Oglne zadanie rachunku wyrwnawczego Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ogólne zadanie rachunku wyrównawczego

Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Przykład: Aproksymacja prostej(1) • 10 Punktów danych • Poszukiwane równanie prostej Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Przykład: Aproksymacja prostej(2) Założenie: Każdy punkt spełnia równanie prostej Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Przykład: Aproksymacja prostej(3) Wiecej równań niż niewiadomych brak jednoznacznego rozwiązania Każde dwa punkty określają jedno równanie prostej, jednak te równania są różne Zadanie: Określić jednoznaczne rozwiązanie Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Prosta przez pierwszy i ostatni punkt Podział chmury punktów na dwie części, prosta przechodzi przez środek ciężkości Prosta określona przez średnie wartości współczynników k i d obliczone ze wszystkich możliwych prostych Prosta przechodzi przez jak największą liczbę punktów Które rozwiązanie przyjmiemy? ? ? Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Przykład: Aproksymacja prostej(6) Ax=l+v v=Ax-l Dodatkowy warunek: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Błędy przypadkowe v Warunek: W zapisie macierzowym Wagi p są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu błędu średniego Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Model funkcyjny(1) n obserwacji L dla u niewiadomych X Określić wektor niewiadomych Wyniki pomiarów L 1, … Ln są wartościami przybliżonymi wartości prawdziwych Otrzymujemy oszacowania prawdziwych wartości w postaci wyrównanych obserwacji: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Model funkcyjny(2) Również wektor niewiadomych ma przybliżoną wartość Wektor przybliżonych niewiadomych X 0 Wektor poprawek niewiadomych x Zależności funkcyjne: r funkcji j 1, … jr z parametrami L i X Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Zależności Model funkcyjny Wektor odchyłek Wektor wyrazów wolnych ‚pomierzone minus obliczone‘ Wektor wartości przybliżonych obserwacji Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Model funkcyjny w postaci liniowej Funkcje j 1, … jr są dowolnego typu Założenie: x i v są małe w porównaniu do X 0 i L Linearyzacja rozwinięcie w szereg Taylora Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Macierze Jacobiego • Macierz modelu funkcyjnego. A • Macierz B Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Model funkcyjny Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Rozwiązanie ogólne (1) Rozwiązanie dla wartości minimalnej VTPV znajdujemy stosując funkcję Lagrange’a Obliczamy pochodne cząstkowe i przyrównujemy do 0. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Rozwiązanie ogólne(2) Pochodna względem v: Przyrównanie do zera: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Rozwiązanie ogólne(3) Pochodne względem x przyrównane do 0: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Rozwiązanie ogólne(4) Układ równań normalnych: Rozwiązanie za pomocą odwrotności: Ogólne zadanie rachunku wyrównawczego Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych z niewiadomymi Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Przypadki szczególne: 1. W każdym równaniu ji występuje tylko jedno spostrzeżenie: Wyrównanie spostrzeżeń pośredniczących 2. W równaniach ji występują tylko pomiary, brak jest niewiadomych: Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych 3. W równaniach występują zarówno pomiary jak i niewiadome powiązane warunkami: Wyrównanie spostrzeżeń pośrednich z warunkami. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Wyrównanie spostrzeżeń pośredniczących W każdym równaniu występuje jeden pomiar i funkcja niewiadomych: n pomiarów, r=n równań, u niewiadomych Spostrzeżenia nadliczbowe: nfu=n-u Liczba stopni swobody (redundancja) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Model funkcyjny Z szeregu Taylora: B= –I Macierz A jak poprzednio Stąd: stąd Równania błędów Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Rozwiązanie Układ równań upraszcza się: Otrzymujemy rozwiązanie Macierz równań normalnych Równania normalne Poprawki spostrzeżeń: Wyrównane pomiary: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Dr hab. Inż. Waldemar Krupiński

Andrzej Borowiecki, Waldemar Krupiński Akademia Rolnicza w Krakowie, Katedra Geodezji Numeryczne ustalanie parametrów linii prostej i łuku kołowego za pomocą dodatku SOLVER.

W pracy przedstawiono zastosowanie narzędzia SOLVER w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL do wyznaczania parametrów prostej, łuku kołowego oraz współrzędnych punktu styczności obu elementów trasy, w oparciu o wyniki pomiarów terenowych tych obiektów.

Przykład Nr prosta łuk kołowy X Y 1 0. 09 -0. 06 2 10. 04 -0. 03 3 19. 96 0. 08 4 30. 05 0. 08 5 39. 90 0. 00 6 50. 01 0. 02 7 60. 05 -0. 09 8 69. 99 0. 09 9 80. 04 0. 06 10 100. 02 0. 28 11 110. 03 1. 27 12 119. 82 2. 64 13 129. 74 4. 47 14 139. 39 6. 97 15 148. 84 10. 02 16 158. 31 13. 58