OPTIMASI EKONOMI 1 Memaksimalkan nilai perusahaan 2 Metode

OPTIMASI EKONOMI 1. Memaksimalkan nilai perusahaan 2. Metode metode pengekpresian hubungan ekonomi 3. Kalkulus deferensial dan kaidah-kaidah penurunan fungsi 4. Memaksimalkan dan meminimalkan fungsi 5. Optimasi Fungsi dengan variabel majemuk 1

MEMAKSIMALKAN NILAI PERUSAHAAN � Memaksimumkan nilai perusahaan merupakan tujuan utama perusahaan : � TR = P. Q � Faktor-faktor dari TR harus diperhatikan dalam pembuatan keputusan manajerial, termasuk pemilihan produk yang dirancang, pengalamannya dan penjua-lannya; strategi periklanan, kebijaksanaan harga yang ditetapkan; bentuk perekononomian yang dihadapinya, dan sifat persaingan yang dihadapi. Singkatnya, hubungan TR tersebut menyangkut pertimbangan-pertibangan 2

� Demikan halnya hubungaanya dengan biaya adalah kompleks. Analisis biaya, memerlukan sistem penelaahan sistem produksi yang alternatif, pilihan teknologi, harga faktor 2 prod. , yang semuanya penting dalam biaya produksi. Dan oleh karenanya masalah penawaran faktor produksi penting dipertimbangkan. � Faktor yang mempengaruhi biaya dan tersedianya sumber keuangan bagi perusahaan dan akhirnya menentukan tingkat diskonto yang digunakan para investor untuk menetapkan “nilai perusahaan” � Untuk menentukan tindakan yang optimal, maka keputusan-keputusan berkenaan dengan pemasaran, produksi, keuangan, 3

� Kompleksitas analisis pengambilan keputusan ini mengendalai penerapannya. Untuk ini dibutuhkan analisis “optimasi parsial”, misalnya dalam pemasaran, produksi. Sebagai keputusan yang menyeluruh, sebaliknya keputusan yang general lebih baik � Tindakan – tindakan yang perlu diambil oleh pimpinan : 1. Menyajikan hubungan ekonomi dalam suatu bentuk yang dapat dianalisis. 2. Seseorang harus menerapkan berbagai 4

METODE PENYAJIAN HUBUNGAN EKONOMI � Hubungan ekonomi sering diungkapkan dalam persamaan, tabel dan grafik. � Tabel dan Grafik biasanya digunakan untuk hubungan yang sederhana, tetapi untuk hubunga n kompleks digunakan model persamaan. � Contoh hubungan Persamaan : TR = f(Q) ► hubungan fungsional lebih khusus TR = P. Q 5

Contoh model Tabel dan Grafik : Dari contoh pesamaan di atas dapat dibuat tabel dan Grafik Jumlah unit yang terjual 1 2 3 4 5 6 Total Revenue (TR = 150 x Q) Rp Rp Rp 150 300 450 600 750 900 6

Hubungan Antara Nilai Total, Average dan Marginal � Hubungan antara Nilai Total, Average dan Marginal sangat berguna dalam analisis optimasi. Pengertian total dan average sudah umum diketahui, tetapi untuk hubungan marginal perlu kita mengetahui definisinya. � Hubungan marginal didefinisikan sebagai penambahan variabel dependen dari suatu fungsi yang disebabkan oleh perubahan salah satu unit variabel independen sebesar satu unit. � Secara khusus kita menganalisis suatu fungsi tujuan dengan melihat perubahan berbagai variabel indepen-den serta pengaruhnya terhadap variabel dependen. � Tujuan analisis ini adalah untuk menentukan nilai dan variabel-variabel independen yang 7

Hubungan antara Nilai Total dengan Marginal Unit Laba Output terjual (Q) Total marginal Rata-rata - Kolom 1 dan 2 data 0 Rp hubungan output 1 0 Rp 19 dan 2 Rp Rp 33 Rp 26 laba total 3 19 Rp 41 Rp 31 - Kolom 3, 4 Rp Rp 43 Rp 34 perubahan 5 52 Rp 39 Rp 35 laba total dengan 6 Rp Rp 35 adanya 7 93 Rp 7 Rp 31 perubahan output satu 8 Rp antara Rp – 9 26 Hubungan nilai Rp marginal dengan nilai unit total - Kolom 4, laba 136 dalam analisis pengambilan keputusan berperan setiap Rp penting, karena jika nilai marginal tersebut posistif, satu unit 175 total (laba total) meningkat, maka nilai danoutput jika nilai (ratamarginal. Rp tersebut negatif, maka nilai total akan rata) 8 menurun. 210

