe © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność W ogólnym przypadku (systemy nieliniowe) pojęcie stabilności jest związane ze stanem równowagi systemu – inaczej mówi się z punktem równowagi systemu Stan równowagi systemu może być: Stabilny lokalnie, jeżeli system powraca do niego tylko przy ograniczonych, co do zakresu odchyleniach od niego Stabilny globalnie, jeżeli system powraca do niego przy dowolnie dużych odchyleniach od niego Stabilny krytycznie, jeżeli system odchylony od aktualnego położenia równowagi pozostaje w nowym położeniu, który też jest stanem równowagi Niestabilny, jeżeli system oddala się od tego stanu w sposób nieograniczony i nie powraca do niego przy dowolnie małych odchyleniach od niego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Ilustracja stabilnych i niestabilnych punktów równowagi Stabilność globalna Niestabilność Stabilność krytyczna Stabilność lokalna Pożądana: globalna stabilność © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność W automatyce interesuje nas stabilność asymptotyczna System jest stabilny: Asymptotycznie, jeżeli powraca do uprzedniego stanu równowagi po odchyleniu od niego Nieasymptotycznie (krytycznie), jeżeli ani nie powraca, ani nie oddala się od stanu równowagi po odchyleniu od niego Pożądana: globalna stabilność asymptotyczna © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Definicja: System jest stabilny globalnie, jeżeli jest stabilny dla dowolnych warunków początkowych System jest stabilny lokalnie, jeżeli jest stabilny dla warunków początkowych leżących w pobliżu stanu równowagi Twierdzenie: System liniowy stacjonarny jeżeli jest stabilny, jest stabilny globalnie © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność System niestabilny System stabilny Asymptotycznie Nieasymptotycznie (krytycznie) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Skupimy się na systemach dla których zamkniętego jest ułamkiem wymiernym transmitancja układu (3) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Jeżeli (4) to a) Stabilność asymptotyczna System liniowy stacjonarny jest asymptotycznie stabilny, jeżeli pierwiastki równania (4) spełniają czyli wszystkie bieguny transmitancji systemu zamkniętego leżą w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność b) Stabilność (krytyczna) System liniowy stacjonarny jest stabilny krytycznie, jeżeli co najwyżej jeden pojedynczy pierwiastek równania (4) leży w początku układu współrzędnych płaszczyzny zmiennej zespolonej s i żaden wielokrotny pierwiastek nie leży na osi urojonej c) Niestabilność System liniowy stacjonarny jest niestabilny, jeżeli chociaż jeden pierwiastek równania (4) leży w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s lub jeden wielokrotny pierwiastek leży na osi urojonej © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Liniowy system stacjonarny – bieguny transmitancji i stabilność Płaszczyzna s Stabilny asymptotycznie Stabilny (krytycznie) Płaszczyzna s Niestabilny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Niestabilny Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Liniowy system stacjonarny – rząd drugi rozmieszczenie biegunów - odpowiedzi © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Liniowy system stacjonarny – rząd drugi rozmieszczenie biegunów odpowiedzi © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Przykład 1: Układ stabilny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność układu otwartego ≠ stabilność układu zamkniętego Przykład 2: Układ otwarty: Bieguny: Układ zamknięty: Układ otwarty stabilny krytycznie Układ zamknięty stabilny asymptotycznie © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Układ otwarty: Bieguny: jak poprzednio Układ otwarty stabilny krytycznie Układ zamknięty: Układ zamknięty niestabilny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Stabilność Trudność – wyznaczanie pierwiastków równania charakterystycznego Czy można wydać sąd o stabilności systemu nie rozwiązując równania charakterystycznego (4) TAK, korzystając z KRYTERIÓW STABILNOŚCI * Kryteria algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a * Kryterium graficzno-analityczne Nyquista © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Kryteria algebraiczne pozwalają stwierdzić, czy system liniowy stacjonarny jest stabilny asymptotycznie na podstawie wartości współczynników równania charakterystycznego Warunek konieczny: (dla wszystkich kryteriów algebraicznych) Jeżeli system liniowy stacjonarny jest stabilny asymptotycznie, to wszystkie współczynniki równania charakterystycznego są niezerowe i dodatnie (jednego znaku) Zerowa wartość wyrazu wolnego oznacza albo niestabilność albo stabilność krytyczną © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 3: System nie spełnia warunku koniecznego stabilności asymptotycznej – współczynniki r. ch. nie są jednego znaku system jest niestabilny System nie spełnia warunku koniecznego stabilności asymptotycznej – jeden współczynnik r. ch. jest zerowy system jest niestabilny Brak wyrazu wolnego w r. ch. system w najlepszym przypadku jest krytycznie stabilny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 3: c. d. System spełnia warunek konieczny stabilności – współczynniki r. ch. są jednego znaku i wszystkie są różne od zera dla oceny stabilności należy sprawdzić warunek wystarczający © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Warunek wystarczający Warunek dostateczny podamy dla oznaczeń współczynników równania charakterystycznego jak niżej © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Tworzymy tabelę (tablicę) Routh’a Wiersz © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Interpretujemy dane zawarte w utworzonej tablicy Routh’a w celu ustalenia ile biegunów układu zamkniętego znajduje się w lewej półpłaszczyźnie, ile w prawej i ile na osi urojonej - liczba zmian znaków elementów pierwszej kolumny jest równa liczbie biegunów układu zamkniętego (pierwiastków M(s)) w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 4: 2 zmiany – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie System niestabilny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 5: System stabilny ? System spełnia warunek konieczny stabilności – współczynniki r. ch. są jednego znaku i wszystkie są różne od zera dla oceny stabilności należy sprawdzić warunek wystarczający © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a 2 zmiany – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie System niestabilny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 6: Transmitancja obiektu sterowanego Transmitancja układu sterującego Wartość K zapewniająca stabilność układu sterowania? Równanie charakterystyczne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Dla uniknięcia zmiany znaku: Zakładając K>0 Warunek © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przypadki szczególne Zero występujące w pierwszej kolumnie tablicy Routh’a zero w kolumnie pierwszej dowolnego wiersza, lecz wśród pozostałych elementów wiersza są elementy niezerowe Jedna z metod postępowania: - zastępujemy element zerowy elementem o dowolnie małej wartości ε i kontynuujemy wypełnianie tablicy Routh’a - znajdujemy znak granicznych wartości elementów pierwszej kolumny przy ε 0 - sprawdzamy liczbę zmian znaków w pierwszej kolumnie © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przypadki szczególne Przykład 7: pojedyncze zero w pierwszej kolumnie Zbadać stabilność systemu o transmitancji układu zamkniętego Równanie charakterystyczne: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Badamy zmienność znaku przy zakładając uprzednio znak ε © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Wyniki analizy: ε=+ ε=– ε=+ 2 zmiany – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie ε=– 2 zmiany – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie System niestabilny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a zero w kolumnie pierwszej dowolnego wiersza i wszystkie pozostałe elementy w wierszu są zerowe Metoda postępowania: - tworzymy wielomian pomocniczy w oparciu o elementy poprzedniego, w stosunku do wiersza zerowego, wiersza tablicy Routh’a; wielomian rozpoczyna się wyrazem o stopniu odpowiadającym stopniowi tego poprzedniego wiersza, a elementy poprzedniego wiersza stają się współczynnikami tworzonego wielomianu; potęgi wielomianu pomocniczego zmniejszają się z krokiem dwa - różniczkujemy pomocniczy wielomian względem s - współczynniki uzyskanego po zróżniczkowaniu wielomianu wpisujemy w miejsce elementów zerowego wiersza i kontynuujemy wypełnianie tablicy Routh’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 8: cały zerowy wiersz Zbadać stabilność systemu o transmitancji układu zamkniętego Równanie charakterystyczne: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Tworzymy wielomian pomocniczy: Różniczkujemy P(s) względem s © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 58

