Podstawy automatyki 20152016 Transmitancja widmowa i charakterystyki czstotliwociowe

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Podstawy automatyki I - studia stacjonarne Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 6 - 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe obiektu dynamicznego Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Interesuje nas: Odpowiedź obiektu liniowego stacjonarnego na wymuszenie sinusoidalne Potrafimy już znajdować: Odpowiedź w dziedzinie czasu, na dowolne wymuszenie i przy dowolnych warunkach początkowych Odpowiedź w dziedzinie zmiennej zespolonej s, na dowolne wymuszenie i przy dowolnych warunkach początkowych Przypadek szczególny: zerowy warunek początkowy, prowadzi do pojęcia transmitancji operatorowej u(t) U(s) R. R. G(s) Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. y(t) Y(s) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Przykładowy obiekt: Model matematyczny: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Dla: gdzie: Odpowiedź operatorowa układu: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Znajdźmy odpowiedź naszego przykładowego układu na wymuszenie sinusoidalne Interesują nas odpowiedzi na pytania: czy odpowiedź układu będzie sinusoidalna dla t 0 (ogólnie dla t t 0 , gdzie t 0 - chwila początkowa obserwacji) co można będzie powiedzieć o stosunku amplitud sygnału wyjściowego i wejściowego - wzmocnieniu co można będzie powiedzieć o kątach fazowych sygnału wyjściowego i wejściowego – przesunięciu fazowym Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Przedstawmy równanie różniczkowe modelu układu w postaci: Rozwiązanie tego równania uwy(t) (odpowiedź układu) dla dowolnego wymuszenia uwe(t) ma postać (patrz poprzednie wykłady): (*) Składowa swobodna odpowiedzi Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Składowa wymuszona odpowiedzi Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Jaka będzie odpowiedź układu, jeżeli wymuszenie będzie miało postać: (**) Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Podstawiając (**) do (*) Można pokazać (dobre zadanie do samodzielnego wykonania), że odpowiedź układu na sinusoidalne wymuszenie ma postać: Wniosek: odpowiedź układu na wymuszenie sinusoidalne nie jest sinusoidalna dla dowolnego t 0 Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Jeżeli interesujemy się odpowiedzią układu dla chwil t wystarczająco odległych od chwili t>>0 takich, że składowa swobodna będzie pomijalnie mała: sygnał odpowiedzi układu na wymuszenie wyniesie Odpowiedź częstotliwościowa układu Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Wejście Wyjście gdzie: Wnioski: Odpowiedź ustalona układu liniowego stacjonarnego pobudzanego sygnałem sinusoidalnym o częstotliwości kątowej jest również sygnałem sinusoidalnym o tej samej częstotliwości Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Wejście Wyjście gdzie: Wnioski: Amplituda odpowiedzi ustalonej układu jest różna od amplitudy wymuszenia i zależy od częstotliwości kątowej ω sygnału wymuszającego (poza oczywistą zależnością od parametrów układu) Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Wejście Wyjście gdzie: Wnioski: Kąt fazowy odpowiedzi ustalonej układu jest różny od kąta fazowego wymuszenia i zależy od częstotliwości kątowej ω sygnału wymuszającego (poza oczywistą zależnością od parametrów układu) Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe = Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Policzmy: a. Stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego b. Różnicę kątów fazowych sygnału wyjściowego i sygnału wejściowego Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe a. Amplituda sygnału wejściowego: Amplituda sygnału wyjściowego: Stosunek amplitud: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe b. Kąt fazowy sygnału wejściowego: Kąt fazowy sygnału wyjściowego: Różnica kątów fazowych: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Wróćmy do opisu dynamiki przykładowego układu za pomocą transmitancji operatorowej G(s) jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej s =σ+jω W szczególności jej wartości można obliczać dla s=jω Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Policzmy zatem wartości G dla s=j Możemy poszukiwać dla przedstawienia w postaciach używanych dla liczb zespolonych Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Przykład 1: G(jω) Re. G(jω) Im. G(jω) |G(jω)| Przypomnieć sobie zasady rachunku liczb zespolonych!!! Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Przykład 2: Re. G(jω) Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Im. G(jω) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Wykonajmy eksperyment – policzmy dla pokazanego na początku układu RL transmitancję dla s=j Moduł: Faza: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Podstawy automatyki 2015/2016 Porównanie: - z odpowiedzi częstotliwościowej Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe - z transmitancji widmowej Wniosek: !!! Transmitancja dla s=j zawiera pełną informację o odpowiedziach częstotliwościowych (ustalonej odpowiedzi wymuszonej na sygnał sinusoidalny) układu dynamicznego dla różnych pulsacji ω Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Stąd: Transmitancja dla s=j stosowana jest jako narzędzie analizy układów dynamicznych i nosi nazwę transmitancji widmowej Definicja transmitancji widmowej Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Matematycznie: G(jω) odwzorowuje dziedzinę (oś) pulsacji ω płaszczyznę zespoloną Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Stosowane nazwy: - wzmocnienie amplitudowe, moduł - przesunięcie fazowe, faza Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Przykład 3: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Przykład 3: c. d. Dyskusja: Jeżeli dla to Element inercyjny zmniejsza amplitudę i wprowadza opóźnienie fazowe Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Człon inercyjny jako filtr dolnoprzepustowy Dwustronnie odwrotne przekształcenie Laplace’a Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Odpowiedź na wymuszenie skokowe o amplitudzie A Stała czasowa styczna w t = t 0 Część rzeczywista P( ) Część urojona Q( ) Transmitancja widmowa Wzmocnienie statyczne Moduł: Faza: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe a) charakterystyka (częstotliwościowa) amplitudowa b) charakterystyka (częstotliwościowa) fazowa Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Przykład 4: Mamy, Niech wymuszenie: wykorzystamy zasadę superpozycji Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Skorzystamy z właściwości działań na liczbach zespolonych przedstawionych w postaci wykładniczej Dla sygnału wymuszającego: Odpowiedź ustalona: W dziedzinie częstotliwości dla obiektu o transmitancji G(j ): W przykładzie: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Po podstawieniu danych przykładu: Składowa wymuszenia (wejścia) o częstotliwości „poza” przepustowością filtru została odrzucona! Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Dlaczego interesują nas odpowiedzi częstotliwościowe? sygnały sinusoidalne są często wymuszeniami układów Dowolne sygnały dobrze aproksymują się za pomocą szeregów Fouriera Możliwość eksperymentalnego wyznaczenia transmitancji widmowej Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Podstawy automatyki 2015/2016 Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Formy graficznego przedstawiania transmitancji widmowej – charakterystyki częstotliwościowe Znane są następujące charakterystyki częstotliwościowe charakterystyka amplitudowo – fazowa zwana charakterystyką Nyquist’a Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe charakterystyka amplitudowa (a) charakterystyka fazowa (b) Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe charakterystyka składowej rzeczywistej transmitancji (a) charakterystyka składowej urojonej transmitancji (b) Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe charakterystyka logarytmiczna amplitudowa (a) charakterystyka logarytmiczna fazowa (b) zwane wykresami Bode’a Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Podstawy automatyki 2015/2016 Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Charakterystyki amplitudowo – fazowe; wykresy Nyquist’a Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Przykład 5: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Podstawy automatyki 2015/2016 Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Charakterystyki logarytmiczne amplitudy i fazy; wykresy Bode’a Transmitancję dowolnego elementu można przedstawić: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Podstawy automatyki 2015/2016 Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Podstawy automatyki 2015/2016 Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Przykładowo: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Szkicując charakterystyki asymptotyczne przyjmuje się zwykle zgrubnie: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Charakterystyki amplitudy Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Charakterystyka błędu modułu Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Charakterystyki fazy Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Charakterystyki rzeczywiste i asymptotyczne Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Podstawy automatyki 2015/2016 Przykład 6: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe ω1 = 10 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

Podstawy automatyki 2015/2016 Przykład 7: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe ω1 = 10 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Przykład 8: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Dokładność aproksymacji: Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56

Podstawy automatyki 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. ; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57