Hubungan antara Nilai Rata-Rata dengan Unit Laba Marginal Output Total margina Rata-rata terjual (Q) l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Rp 0 Rp Rp 19 Rp 26 19 Rp Rp 31 Rp 33 Rp 34 52 Rp Rp 35 Rp 41 Rp 35 93 Rp Rp 31 Rp 43 Rp 26 - Ketika laba marginal sampai Q ke 5 136 meningkat Rp sebesar 39, Rp 39 laba rata-rata meningkat pula sebesar 35. 175 mulai Rp menurun 35, 7 dan - Ketika laba marginal Rp 35 bahkan – 9, 210 semula Rp sama sebesar 35, maka laba rata-rata 9

Penggambaran hubungan antara Nilai total, Marginal dan Rata-rata Total laba D E C 0 C D A 0 B E Hubungan aritmatis contoh di atas dapat pula digambarkan hubungan geometris, sbb : -Titik E Total laba puncak laba marginalnya nol - Titik D slope dari Total laba (ray line) paling besar sehingga Laba rata puncak - Titik C slope dari Total Laba rata- ray(bukan rata line) paling besar sehingga marginal laba puncak Laba marginal 10

KALKULUS DIFFFERENSIAL DAN KAIDAH PENURUNAN FUNGSI Kalkulus Diferensial Walaupun tabel dan grafik bermanfaat untuk menjelaskan konsep hubungan ekonomi, tetapi persamaan seringkali lebih cocok untuk digunakan dalam proses pemecahan masalah. Salah satu alasan adalah bahwa teknik analisis kalkukulus diferensial bisa digunakan untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi secara efisien melalui analisis marginal. Selain itu konsep kalkulus dasar mudah dikembang-kan untuk masalah pengambilan keputusan di mana pilihan yang ada dibatasi oleh beberapa kendala. Oleh karena itu, pendekatan kalkulus ini sangat bermanfaat bagi masalah optimasi terkendala 11 yang merupakan ciri dari proses pembuatan

Kaidah-kaidah Penurunan Fungsi 1. Kaidah Konstata Y=2 2. Kaidah Pangkat 12

3. Kaidah Penjumlahan dan Selisih U = f(X) V = h(X), oleh karena itu jika Y = U + V, maka : 13

4. Kaidah Perkalian Turunan ini sama denganyang di atasnya, maka : 14

5. Kaidah Pembagian 15

CONTOH PERHITUNGAN USAHA PPS TC = ⅓Q 3 – 2 Q 2 + 4, 75 Q + 1 (diketahui) ATC = ⅓Q 2 – 2 Q + 4, 75 + 1/Q MC = Q 2 – 4 Q + 4, 75 AR = 3 (diketahui) TR = P. Q = 3 Q MR = 3 L= 3 Q – (⅓Q 3 – 2 Q 2 + 4, 75 Q + 1) L = 3 Q – ⅓Q 3 + 2 Q 2 – 4, 75 Q – 1 L = – ⅓Q 3 + 2 Q 2 – 1, 75 Q – 1 Laba Makisumum jika : d. L / d. Q = 0 (first order) d 2 L/d. Q 2 < 0 (scond order) Q TC ATC MC AR = MR 4, 75 3 0 -1 TR Laba 0 1 0, 5 2, 92 5, 83 3 3 1, 5 - 1, 42 1 4, 08 1, 75 3 3 -1, 08 1, 5 4, 75 3, 17 1 3 4, 5 - 0, 25 2 5, 17 2, 58 0, 75 3 6 0, 83 2, 5 5, 58 2, 23 1 3 7, 5 1, 92 3 6, 25 2, 08 1, 75 3 9 2, 75 3, 5 7, 42 2, 12 3 3 10, 5 3, 08 4 9, 33 2, 33 4, 75 3 12 2, 67 4, 5 12, 25 2, 72 7 3 13, 5 1, 25 5 16, 42 3, 28 9, 75 3 15 -1, 42 d 2 L/d. Q 2 = -2 Q + 4 Q=3, 5 L’’ = -2(3, 5) + 4 = - 3 Lmax Q=0, 5 L’’ = -2(0, 5) + 4 = + 3 R max 16

