Zadanie 1 Znale rozwizanie oglne rwnania Rozwizanie I

  • Slides: 21
Download presentation
Zadanie 1. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania: Rozwiązanie: I. Rozpoznajemy typ równania: stąd II. Znajdujemy

Zadanie 1. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania: Rozwiązanie: I. Rozpoznajemy typ równania: stąd II. Znajdujemy równania charakterystyk rozwiązując równania: : III. Dokonujemy zamiany zmiennych wprowadzając nowe zmienne: Obliczamy Stosujemy wzory na zamianę zmiennych otrzymując : czyli równanie jest hiperboliczne na

Podstawiamy obliczone pochodne do wyjściowego równania: Grupujemy stałe występujące przy nowych pochodnych (nie zapominając

Podstawiamy obliczone pochodne do wyjściowego równania: Grupujemy stałe występujące przy nowych pochodnych (nie zapominając o mnożeniu) Po redukcji mamy: Postać kanoniczna równania. IIII. Znajdujemy rozwiązanie równania w postaci kanonicznej a stąd : . W tym przypadku dokonujemy podstawienia: Zwróćmy uwagę, że Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego, linowe jednorodne Aby je rozwiązać możemy zastosować wzór. Dla równania funkcja y zastępujemy przez v, a x przez η. Stała C nie zależy od η, czyli , a zatem jest jego rozwiązaniem ogólnym.

Stała C nie zależy od ξ, czyli Wracamy do starych zmiennych. Przypomnijmy, że ,

Stała C nie zależy od ξ, czyli Wracamy do starych zmiennych. Przypomnijmy, że , czyli jest rozwiązaniem ogólnym wyjściowego równania, . gdzie H(t) i G(t) są dowolnymi funkcjami o ciągłych pochodnych rzędu drugiego.

Zadanie 1. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania: Rozwiązanie: I. Rozpoznajemy typ równania: stąd II. Znajdujemy

Zadanie 1. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania: Rozwiązanie: I. Rozpoznajemy typ równania: stąd II. Znajdujemy równania charakterystyk rozwiązując równanie: : III. Dokonujemy zamiany zmiennych wprowadzając nowe zmienne: Obliczamy Stosujemy wzory na zamianę zmiennych otrzymując : czyli równanie jest parabolicznena

Podstawiamy obliczone pochodne do wyjściowego równania: Grupujemy stałe występujące przy nowych pochodnych (nie zapominając

Podstawiamy obliczone pochodne do wyjściowego równania: Grupujemy stałe występujące przy nowych pochodnych (nie zapominając o mnożeniu) Po redukcji mamy: Postać kanoniczna równania. IIII. Znajdujemy rozwiązanie równania w postaci kanonicznej a stąd : . W tym przypadku dokonujemy podstawienia: Zwróćmy uwagę, że Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego, linowe jednorodne Aby je rozwiązać możemy zastosować wzór. Dla równania funkcja y zastępujemy przez v, a x przez η. Stała C nie zależy od η, czyli , a zatem jest jego rozwiązaniem ogólnym.

Stała C nie zależy od η, czyli Wracamy do starych zmiennych. Przypomnijmy, że ,

Stała C nie zależy od η, czyli Wracamy do starych zmiennych. Przypomnijmy, że , czyli jest rozwiązaniem ogólnym wyjściowego równania, . gdzie F(t) i G(t) są dowolnymi funkcjami o ciągłych pochodnych rzędu drugiego. . Stałą (-2) można pominąć i zapisać odpowiedź w postaci

Zadanie 2 a. Znaleźć rozwiązanie równania spełniające warunki początkowe: Rozwiązanie. . I. Szukamy rozwiązania

Zadanie 2 a. Znaleźć rozwiązanie równania spełniające warunki początkowe: Rozwiązanie. . I. Szukamy rozwiązania ogólnego. ……………………. . rozwiązanie ogólne II. Szukamy rozwiązania szczególnego spełniającego dane warunki początkowe Obliczamy daną pochodną cząstkową rozwiązania ogólnego. Do rozwiązania ogólnego w miejsce y wstawiamy 0. Do obliczonej pochodnej w miejsce y wstawiamy 0.

Otrzymaliśmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: . Po rozwiązaniu układu otrzymujemy rozwiązania postaci:

Otrzymaliśmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: . Po rozwiązaniu układu otrzymujemy rozwiązania postaci: Wstawiamy obliczone funkcje do rozwiązania ogólnego Dla funkcji H(t) przyjmujemy t=y+2 x, a dla G(t) przyjmujemy t=3 y+x otrzymując Odp.

Zadanie 2 a. Znaleźć rozwiązanie równania spełniające warunki początkowe: Rozwiązanie. . I. Szukamy rozwiązania

Zadanie 2 a. Znaleźć rozwiązanie równania spełniające warunki początkowe: Rozwiązanie. . I. Szukamy rozwiązania ogólnego. ……………………. . rozwiązanie ogólne II. Szukamy rozwiązania szczególnego spełniającego dane warunki początkowe Obliczamy daną pochodną cząstkową rozwiązania ogólnego. Do rozwiązania ogólnego w miejsce y wstawiamy 0. Do obliczonej pochodnej w miejsce y wstawiamy 0.

Otrzymaliśmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: . Po rozwiązaniu układu otrzymujemy rozwiązania postaci:

Otrzymaliśmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: . Po rozwiązaniu układu otrzymujemy rozwiązania postaci: Wstawiamy obliczone funkcje do rozwiązania ogólnego Dla funkcji H(t) przyjmujemy t=3 y+2 x, a dla G(t) przyjmujemy t=3 y-4 x otrzymując Odp.

spełniające warunki: Zadanie 2 b. Znaleźć rozwiązanie równania jeśli wiadomo, że postać kanoniczna tego

spełniające warunki: Zadanie 2 b. Znaleźć rozwiązanie równania jeśli wiadomo, że postać kanoniczna tego równania jest następująca: oraz Rozwiązanie I. Znajdujemy rozwiązanie równania w postaci kanonicznej Zwróćmy uwagę, że a stąd : . W tym przypadku dokonujemy podstawienia: Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego, linowe jednorodne Aby je rozwiązać możemy zastosować wzór. Dla równania funkcja jest jego rozwiązaniem ogólnym. y zastępujemy przez v, a x przez ξ. Stała C nie zależy od ξ, czyli , a zatem Stała C nie zależy od η, czyli Wracamy do starych zmiennych. Przypomnijmy, że , czyli jest rozwiązaniem ogólnym wyjściowego równania, . gdzie H(t) i G(t) są dowolnymi funkcjami o ciągłych pochodnych rzędu drugiego.

II. Szukamy rozwiązania szczególnego spełniającego dane warunki brzegowe Do rozwiązania ogólnego w miejsce y

II. Szukamy rozwiązania szczególnego spełniającego dane warunki brzegowe Do rozwiązania ogólnego w miejsce y wstawiamy (-2 x). Wstawiamy obliczone funkcje do rozwiązania ogólnego Dla funkcji H(t) przyjmujemy t=x-3 y, a dla G(t) przyjmujemy t=y+2 x otrzymując Podstawiamy x=0 do jednego z podkreślonych równań otrzymując równość Odpowiedź: Do rozwiązania ogólnego w miejsce y wstawiamy

spełniające warunki: Zadanie 2 b. Znaleźć rozwiązanie równania jeśli wiadomo, że postać kanoniczna tego

spełniające warunki: Zadanie 2 b. Znaleźć rozwiązanie równania jeśli wiadomo, że postać kanoniczna tego równania jest następująca: oraz Rozwiązanie I. Znajdujemy rozwiązanie równania w postaci kanonicznej Zwróćmy uwagę, że a stąd : . W tym przypadku dokonujemy podstawienia: Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego, linowe jednorodne Aby je rozwiązać możemy zastosować wzór. Dla równania funkcja jest jego rozwiązaniem ogólnym. y zastępujemy przez v, a x przez η. Stała C nie zależy od η, czyli , a zatem Stała C nie zależy od ξ, czyli Wracamy do starych zmiennych. Przypomnijmy, że , czyli jest rozwiązaniem ogólnym wyjściowego równania, . gdzie H(t) i G(t) są dowolnymi funkcjami o ciągłych pochodnych rzędu drugiego.

II. Szukamy rozwiązania szczególnego spełniającego dane warunki brzegowe Do rozwiązania ogólnego w miejsce y

II. Szukamy rozwiązania szczególnego spełniającego dane warunki brzegowe Do rozwiązania ogólnego w miejsce y wstawiamy Wstawiamy obliczone funkcje do rozwiązania ogólnego Dla funkcji H(t) przyjmujemy t=2 y+3 x, a dla G(t) przyjmujemy t=y-x otrzymując Podstawiamy x=0 do jednego z podkreślonych równań otrzymując równość Odpowiedź: Do rozwiązania ogólnego w miejsce y wstawiamy x

Zadanie 3. Wyznaczyć i narysować kształt jednorodnej struny nieograniczonej po czasie gdy struna została

Zadanie 3. Wyznaczyć i narysować kształt jednorodnej struny nieograniczonej po czasie gdy struna została pobudzona do drgań przez wychylenie początkowe: , a prędkość początkowa wynosi 0. Rozwiązanie: Szukamy rozwiązania równania: spełniającego warunki: Korzystamy ze wzoru d’Alemberta określającego postać rozwiązania ogólnego równania W naszym przypadku: Zatem rozwiązanie jest postaci: 0 2 4

Krańce przedziałów , na których określona jest funkcja są następujące: -1, 1, 3, 5.

Krańce przedziałów , na których określona jest funkcja są następujące: -1, 1, 3, 5.

1 -1 1 3 5

1 -1 1 3 5

Zadanie 3. Wyznaczyć i narysować kształt jednorodnej struny nieograniczonej po czasie gdy struna została

Zadanie 3. Wyznaczyć i narysować kształt jednorodnej struny nieograniczonej po czasie gdy struna została pobudzona do drgań przez wychylenie początkowe: , a prędkość początkowa wynosi 0. Rozwiązanie: Szukamy rozwiązania równania: spełniającego warunki: Korzystamy ze wzoru d’Alemberta określającego postać rozwiązania ogólnego równania W naszym przypadku: Zatem rozwiązanie jest postaci: 2 3 4

Krańce przedziałów , na których określona jest funkcja są następujące: 0, 1, 2, 4,

Krańce przedziałów , na których określona jest funkcja są następujące: 0, 1, 2, 4, 5, 6.

0, 1, 2, 4, 5, 6.

0, 1, 2, 4, 5, 6.

0 1 2 4 5 6

0 1 2 4 5 6