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Nie ma zmian – nie ma biegunów w prawej półpłaszczyźnie System stabilny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 59

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Wiersze zerowe w tablicy Ruth’a – Hurwitz’a - znaczenie Materiał dodatkowy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 60

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Zero w kolumnie pierwszej dowolnego wiersza i wszystkie pozostałe elementy są zerowe - znaczenie matematyczne tego faktu: Wielomian równania charakterystycznego układu zamkniętego posiada dzielnik, który jest wielomianem parzystym; wielomian parzysty to wielomian, w którym występują wyrazy tylko o stopniach parzystych Wielomian parzysty posiada pierwiastki, które rozłożone są symetrycznie względem początku układu współrzędnych © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 61

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Możliwe położenia pierwiastków wielomianu parzystego A – rzeczywiste B – urojone C – zespolone Wielomian pomocniczy jest wielomianem parzystym, dzielnikiem wielomianu charakterystycznego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 62

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Zero w kolumnie pierwszej dowolnego wiersza i wszystkie pozostałe elementy są zerowe – skutki dla analizy Zmiany znaku w tablicy Routh’a do wystąpienia zerowego wiersza określają liczbę biegunów w prawej półpłaszczyźnie związanych z częścią pozostałą wielomianu charakterystycznego poza wielomianem parzystym Zmiany znaku w tablicy Routh’a od wiersza wielomianu pomocniczego określają liczbę biegunów w prawej półpłaszczyźnie wielomianu parzystego – dzielnika wielomianu charakterystycznego; ponieważ pierwiastki wielomianu parzystego są symetryczne, liczba zmian znaku określa liczbę biegunów w prawej i także w lewej półpłaszczyźnie; pierwiastki wielomianu dzielnika parzystego poza tym wyliczeniem leżą na osi urojonej © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 63

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 9: cały zerowy wiersz Zbadać położenie biegunów systemu o transmitancji układu zamkniętego Równanie charakterystyczne: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 64

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 65

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 66

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 67

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Wielomian pomocniczy: Różniczkujemy P(s) względem s © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 68

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 69

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 70

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Wielomian charakterystyczny – stopień: 8 Wielomian pomocniczy – stopień: 4 Wielomian pozostały – stopień: 4 Wiersze s 4 – s 0: wielomian pomocniczy - wielomian pomocniczy ma cztery pierwiastki - bieguny - brak zmian znaku – brak pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie - jeżeli brak pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie, to nie ma ich też w lewej półpłaszczyźnie - wielomian pomocniczy ma 4 pierwiastki urojone – wielomian charakterystyczny ma cztery bieguny urojone sprzężone © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 71

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Wielomian charakterystyczny – stopień: 8 Wielomian pomocniczy – stopień: 4 Wielomian pozostały – stopień: 4 Wiersze s 8 – s 5: wielomian pozostały - wielomian pozostały ma cztery pierwiastki bieguny - dwie zamiany znaku – dwa pierwiastki w prawej półpłaszczyźnie – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie - dwa pozostałe pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie – dwa bieguny w lewej półpłaszczyźnie I oczywiście system niestabilny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 72

Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność I Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 73