Q TC ATC MC AR = MR 4, 75 3 0 -1 TR Laba 0 1 0, 5 2, 92 5, 83 3 3 1, 5 - 1, 42 1 4, 08 1, 75 3 3 -1, 08 1, 5 4, 75 3, 17 1 3 4, 5 - 0, 25 2 5, 17 2, 58 0, 75 3 6 0, 83 2, 5 5, 58 2, 23 1 3 7, 5 1, 92 3 6, 25 2, 08 1, 75 3 9 2, 75 3, 5 7, 42 2, 12 3 3 10, 5 3, 08 4 9, 33 2, 33 4, 75 3 12 2, 67 4, 5 12, 25 2, 72 7 3 13, 5 1, 25 5 16, 42 3, 28 9, 75 3 15 -1, 42 MC ATC AR = MR Laba 17

Optimasi Usaha Monopoli (Keseimbangan usaha) TC TR MC ATC Laba = Rp 3, 59 ◉ MR AR Rp 3, 59 ◉ 2, 84 Laba L = TR - TC L max. , jika : d. L/d. Q = 0 (first order) d. TR/d. Q – d. TC/d. Q = 0 MR - MC = 0 MR = MC d 2 L/d. Q 2 < 0 (scond order) Contoh : P = 6 – 0, 8 Q TR = 6 Q – 0, 8 Q 2 TC = ⅓ Q 3 – 2 Q 2 +4, 75 Q + 2 Qe = ? Dan Laba maksimum = ? Jawab : MR = MC 6 – 1, 6 Q = Q 2 - 4 Q + 4, 75 Q 2 – 2, 4 Q - 1, 25 = 0 Q 1, 2 = [2, 4 + {(2, 4)2 – 4(1)(-1, 25)}0, 5]/2 Q 1 = 2, 840122 Q 2 = - 0, 44012 (imposible) L = TR - TC = 6(2, 84) – 0, 8(2, 84)2 – (⅓ (2, 84)3 – 2(2, 84)2 +4, 75(2, 84) + 2 = 3, 593285 18

OPTIMASI FUNGSI DENGAN VARIABEL MAJEMUK Hampir hubungan ekonomi mennggunakan dua atau lebih variabel, maka kita memperluas konsep deferensiasi nya : Q = f (P, A) - konsep kalkulus , dengan menganggap pengaruh seluruh independen lainnya konstan. Kaidah yang kita gunakan sama dengan turunan yang sederhana Misal : Y = 10 – 4 X + 3 XZ – Z 2. Ada variabel Y = dependendbiasa X dan Z = Independen Turunan parsialnya : 19

Maksimisasi Fungsi dengan Variabel Majemuk Syarat maksimasi (atau minimasi) dari fungsi dengan variabel majemuk merupakan secara langsung dari fungsi dengan variabel tunggal. Semua turunan parsial pertama harus sama dengan nol. Perhatikan contoh berikut ini : 2 2 Y = 4 X + Z – X + XZ – Z 2 + 1/2 Z = – 1 + 2 2 2 Z 1 1/ 2 Z = 3 Z=2 X=3 Y Y = 4 X + Z – X + XZ – Z 2 2 = 4(3) + 2 – 3 + (3)(2) – 27 = 7 unit Z 2 3 X 20

OPTIMASI TERKENDALA Manager produksi ditugaskan untk mengejar biaya mnimum (TC) untuk sejumlah produk tertentu. Pada waktu lain manager tersebut juga dituntut untuk produksi semaksimal mungkin dengan sejummlah input tertentu. Demikian juga dibagian lain , misalnya bagian pemasaran dituntut untuk penjualan yang maksimal dengan biya reklame seminimal mungkin. Inilah gambaran untuk mencapai tujuan pasti ada kendala atau tunduk pada kedala tertentu. Seperti maksimasiini : Masalah minimasi terlihat. Masalah pad dibawah Maksimasi : Laba, Penerimaan atau Output Tunduk kepada Kendala Sumberdaya Minimasi : Biaya Produksi / Ongkos Produksi Tunduk kepada Kendala Kuantitas atau kualitas output 21

