Systemy dynamiczne 20152016 Stabilno Systemy dynamiczne studia stacjonarne

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Systemy dynamiczne - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 7 – 2015/016 Stabilność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność to jedno z najważniejszych pojęć teorii sterowania W większości przypadków, stabilność jest warunkiem koniecznym praktycznego zastosowania systemu Interesujemy się stabilnością systemu, bo chcemy: ustabilizować system niestabilny uczynić „bardziej” stabilnym system stabilny Istnieje kilka możliwych definicji stabilności – większość z nich odwołuje się do pojęcia punktu/stanu równowagi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Dla systemów opisanych równaniem stanu System ciągły System dyskretny jest punktem/stanem równowagi, jeżeli mówimy, że punkt/stan jest stanem systemu dla pewnej chwili początkowej t 0 lub k 0 i pozostaje nim dla wszystkich chwil następnych przy zerowej wartości wejścia To oznacza, że spełnia równanie System ciągły System dyskretny Inaczej: system znajdujący się w stanie równowagi pozostanie w nim, jeżeli nie będzie na niego oddziaływać żadne wejście Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Uwaga: istnienie stanu równowagi dla systemu nie zapewnia jego stabilności Niestabilny stan równowagi Stabilny stan równowagi Uwaga: Stan równowagi a stan stacjonarny System ciągły – stan równowagi System dyskretny – stan równowagi System ciągły – stan stacjonarny System dyskretny – stan stacjonarny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Dla systemu liniowego stan równowagi może być znaleziony przez rozwiązanie równania System ciągły System dyskretny jest zawsze stanem równowagi systemu liniowego, ale Wniosek: stan mogą istnieć również inne stany równowagi Stan jest jedynym stanem równowagi systemu liniowego, jeżeli System ciągły System dyskretny Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości Taki stan równowagi nazywamy isolated) stanem równowagi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. odosobnionym/izolowanym (ang. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Jeżeli, System ciągły System dyskretny Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą zero dla dowolnej wartości Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą jeden dla dowolnej wartości system dynamiczny liniowy ma nieskończenie wiele stanów równowagi W takim przypadku możemy napisać, że stan równowagi spełnia równanie System ciągły System dyskretny co pokazuje, że nieskończenie wiele wektorów własnych postaci jest stanami równowagi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Formalne definicje stabilności podamy dla systemów ciągłych, lecz są one poprawne również dla systemów dyskretnych (zamiana czasu ciągłego t na dyskretny k Stabilność Stan jest stanem stabilnym równowagi dla chwili istnieje wartość wówczas , jeżeli dla dowolnej taka, że jeżeli dla wszystkich Stan , który jest stabilny w powyższym sensie jest nazywany stabilnym w sensie Lapunowa’a Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość wyboru chwili to stan jest niezależna od nazywamy jednorodnie stabilnym Niestabilność Stan jest stanem niestabilnym równowagi dla chwili , jeżeli nie jest on stabilny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Ilustracja stabilności dla systemu rzędu drugiego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność asymptotyczna Stan jest stanem asymptotycznie stabilnym równowagi dla chwili jeżeli jest stabilny (w sensie Lapunowa) i jeżeli istnieje wartość taka, że jeżeli wówczas Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość wyboru chwili stabilnym , to stan jest niezależna od nazywamy jednorodnie asymptotycznie Ilustracja asymptotycznej stabilności dla systemu rzędu drugiego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Podane definicje stabilności są kryteriami stabilności wewnętrznej – sformułowane dla zerowych wartości wejścia Stabilność BIBO Jeżeli jakiekolwiek wejście systemu spełniające warunek (tzn. wejście jest ograniczone) dla wszystkich wywołuje wyjście systemu spełniające warunek dla wszystkich , wówczas system jest stabilny w sensie ograniczone-wejście-ograniczone-wyjście (ang. bounded-input-bounded-output, BIBO) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna Stabilność (w sensie Lapunow’a) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają niedodatnie części rzeczywiste i jeżeli wartości własne leżące na osi urojonej (mające zerowe części rzeczywiste) są jednokrotne (nie powtarzają się) Stabilność asymptotyczna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają ujemne części rzeczywiste Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Przykład 1. Dany jest system dynamiczny z wartościami współczynników Zbadać stabilność wewnętrzną systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Wielomian charakterystyczny macierzy Dla przykładu Wartości własne macierzy Wnioski: System a ma wszystkie wartości własne w lewej półpłaszczyźnie zespolonej i jest zatem globalnie asymptotycznie stabilny System b ma jedną wartość własna na osi urojonej i jest zatem stabilny w sensie Lapunow’a System c ma podwójną wartość własną na osi urojonej i jest zatem niestabilny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Wyniki symulacji System a. Macierz nieosobliwa, zatem stan równowagi Weźmy: warunek początkowy wejście Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Wyniki symulacji System b. Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele Weźmy: warunek początkowy wejście Wektor własny związany z wartością własną ma postać gdzie, q dowolna liczba Dowolny wektor początkowy równy temu wektorowi własnemu będzie stanem równowagi Jeżeli wybierzemy inny warunek początkowy system osiągnie pewien stan równowagi zgodny z podanym warunkiem dla stanu równowagi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Wynik symulacji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Wyniki symulacji System c. Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele, brak stabilnych Weźmy: warunek początkowy wejście Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego dyskretnego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna Stabilność (w sensie Lapunow’a) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu nie leżą na zewnątrz okręgu jednostkowego i jeżeli wartości własne leżące na okręgu jednostkowym są jednokrotne Stabilność asymptotyczna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność zewnętrzna Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności BIBO dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego i dyskretnego Stabilność BIBO – system ciągły System ciągły liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle w lewej półpłaszczyźnie zespolonej Stabilność BIBO – system dyskretny System dyskretny liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność wewnętrzna a zewnętrzna Przykład 2. Dany jest system dynamiczny Zbadać stabilność wewnętrzną i zewnętrzną systemu Wyliczenie wartości własnych wielomianu charakterystycznego macierzy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Wartości własne Wniosek: system jest niestabilny wewnętrznie Model zewnętrzny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Wskutek skrócenia pary biegun-zero bieguny systemu system jest zewnętrznie stabilny (BIBO – stabilny) Wyniki symulacji dla wejścia – skok jednostkowy i zerowych warunków początkowych Niestabilność stanów Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność wyjścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Podsumowanie: Każdy system stabilny asymptotyczne w sensie Lapunow’a jest stabilny w sensie BIBO System stabilny w sensie Lapunow’a może być - niestabilny w sensie BIBO - stabilny w sensie BIBO System stabilny w sensie BIBO nie musi być stabilny w sensie Lapunow’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Systemy dynamiczne 2015/2016 Stabilność Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25