Tampak ada kaitan erat sekali formulasi maksimasi dan minimasi pada masalah optimasi terkendala dengan penggunaan sumberdaya langka secara optimal. Banyak contoh-contoh dalam eokonomi dalam kasus ini Perhatikan Contoh berikut : TC = 3 X 2 + 6 Y 2 – XY X merupakan output dari pabrik pertama dan Y merupakan output dari pabrik kedua Produk Total = 20 unit (X + Y = 20), sebagai kendalanya Maka masalah terkedala tersebut dapat ditulis sbb : 2 2 Minimumkan : TC = 3 X + 6 Y – XY Kendala : X + Y = 20 X = 20 – Y dan TC = 3 X 2 + 6 Y 22 – XY 2 TC = 3 (20 – Y) + 6 Y 2 – (202 – Y)Y 2 22 TC = 3(400 – 40 Y +Y )+ 6 Y – 20 Y – Y

Sekarang kita bisa menganggap persamaan diatas sebagai ma-salah mininmisasi yang tak terkedala. Untuk menyelesaikan harus dicari turunannnya, yang 2 nol menyamakan turunan tsb. dengan TC = 1200 – 140 Y + 10 Y Berhubung turunan ke dua hasilnya positif maka sudah dapat dipastikan bahwa 7 unit itu merupakan titik minimum dari biaya. Kalau kita substitusikan nilai 7 kedalam persamaan kendala menmungkinkan kuantitas optimum yang diproduksi oleh pabrik X X + 7 = 20 X = 20 – 7 = 13 Dan jika kita substitusikan kedalam persamaan TC kita akan dapat menghitung biaya minimal tersebut : 23

Angka Pengganda Lagrange Teknik substitusi di atas tidak selalu dapat digunakan dengan baik. Kadang-kadang kendala telalu banyak dan komplek. Dalam kasus ini teknik angka pengganda Lagrange dapat dimanfaatkan. Teknik Lagrange untuk memecahkan optimasi terkendala adalah suatu cara untuk mengoptimalkan suatu fungsi dengan cara : menggabungkan fungsi tujuan dengan fungsi kendala. Fungsi gabungan ini disebut fungsi Lagrange. 2 2 Maksimumkan : TC = 3 X + 6 Y – XY Kendala : X + Y = 20 24

2 2 L = 3 X + 6 Y – XY + λ (20 – X – Y) 6 X - Y = 12 Y – X 7 X = 13 Y X = 13/7 Y Nilai angka pengganda (λ) memiliki suatu iterpretasi ekonomis yang sangat penting. Disini kita dapat mengiterpretasikan bahwa λ sebagai X + Y = 20 MC pada tingkat output sebesar 20 13/ Y + Y = 20 7 unit. Ini menunjukkan kepada kita 20/ Y = 20 jika perushaan diharuskan 7 memproduksi 19 unit, maka TC akan Y = 7 unit dan X = 13 unit turun Rp 71 unit dan jika λ = 6 X – Y = 12 Y – X perusahaan diharuskan 21 unit, maka TC = 6(13)– 7=12(7)– 13=memproduksi 71 meningkat sebesar Rp 71 25

BUKTI λ SEBAGAI MC TC = w T + r C Q = a T b Cc L = w T + r C + λ (Q - a T Cc) b 26

LATIHAN 2 1. Fungsi produksi yang dihadapi seorang produsen ditunjukkan oleh Y = 150 X 2 – 2 X 3, dimana Y adalah jumlah produk yang dihasilkan dan X adalah jumlah input yang digunakan. a) Bentuklah fungsi produk rata-ratanya. b) Berapa produk total dan produk rata-rata jika digunakan 70 unit input ? c) Berapa produk marginal jika input ditambah 1 unit ? 2. Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah pabrik ditunjukkan oleh pesamaan TC = Q 3 – 90 Q 2 + 250 Q + 56. 500. Pada tingkat produksi berapa unit biaya marginalnya minimum ? . Berapa besarnya biaya marginnal minimum tersebut ? , berarapa pula besarnya biaya total pada tingkat produksi tersebut ? 3. Seorang produsen menghadapi fungsi permintaan P =27 100 – 4 Q dan biaya totalnya TC = 50 + 20 Q. Hitunglah

4. Buktikanlah bahwa untuk fungsi biaya total TC = 0, 5 Q 3 – 20 Q 2 + 250 Q, biaya rata-rata minimum sama dengan biaya marginal. 5. Andaikan fungsi produksi suatu macam barang dirumuskan dengan Q = K 5/8 L 3/8. Jika harga input K dan L masing-masing adalah Rp 5, 00 dan Rp 3, 00 per unit , sedangkan produsen ingin memproduksi 10 unit output , carilah berapa unit masing-masing input sebaiknya digunakan agar ia berada dalam keseimbangan (biaya produksi minimum) 6. Andaikan kepuasan total seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y dirumuskan oleh persamaan utilitas U = X 3 Y 2. jika konsumen tersebut menyediakan anggaran sebesar Rp 4. 000, 00 untuk membeli X dan Y masing-masing dengan harga Rp 150, 00 28 dan Rp 200, 00 perunit, hitunglah berapa unit X dan Y

Jawab : 1. Y = 150 X 2 -2 X 3 Y = Output X = jumlah input a) AP = 150 X – 2 X 2 b) TP = 150(70)2 – 2(70)3 o = 735. 000 – 686. 000 = 49. 000 unit AP = 150 X – 2 X 2 = 150(70) – 2(70)2 = 700 unit c) MP 0 = 300 X – 6 X 2 = 300(70) – 6(70)2 = – 8. 400 MP 1 = 300(71) – 6(71)2 = – 8. 946 29

2. TC = Q 3 – 90 Q 2 + 250 Q + 56500 a) MC = 3 Q 2 – 180 Q +250 = 0 30

b) MC = 3 Q 2 – 180 Q +250 = 3(58, 577738)2 – 180(58, 577738) + 250 = 0, 061328 c) TC = Q 3 – 90 Q 2 + 250 Q + 56500 = (58, 577738)3 – 90(58, 57738)2 +250(58, 577738) +56. 500 = 201000, 802662 – 308821, 625028 +14644, 4345 + 56500 = – 36676, 387866 31

3. P = 100 – 4 Q TR = 100 Q – 4 Q 2 MR = 100 – 8 Q TC = 50 + 20 Q MC = 20 MR = MC 100 – 8 Q = 20 8 Q = 80 Q = 10 unit (laba max. ) L = TR – TC = 100 Q – 4 Q 2 – 50 – 20 Q = 100(10) – 4(10)2 – 50 – 20(10) = $ 350 AR = 100 – 4 Q = 100 – 4(10) = $ 60 32

4. TC = 0, 5 Q 3 – 20 Q 2 + 250 Q ATC = 0, 5 Q 2 – 20 Q + 250 ∆ATC/∆Q = 0 Q – 20 = 0 Q = 20 unit ATC = 0, 5(20)2 - 20(20) + 250 = 50 MC = 1, 5 Q 2 – 40 Q + 250 = 1, 5(20) 2 – 40(20) + 250 = 50 Jadi pada Q = 20 unit ATC = MC = $ 50 33

5. Maximize : C = 5 K + 3 L Kendala : 10 = K 5/8 L 3/8 Slope Isoquant = Slope BL Jadi masing-masing input yang sebaikny a digunakan adalah K = 10 unit L = 10 unit Dan total biaya produksi adalah ; TC = 5 K + 3 K = 5(10) + 3(10) 34 = 80

6. U = X 3 Y 2 4. 000 = 150 X +200 Y Jadi : barang X dibeli 16 unit MUx/Px = MUy/Py barang Y dibeli 8 unit 2 2 3 3 X Y /150 = 2 X Y/200 Sehingga Kepuasannya 600 X 2 Y 2 = 300 X 3 Y maximum 2 2 3 3 2 2 X Y = X Y Sebesar : U = X Y 3 2 2 X Y/X Y = 2 = 163. 82 X/Y=2 = 262144 utils X = 2 Y 4. 000 = 150 X +200 Y = 150(2 Y) + 200 Y 500 Y = 4. 000 Y= 8 X = 16 35